Il Modello Standard

(1)

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Il Modello Standard

Lezione 19

(2)

Simmetria di gauge

•  Abbiamo visto diversi tipi di simmetrie:

–  Simmetrie per traslazione (anche temporale), rotazione –  Simmetrie discrete C, P, T

–  Simmetrie nello spazio interno delle variabili (Isospin, SU(3))

•  Simmetrie di gauge

–  Compaiono in maniera naturale nell’elettromagnetismo classico

–  Acquistano un significato più profondo in meccanica quantistica relativistica:

•  Estensione delle simmetrie nello spazio interno delle particelle

•  Introducono in maniera univoca interazioni collegate con queste simmetrie interne

•  Modello Standard

–  3 gruppi di simmetria: U(1)_Y, SU(2)_L, SU(3)_C

–  Con rottura spontanea della simmetria di gauge U(1)_Y, SU(2)_L

•  interazioni elettrodeboli → elettromagnetiche + deboli

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 19 A. Andreazza - a.a. 2016/17

2

(3)

Simmetria di gauge: elettromagnetismo

•  I campi elettrico e magnetico possono venire generati da un potenziale scalare ed un potenziale vettore:

•  In forma covariante:

E = −∇φ(t, x) − ∂

∂tA(t, x) B = ∇ × A(t, x)

A_µ = φ^{(t, x)}

c −A(t, x)

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

F_µν = ∂_µA_ν − ∂_νA_µ=

0 1 c

∂

∂t(−A_x) − ∂

∂x φ

c 1 c

∂

∂t(−A_y) − ∂

∂y φ

c

1 c

∂

∂t(−A_z) − ∂

∂z φ

c

0 ∂

∂x(−A_y) − ∂

∂y(−A_x) ∂

∂x(−A_z) − ∂

∂z(−A_x)

0 ∂

∂y(−A_z) − ∂

∂z(−A_y) 0

⎡

⎣

⎢

⎢⎢

⎢

⎢⎢

⎤

⎦

⎥

⎥⎥

⎥

⎥⎥

=

0 E_x c

E_y c

E_z c 0 −B_z B_y

0 −B_x 0

⎡

⎣

⎢

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥⎥

⎥

(4)

Simmetria di gauge: elettromagnetismo

•  I campi elettrico e magnetico non cambiano se il potenziale viene modificato:

•  È evidente nella forma covariante:

•  Siccome le equazioni di Maxwell sono espresse in termini dei campi:

•  le osservabili fisiche non possono cambiare per questa variazione di gauge del potenziale.

4

A_µ ⇒ ʹA_µ = A_µ − ∂_µα(t, x)

ʹ

F_µν = ∂_µA_νʹ − ∂_νA_µʹ φ(t, x) ⇒ ʹφ (t, x) =φ(t, x) − ∂

∂tα^{(t, x)} A(t, x) ⇒ ʹA (t, x) = A(t, x) + ∇α^{(t, x)}

= ∂_µA_ν − ∂_µ∂_να− ∂_νA_µ + ∂_ν∂_µα = F_µν

∇ ⋅ E = ρ ε₀

∇ × B − 1 c²

∂E

∂t =µ₀^j

j^µ =

(

cρ ^j

)

∂_µF^µν =µ₀^j^ν

∇ ⋅ B = 0

∇ × E +∂B

∂t = 0

−1

2ε^µνρσ∂_νF_ρσ = 0

(5)

Simmetrie dell’equazione di Klein-Gordon

•  Consideriamo una funzione d’onda che soddisfi l’equazione di Klein-Gordon:

–  È soluzione anche la trasformata

•  α = numero reale

•  e = carica elementare (adimensionale in unità naturali)

•  La stessa cosa vale se 𝜙 ha dei gradi di libertà interni:

–  Esempio: spin isotopico:

•  g=costante di accoppiamento

•  α_j=numeri reali

•  σ_j=matrici di Pauli

–  Esempio: colore:

•  g_S=costante di accoppiamento

•  λ_j=generatori di SU(3)

∂^µ∂_µφ + m²φ = 0 1

c²

∂²

∂t² φ − ∇²φ + m²φ = 0

φ = a_u u + a_d d , u = 1

( )

0 ^{, d =}

( )

⁰¹

φ = exp ieαʹ

( )

^φ

φ = exp igʹ αj

1 2σj j=1,2,3

∑

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟φ φ = ar r + a_g g + a_b b , r = 1

0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟, g = 0 1 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟, b = 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ φ = exp igʹ S αj

1 2λj j=1,2,3

∑

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟φ

(6)

Simmetrie locali

•  Consideriamo una trasformazione che vari da punto a punto:

•  α = funzione del tetravettore x

•  e = carica elementare (adimensionale in unità naturali)

•  Trasformazione di simmetria locale

–  OK: 𝜙′ non è soluzione dell’equazione!

