Introduciamo il processo X = {Xt}t

III Appello di Analisi Stocastica Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

14 luglio 2009 Matricola:

Nella risoluzione degli esercizi `e possibile utilizzare tutti i risultati enunciati a lezione, anche quelli non dimostrati.

Esercizio 1. Siano {B_t}_t∈[0,∞), {β_t}_t∈[0,∞) due moti browniani reali indipendenti, definiti su uno spazio di probabilit`a (Ω, F , P). Introduciamo il processo X = {X_t}_{t∈(−∞,+∞)} definito da

X_t :=

(B_t se t ≥ 0

−t β_−1/t se t < 0 .

(a) Si mostri che X `e un processo gaussiano centrato (cio`e di media nulla) con traiettorie q.c. continue.

(b) Si mostri che la funzione covarianza Γ(s, t) := Cov(X_s, X_t) di X `e data da

Γ(s, t) =







min{s, t} se s ≥ 0, t ≥ 0

− max{s, t} se s < 0, t < 0

0 se s ≥ 0, t < 0 oppure s < 0, t ≥ 0 .

(c) Si mostri che, per ogni t₀∈ R fissato, il processo Y = {Yt}_t≥0definito da Y_t:= X_t0+t−X_t0

`e un moto browniano reale.

(d) Introduciamo il processo Z = {Zt}_{t∈(−∞,+∞)}, definito da Zt :=

(βt se t ≥ 0

−t B_−1/t se t < 0 . Si mostri che i processi X e Z non sono indipendenti.

Soluzione 1. (a) X `e un processo gaussiano perch´e ogni combinazione lineare delle sue componenti `e una variabile gaussiana. Per ogni k ∈ N, t1 < . . . t_{`</sub>< 0 ≤ t<sub>`+1} < . . . < t_k∈ R e c1, . . . , ck ∈ R possiamo infatti scrivere

k

X

i=1

c_iX_ti =

`

X

i=1

c_i(−t_i) β_−1/ti +

k

X

i=`+1

c_iB_ti.

Le due somme nel membro destro sono variabili aleatorie gaussiane (perch´e B e β sono processi gaussiani) indipendenti (perch´e B e β sono indipendenti): la loro somma `e dunque gaussiana.

(b) L’uguaglianza Γ(s, t) = min{s, t} per s, t ≥ 0 segue immediatamente dal fatto che B `e un moto browniano. Analogamente, ricordando che {u β<sub>1/u</sub>}<sub>u≥0</sub> `e un moto browniano, per s, t < 0 si ottiene Γ(s, t) = min{−s, −t} = − max{s, t}. Infine, se s ≥ 0 e t < 0 si ha Γ(s, t) = Cov(B_s, −t β_−1/t) = 0 perch´e i processi B e β (e dunque le variabili B_s e

−t β_−1/t) sono indipendenti; analogamente per s < 0 e t ≥ 0.

(c) Se t0 ≥ 0 si ha Y_t= Bt0+t − B_t0 e la conclusione segue da una propriet`a nota del moto browniano B. Resta da considerare il caso t<sub>0</sub> < 0. Chiaramente Y `e un processo gaussiano centrato con traiettorie q.c. continue, quindi basta mostrare che Cov(Ys, Yt) = s per ogni 0 ≤ s ≤ t < ∞. Per la bilinearit`a della covarianza, possiamo scrivere

Cov(Ys, Yt) = Γ(t0+ t, t0+ s) − Γ(t0+ t, t0) − Γ(t0, t0+ s) + Γ(t0, t0) .

Non ci resta che applicare la formula per Γ(·, ·) ottenuta sopra, distinguendo alcuni casi:

• se s ≤ t < |t₀|, allora t₀+ s ≤ t₀+ t < 0 e quindi

Cov(Y_s, Y_t) = −(t₀+ t) + (t₀+ t) + (t₀+ s) − t₀ = s ;

• se s ≤ |t₀| < t, allora t₀+ s ≤ 0 < t0+ t e quindi

Cov(Ys, Yt) = 0 − 0 + (t0+ s) − t0 = s ;

• infine, se t₀| < s ≤ t allora 0 < t₀+ s ≤ t0+ t e quindi Cov(Y_s, Y_t) = (t₀+ s) − 0 + 0 − t₀ = s .

Questo mostra che, per 0 ≤ s ≤ t < ∞, si ha Cov(Ys, Yt) = s = min{s, t}.

(d) Basta osservare che Z−1= X1 = B1, per cui le variabili Z−1 e X1 non sono indipendenti.

Esercizio 2. Fissiamo uno spazio filtrato standard (Ω, F , {F_t}_t∈[0,∞), P), su cui `e definito un {F_t}_t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {B_t}_t≥0.

(a) Sia Z = {Zt}_t≥0 un processo di Itˆo: dZt= ϕtdBt + ψtdt, cio`e Zt = Z0 +

Z _t

0

ϕudBu + Z _t

0

ψudu , ∀t ≥ 0 .

Supponiamo che Z0 = z ∈ R, {ϕu}_u≥0 ∈ M² (non soltanto M²_loc), {ψu}_u≥0 ∈ M¹ (non soltanto M¹_loc) e inoltre ψu(ω) ≥ 0 per ogni u ≥ 0 e q.o. ω ∈ Ω. Si mostri che Z `e una submartingala, cio`e

Z_t∈ L¹, ∀t ≥ 0 , e E(Z_t|F_s) ≥ Z_s, ∀0 ≤ s ≤ t .

Consideriamo ora la seguente equazione differenziale stocastica, per x ∈ R fissato:







dXt = 1

1 + X_t² dBt + 1 (1 + X_t²)⁴ dt X0 = x

. (1)

(b) Si mostri che per l’equazione c’`e esistenza di soluzioni forti e unicit`a per traiettorie.