–  Si può però recuperare una simmetria introducendo:

•  un’interazione con il campo elettromagnetico

•  estendendo il concetto di trasformazione di gauge: è una trasformazione congiunta del campo elettromagnetico e delle particelle cariche.

6

∂^µ∂_µφ + mʹ ²φʹ

φ = exp ieα(x)ʹ

( )

^φ

= ∂^µ

(

∂_µ

(

e^ie^α^{( x )}φ

) )

^{+ m}²^e^ie^α^{( x )}^φ ^{= ∂}^µ

(

êîe^α^{( x )}îe∂^µ^{α(x)φ + e}îe^α^{( x )}^∂^µ^φ

)

^{+ m}²^e^ie^α^{( x )}^φ

= ∂^µ

(

e^ie^α^{( x )}

[

ie∂_µα(x)φ + ∂_µφ

] )

^{+ m}²^e^ie^α^{( x )}^φ

= e^ie^α^{( x )}

(

ie∂^µα(x) ie∂

[

_µα(x)φ + ∂_µφ

]

^{+ ie∂}^µ^∂^µα(x)φ + ie∂_µα(x)∂^µφ + ∂^µ∂_µφ

)

^{+ m}²^e^ie^α^{( x )}^φ

= e^ie^α^{( x )}

[ (

−e²∂^µα(x)∂µα(x) + ie∂^µ∂_µα(x)

)

^{φ + ie ∂}

(

^µ^α(x)∂^µ^{φ + ∂}^µ^α(x)∂^µ^φ

)

^{+ ∂}^µ^∂^µ^{φ + m}²^φ

]

(7)

Simmetrie locali: equazione di Klein-Gordon

•  Introduciamo un’interazione con il campo elettromagnetico facendo la sostituzione:

–  Applicando l’operatore a 𝜙′

•  Si può recuperare un’invarianza se combiniamo la trasformazione della funzione d’onda con una trasformazione di gauge del campo e.m.:

–  Con questa trasformazione:

–  Se 𝜙 è soluzione di –  𝜙′ è soluzione di

–  i campi elettrici e magnetici sono identici in entrambi i casi:

∂_µ → ∂_µ − ieA_µ

∂_µ − ieA_µ

( )

^{φ = ∂}^ʹ

(

µ − ieA_µ

)

êîe^α^{( x )}^{φ = e}îe^α^{( x )}

(

^∂^µ ^{− ieA}^µ ^{+ ie∂}^µ^α(x)

)

^φ

φ → ʹφ = exp ieα(x)

( )

^φ

A_µ → ʹA_µ = A_µ + ∂_µα(x)

∂_µ − ie ʹA_µ

( )

^{φ = ∂}^ʹ

(

µ − ieA_µ − ie∂_µα(x)

)

êîe^α^{( x )}^{φ = e}îe^α^{( x )}

(

^∂^µ ^{− ieA}^µ ^{− ie∂}^µ^{α(x) + ie∂}^µ^α(x)

)

^φ

∂_µ − ie ʹA_µ

( )

^{φ = e}^ʹ ^ie^α^{( x )}

(

^∂^µ ^{− ieA}^µ

)

^φ

∂^µ − ieA^µ

( ) ⁽

^∂^µ ^{− ieA}^µ

⁾

^{φ + m}²^{φ = 0}

∂^µ − ie ʹA ^µ

( ) ⁽

^∂^µ ^{− ie ʹ}^A^µ

⁾

^{φ + m}^ʹ ²^{φ = 0}^ʹ

F_µνʹ = F_µν

(8)

Simmetrie locali: equazione del campo e.m.

•  Vediamo adesso cosa succede nelle equazioni del campo e.m.

•  Abbiamo visto che ad un campo che soddisfa l’equazione di Klein- Gordon è associata una corrente conservata:

•  se il campo corrisponde ad una particella carica, questa diventa una sorgente del campo:

•  La formulazione originale non è invariante per trasformazioni di gauge:

–  infatti è immediato vedere che

•  Tuttavia possiamo darne una forma invariante usando l’espressione:

–  è palesemente invariante per trasformazioni di gauge –  è effettivamente una corrente conservata:

–  se

la corrente elettrica eJ

^ν

soddisfa le condizioni per essere una sorgente del campo e.m.

8

J^ν = −i

(

φ^*∂^νφ − φ ∂

(

^νφ

)

^*

)

^, ^∂^ν^J^ν ^{= 0}

∂_µF^µν = µ0j^ν = µ0eJ^ν

ʹ

J_ν = −i

(

φʹ^*∂_νφʹ− ʹφ (∂_νφʹ)^*

)

^{= J}^ν ^{+ 2} ^φ ²^∂^ν^α

J_ν = −i

(

φ^*(∂_ν − ieA_ν)φ − φ (∂

(

ν − ieA_ν)φ

)

^*

)

∂^νJ_ν = 0

∂^µ − ieA^µ

( ) (

^∂^µ ^{− ieA}^µ

)

^{φ + m}²^{φ = 0}

(9)

Simmetrie locali

•  Questo procedimento è del tutto generalizzabile.

•  Se ho una simmetria interna, la cui trasformazione generica è data da:

•  g=costante di accoppiamento

•  T_j=generatori delle trasformazioni

•  Si può trasformare in una simmetria locale:

–  introducendo interazione con N campi:

(uno per ogni generatore)

–  definendo una trasformazione congiunta di campi di interazione e gradi di libertà interni.

•  L’elettromagnetismo corrisponde ad una simmetria di tipo U(1):

–  rotazione di fase

•  Per gruppi più complessi è solo tecnicamente leggermente più complicato:

–  cambia l’espressione di F_µν e delle equazioni dei campi –  i campi diventano carichi e possono interagire tra di loro

•  ad esempio gli 8 gluoni di SU(3) hanno hanno carica di colore:

U = exp ig α_jT_j

j=1 N

⎛

∑

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

∂_µ → ∂_µ − ig A_µ_jT_j

j=1 N

∑

φ → e

ig αjTj j=1

N

∑ φ

rg, gr, rb, br, gb, bg, ¹₂(rr − gg),¹₂(rr + gg − 2bb )

A_µ_jT_j → A_µ_jT_j + ∂_µαjT_j

− igA_µiαk[T_i, T_k]

(10)

Masse dei bosoni vettori

•  Il campo elettromagnetico soddisfa l’equazione di una particella che si propaga con massa nulla.

–  Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto:

–  si ottiene:

–  O in forma covariante, calcolando:

10

∇ ⋅ E = 0

∇ × B − 1 c²

∂E

∂t = 0

∇ ⋅ B = 0

∇ × E +∂B

∂t = 0

∇ × ∇ × E +∂B

∂t

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= 0

∇ ∇ ⋅ E( )^{− ∇}²E + ∂

∂t(∇ × B)^{= 0}

−∇²E + ∂

∂t 1 c²

∂E

∂t

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 0 1

c²

∂²

∂t² − ∇²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟E = 0

∇ × ∇ × B − 1 c²

∂E

∂t

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= 0

∇ ∇ ⋅ B( )^{− ∇}²B − 1 c²

∂

∂t(∇ × E)^{= 0}

−∇²B − 1 c²

∂

∂t −∂B

∂t

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 0 1

c²

∂²

∂t² − ∇²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟B = 0

ε_µαβγ∂^α

( )

^⎛^⎜_⎝⁻₂¹^ε^µνρσ^∂^ν^F^ρσ ^{⎟ = 0}^⎞_⎠ ^{⇒ ∂}^α^∂αF_βγ = 0

(11)

Masse dei bosoni vettori

•  Questo fenomeno è strettamente legato all’invarianza di gauge.

–  Per esempio si potrebbe introdurre un termine di massa:

–  Modificando le equazioni di Maxwell:

–  si ottiene:

∇ ⋅ E = −m²c²

!² φ

∇ × B − 1 c²

∂E

∂t = −m²c²

!² A

∇ ⋅ B = 0

∇ × E +∂B

∂t = 0

∇ × ∇ × E +∂B

∂t

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= 0

∇ ∇ ⋅ E( )^{− ∇}²E + ∂

∂t(∇ × B)^{= 0}

∇ × ∇ × B − 1 c²

∂E

∂t

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= ∇ × −m²c²

!² A

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

∇ ∇ ⋅ B( )^{− ∇}²B − 1 c²

∂

∂t(∇ × E) ^{= −}^m

2c²

!² (∇ × A)