D’ora in avanti indicheremo con X = {X_t}_t≥0 la soluzione dell’equazione (1), con traiettorie continue, definita su Ω. Introduciamo la funzione F (x) = Rx

0 e^−2t2dt, per x ∈ R (si noti che F⁰⁰(x) = −4xF⁰(x)). Definiamo quindi il processo Y = {Yt}_t≥0 ponendo

Y_t := F (X_t) + Z t

0

F⁰(X_u) X_u²du . (2)

(c) Si mostri che Y `e un processo di Itˆo e se ne calcoli il differenziale stocastico.

(d) Si deduca che Y `e una submartingala e si concluda che F (x) ≤ EF (X_t)+Rt

0X_u²e^−2Xu2du, per ogni t ≥ 0.

Soluzione 2. (a) Usando la disuguaglianza di Jensen e la propriet`a di isometria dell’inte- grale stocastico, si ottiene

E(|Z_t|) ≤ |x| + E

   

Z t 0

ϕ_udB_u    

 + E

   

Z t 0

ψ_udu    



≤ |x| + v u u tE

"

Z t 0

ϕ_udB_u

2# + E

Z t 0

|ψ_u| du



= |x| + E

Z t 0

ϕ²_udu

 , + E

Z t 0

|ψ_u| du



< ∞ , ∀t ≥ 0 , poich´e per ipotesi ϕ ∈ M² e ψ ∈ M¹.

Dall’ipotesi ϕ ∈ M² segue anche che il processo It:=Rt

0ϕudBu `e una martingala (di quadrato integrabile), quindi E(I_t|F_s) = I_s per s ≤ t. Inoltre possiamo scrivere

E

 Z t 0

ψ_udu    

F_s



= Z s

0

ψ_udu + E

 Z t s

ψ_udu    

F_s



≥ Z s

0

ψ_udu , per s ≤ t , poich´e R_s

0 ψudu `e Fs–misurabile e R_t

sψudu ≥ 0. La conclusione E(Zt|F_s) ≥ Zs segue.

(b) Entrambe le funzioni g(x) := 1/(1 + x²) e h(x) := 1/(1 + x²)⁴ sono continue e tendono a zero per x → ±∞. Segue dunque che esse sono limitate: esiste cio`e M ∈ (0, ∞) tale che

|g(x)| ≤ M , |h(x)| ≤ M , ∀x ∈ R (in effetti M = 1) .

Le derivate prime sono date da g⁰(x) = − 2x

(1 + x²)² , h⁰(x) = − 8x (1 + x²)⁵ ,

quindi anch’esse sono continue e tendono a zero per x → ±∞, in particolare sono limitate:

esiste cio`e L ∈ (0, ∞) tale che

|g⁰(x)| ≤ L , |h⁰(x)| ≤ L , ∀x ∈ R . Per il teorema di Lagrange segue dunque che, per y ≥ x,

|g(y) − g(x)| =    

Z y x

g⁰(z) dz    

≤ Z y

x

g⁰(z) dz ≤

Z y x

L dz = L |y − x| ,

e analogamente per y ≤ x. Lo stesso vale per h, quindi entrambe le funzioni g, h sono globalmente lipschitziane. Sono dunque soddisfatte le condizioni del teorema di esistenza di soluzioni forti e di unicit`a per traiettorie.

(c) Dato che X `e un processo di Itˆo e F `e di classe C², {F (X_t)}_t≥0 `e un processo di Itˆo.

Anche {Rt

0F⁰(X_u) X_u²du}_t≥0`e un processo di Itˆo, poich´e {F<sup>0</sup>(X<sub>u</sub>) X<sub>u</sub><sup>2</sup>}<sub>u≥0</sub>∈ M<sup>1</sup><sub>loc</sub> (X ha traiettorie continue e F<sup>0</sup> `e continua). Essendo somma di processi di Itˆo, anche Y lo `e.

Applicando la formula di Itˆo e ricordando che F⁰⁰(x) = −4xF⁰(x) si ottiene dY_t = F⁰(X_t) dX_t + 1

2F⁰⁰(X_t) dhXi_t + F⁰(X_t) X_t²dt

= F⁰(Xt)

1 + X_t² dBt + F⁰(Xt)

 1

(1 + X_t²)⁴ − 2X_t 1

(1 + X_t²)² + X_t²

 dt

= exp(−2X_t²)

1 + X_t² dBt + exp(−2X_t²)



Xt − 1

(1 + X_t²)²

2

dt

= exp(−2X_t²)

1 + X_t² dBt + exp(−2X_t²)(X_t⁵+ 2X_t³+ Xt− 1)² (1 + X_t²)⁴ dt .

(d) Dalla formula esplicita del differenziale stocastico dY_t = ϕ_tdB_t + ψ_idt ottenuto sopra,

`e chiaro che entrambi i processi {ϕ_t}_t≥0, {ψ_t}_t≥0 sono limitati, perch´e le funzioni reali x 7→ ^e_1+x^−2x22 e x 7→ e^−2x2(x5+2x_(1+x^3+x−1)2)^{4 2} sono limitate (sono continue e tendono a zero per

|x| → ∞). In particolare {ϕ_t}_t≥0 ∈ M², {ψt}_t≥0 ∈ M¹, e visto che ψt ≥ 0, segue dal punto (a) che Y `e una submartingala.

Di conseguenza, per ogni t ≥ 0 vale la relazione E(Y0) ≤ E(Yt), che, ricordando la definizione (2) di Y , si pu`o riscrivere come F (x) ≤ EF (X_t) +Rt

0X_u²e^−2Xu2du.