−∇²B − 1 c²

∂

∂t −∂B

∂t

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = −m²c²

!² B 1

c²

∂²

∂t² − ∇² + m²c²

!²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟E = 0 1

c²

∂²

∂t² − ∇² + m²c²

!²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟B = 0

∇ −m²c²

!² φ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ − ∇²E + ∂

∂t 1 c²

∂E

∂t − m²c²

!² A

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 0 1

c²

∂²E

∂t² − ∇²E + m²c²

!² −∇φ + ∂

∂tA

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 0 1

c²

∂²E

∂t² − ∇²E +m²c²

!² E = 0 1

c²

∂²B

∂t² − ∇²B +m²c²

!² B = 0

(12)

Masse dei bosoni vettori

•  Le equazioni modificate per introdurre un termine di massa:

•  Contengono esplicitamente i potenziali:

•  L’applicazione di una trasformazione di gauge modifica le equazioni dei campi:

•  Anche questa proprietà è del tutto generale:

–  In presenza di una simmetria di gauge i campi devono obbedire a equazioni di propagazione con massa nulla

12

∇ ⋅ E = −m²c²

!² φ

∇ × B − 1 c²

∂E

∂t = −m²c²

!² A

∇ ⋅ B = 0

∇ × E +∂B

∂t = 0 1

c²

∂²

∂t² − ∇² + m²c²

!²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟E = 0 1

c²

∂²

∂t² − ∇² + m²c²

!²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟B = 0

∇ ⋅ E = −m²c²

!² φ(t, x) − ∂

∂tα^{(t, x)}

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥, ∇ × B − 1 c²

∂E

∂t = −m²c²

!² [A(t, x) + ∇α^{(t, x)}]

(13)

Il Modello Standard

•  Il Modello Standard è costruito su tre simmetrie di gauge.

•  Interazioni forti:

–  gruppo SU(3) di colore

–  grado di libertà interno dei quark –  8 generatori → 8 gluoni

•  particelle senza massa

•  confinati in adroni:

mesoni ( ) e barioni ( )

•  Interazioni elettrodeboli

–  prodotto di due gruppi:

•  U(1) di ipercarica: 1 generatore

•  SU(2) di isospin debole: 3 generatori –  particelle organizzate in doppietti di SU(2)

•  quark: ipercarica Y=1/3

•  leptoni: ipercarica Y=-1

–  Relazione di Gell-Mann Nishijima: Q = Y 2 + T₃

qq qqq

Q=2/3 Q=-1/3 Q=0 Q=-1

m=0

m=91 GeV m=80 GeV

Simmetria di gauge violata nelle interazioni deboli:

•  rottura spontanea della simmetria

•  meccanismo di Higgs

(14)

Proprietà di W e Z

•  W

^±

–  m_W=80.385±0.015 GeV –  Γ_W=2.085±0.042 GeV –  S=1, Q=±1, Y=0, T₃=±1 Interagisce con coppie

–  con intensità G_F

–  con intensità G_FV_qq′

e cambiamento di sapore

•  Z

–  m_Z=91.1876±0.0021 GeV –  Γ_Z=2.4952±0.0023 GeV –  S=1, Q=0, Y=0, T₃=0

Interagisce con coppie di leptoni e quark:

senza cambiamento di sapore

14

e

⁺

e

⁻

, ν

e

ν

e

… uu, dd, ss … e

⁺

ν

e

, µ

⁺

ν

µ

, τ

⁺

ν

τ

ud, us, ub, cd, cs …

Esperimento UA1

Nobel lecture di Rubbia (1984)

W→µν

Z→ee

Non partecipa ai decadimenti deboli degli adroni

(15)

Rottura spontanea di simmetria

•  La rottura spontanea di simmetria è un fenomeno in cui:

–  le equazioni che descrivono un sistema mostrano una certa simmetria –  lo stato fondamentale però la viola

•  Esempio: materiali ferromagnetici

–  Hamiltoniana data dai prodotti scalari dei momenti magnetici:

–  È esplicitamente invariante per rotazioni

–  Però ad un certo istante i momenti magnetici si allineeranno in una direzione comune

–  Il sistema assume una direzione privilegiata, rompendo l’invarianza per rotazione.

–  La risposta dipende anche dalla

temperatura.

H = −k ! µ_i⋅ !

µ_j

∑

i≠ j

(16)

Rottura spontanea di simmetria

•  Se scriviamo un’equazione del tipo:

–  con λ e v parametri positivi

•  è palesemente invariante per trasformazioni di fase

–  ammette soluzioni statiche E=p=0 per |𝜙|=v

–  qualunque soluzione del tipo 𝜙=ve^iα soddisfa la richiesta

•  scegliamone una, per comodità |𝜙|=v

•  e consideriamo piccoli spostamenti attorno a questo valore:

–  dove abbiamo esplicitato la reale ed immaginaria

•  Tenendo solo i termini al primo ordine in ρ,η, l’equazione diventa:

–  Considerando perturbazioni attorno alle soluzioni statiche:

•  Abbiamo perso l’evidenza della simmetria

•  vediamo che la componente η si comporta come se avessa massa nulla

•  mentre la componente ρ ha una massa m²=2λv².

16

∂^µ∂_µφ + λ φ

(

² −υ²

)

^{φ = 0}

φ → eⁱ^αφ

φ = υ + ρ(x) + iη(x)

∂^µ∂_µ

(

υ + ρ + iη

)

⁺^{λ (υ + ρ)}

(

² ⁺^η² ⁻^υ²

) ⁽

^{υ + ρ + iη}

⁾

^{= 0}

∂^µ∂_µ

(

ρ + iη

)

⁺^{λ 2υρ + ρ}

(

² ⁺^η²

) ⁽

^{υ + ρ + iη}

⁾

^{= 0} ^∂^µ^∂µ

(

ρ + iη

)

^{+ 2υ}²^{λρ = 0}

(17)

Rottura spontanea di simmetria

•  Vediamo adesso come l’effetto si propaga sulle equazioni del campo:

•  se anche in questo caso guardiamo perturbazioni attorno al minimo:

•  compare all’ordine zero in ρ e η un termine:

•  che sostituito nell’equazione dei campi produce una dipendenza esplicita dal potenziale:

•  che abbiamo visto implicare per i campi e.m. un’equazione equivalente ad una particella con massa:

•  La rottura spontanea di simmetria fa acquisire un termine di massa ai campi mediatori delle forze.

∂_µF^µν = µ₀eJ^ν J_ν = −i

(

φ^*(∂_ν − ieA_ν)φ − φ (∂

(

ν − ieA_ν)φ

)

^*

)

φ = υ + ρ(x) + iη(x)

J_ν = −2eυ²A_ν

∂_µF^µν = −2µ0e²υ²A^ν

m = 2µ0eυ

(18)

Il bosone di Higgs

•  Quando descritto in maniera

estremamente semplificata è il concetto alla base del meccanismo di Higgs.

–  v=246 GeV

–  m_H=125 GeV, Q=0, S=0

•  Fornisce massa a W e Z

–  mentre il fotone rimane senza massa

•  Fornisce anche massa ai fermioni:

–  può mescolare stati con gli stessi numeri quantici anche se provengono da diverse famiglie: matrice CKM

18

(19)

Il bosone di Higgs

•  Siccome l’intensità dell’accoppiamento del bosone di Higgs è proporzionale alla massa delle particelle, questo decade preferenzialmente nelle particelle più massive a disposizione.

•  Anche in particelle di massa nulla, tramite stati intermedi qq e W⁺W^-

Osservati

(20)

Masse di W e Z, sin

²

θ

_W

•  Abbiamo detto che le interazioni elettrodeboli sono collegate a due simmetrie di gauge:

–  U(1) di ipercarica

–  SU(2) di isospin debole

•  Se indichiamo con g′ e g rispettivamente le costanti di accoppiamento dei due gruppi, abbiamo che:

•  si definisce angolo di Weinberg θ

_W

quello definito dalle relazioni:

•  Sperimentalmente: sin

²

θ

_W

=0.22336±0.00010

–  i due gruppi di simmetria hanno intensità comparabili

–  gli accoppiamenti che vediamo al di sotto della scala di v sono dati da:

20

m_Z = 1

2 g²+ ʹg ²υ, m_W = 1 2 gυ

cos²θ_W = g²

g² + ʹg ² , sin²θ_W = gʹ² g² + ʹg ²

e = g sinθ_W G_F 2 = 1

8 g² m_W²

(21)

I padri del Modello Standard

•  Concludiamo questo corso con gli ultimi Nobel da ricordare:

(22)

ESERCIZI

22

(23)

Esercizi 19.1 e 19.2

Esercizio 19.1

Dato un campo che soddisfa l’equazione:

dimostrare che il tetravettore definito da:

soddisfa l’equazione di continuità: e quindi definisce una corrente conservata.

Esercizio 19.2

A partire dai valori misurati delle masse di W e Z, e dalla costante di Fermi G

_F

, calcolare:

•  i valori di g e g′

•  il valore della carica elettrica elementare e e confrontarlo con quello osservato.

∂

^µ

− ieA

^µ

( ) ⁽ ^∂

^µ

^{− ieA}

^µ

⁾ ^φ ^{+ m}

²

^φ ^{= 0}

J

_ν

= −i ( φ

^*

(∂

_ν

− ieA

ν

) φ − φ ( (∂

_ν

− ieA

ν

) φ )

^*

)

∂_νJ^ν = 0

(24)

Esercizio 19.3

La massa e la larghezza di decadimento del bosone W sono rispettivamente di 80.385±0.015 GeV e 2.085±0.042 GeV:

•  Qual è il range delle interazioni mediate da tale particella?

•  In quanto tempo avviene il decadimento?

Dare una stima dei rapporti di decadimento del W in coppie eν

_e

, µν

_µ

, τν

_τ

, ud, us, cd, cs. Per rispondere alla domanda considerare che:

–  la massa dei prodotti di decadimento è trascurabile in tutti i casi

–  la costante di accoppiamento è g per tutte le particelle, ma per i quark bisogna considerare l’effetto dell’angolo di Cabibbo e del colore

Confrontare il risultato ottenuto con i valori tabulati nel PDG

.

24

Il Modello Standard

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Il Modello Standard

Simmetria di gauge

• Abbiamo visto diversi tipi di simmetrie:

• Simmetrie di gauge

• Modello Standard

Simmetria di gauge: elettromagnetismo

Simmetria di gauge: elettromagnetismo

(

)

Simmetrie dell’equazione di Klein-Gordon

( )

( )

( )

∑

∑

Simmetrie locali

( )

(

(

) )

(

)

(

[

] )

(

[

]

)

[ (

)

(

)

]

Simmetrie locali: equazione di Klein-Gordon

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

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Simmetrie locali: equazione del campo e.m.

• Vediamo adesso cosa succede nelle equazioni del campo e.m.

• Abbiamo visto che ad un campo che soddisfa l’equazione di Klein- Gordon è associata una corrente conservata:

• se il campo corrisponde ad una particella carica, questa diventa una sorgente del campo:

• La formulazione originale non è invariante per trasformazioni di gauge:

• Tuttavia possiamo darne una forma invariante usando l’espressione:

la corrente elettrica eJ

soddisfa le condizioni per essere una sorgente del campo e.m.

(

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(

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(

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)

( ) (

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Simmetrie locali

∑

∑

Masse dei bosoni vettori

( )

•  Abbiamo visto diversi tipi di simmetrie:

•  Simmetrie di gauge

•  Modello Standard

( ) ⁽

⁾

( ) ⁽

⁾

•  Vediamo adesso cosa succede nelle equazioni del campo e.m.

•  Abbiamo visto che ad un campo che soddisfa l’equazione di Klein- Gordon è associata una corrente conservata:

•  se il campo corrisponde ad una particella carica, questa diventa una sorgente del campo:

•  La formulazione originale non è invariante per trasformazioni di gauge:

•  Tuttavia possiamo darne una forma invariante usando l’espressione:

•  W

•  Z

) ⁽

⁾

) ⁽

⁾

•  Vediamo adesso come l’effetto si propaga sulle equazioni del campo:

•  se anche in questo caso guardiamo perturbazioni attorno al minimo:

•  compare all’ordine zero in ρ e η un termine:

•  che sostituito nell’equazione dei campi produce una dipendenza esplicita dal potenziale:

•  che abbiamo visto implicare per i campi e.m. un’equazione equivalente ad una particella con massa:

•  La rottura spontanea di simmetria fa acquisire un termine di massa ai campi mediatori delle forze.

•  Abbiamo detto che le interazioni elettrodeboli sono collegate a due simmetrie di gauge:

•  Se indichiamo con g′ e g rispettivamente le costanti di accoppiamento dei due gruppi, abbiamo che:

•  si definisce angolo di Weinberg θ

•  Sperimentalmente: sin

•  Concludiamo questo corso con gli ultimi Nobel da ricordare:

•  i valori di g e g′

•  il valore della carica elettrica elementare e e confrontarlo con quello osservato.