Il Modello Standard

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Il Modello Standard

Lezione 14

Simmetria di gauge

•  Abbiamo visto diversi tipi di simmetrie:

–  Simmetrie per traslazione (anche temporale), rotazione –  Simmetrie discrete C, P, T

–  Simmetrie nello spazio interno delle variabili (Isospin, SU(3))

•  Simmetrie di gauge

–  Compaiono in maniera naturale nell’elettromagnetismo classico

–  Acquistano un significato più profondo in meccanica quantistica relativistica:

•  Estensione delle simmetrie nello spazio interno delle particelle

•  Introducono in maniera univoca interazioni collegate con queste simmetrie interne

•  Modello Standard

–  3 gruppi di simmetria: U(1)

, SU(2)

, SU(3)

–  Con rottura spontanea della simmetria di gauge U(1)

, SU(2)

•  interazioni elettrodeboli → elettromagnetiche + deboli

Simmetria di gauge: elettromagnetismo

•  I campi elettrico e magnetico possono venire generati da un potenziale scalare ed un potenziale vettore:

•  In forma covariante:

E = −∇φ(t, x) − ∂

∂tA(t, x) B = ∇ × A(t, x)

A_µ = φ^{(t, x)}

c −A(t, x)

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

F_µν = ∂_µA_ν − ∂_νA_µ=

0 1 c

∂

∂t(−A_x) − ∂

∂x φ

c 1 c

∂

∂t(−A_y) − ∂

∂y φ

c

1 c

∂

∂t(−A_z) − ∂

∂z φ

c

0 ∂

∂x(−A_y) − ∂

∂y(−A_x) ∂

∂x(−A_z) − ∂

∂z(−A_x)

0 ∂

∂y(−A_z) − ∂

∂z(−A_y) 0

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢⎢

⎢

⎢

⎢⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥⎥

⎥

⎥

⎥⎥

=

0 E_x c

E_y c

E_z c 0 −B_z B_y

0 −B_x 0

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥⎥

⎥

⎥

Simmetria di gauge: elettromagnetismo

•  I campi elettrico e magnetico non cambiano se il potenziale viene modificato:

•  È evidente nella forma covariante:

•  Siccome le equazioni di Maxwell sono espresse in termini dei campi:

•  le osservabili fisiche non possono cambiare per questa variazione di gauge del potenziale.

A_µ ⇒ ʹA_µ = A_µ − ∂_µα(t, x)

ʹ

F_µν = ∂_µA_νʹ − ∂_νA_µʹ φ(t, x) ⇒ ʹφ (t, x) =φ(t, x) − ∂

∂tα^{(t, x)} A(t, x) ⇒ ʹA (t, x) = A(t, x) + ∇α^{(t, x)}

= ∂_µA_ν − ∂_µ∂_να− ∂_νA_µ + ∂_ν∂_µα = F_µν

∇ ⋅ E = ρ ε₀

∇ × B − 1 c²

∂E

∂t =µ₀^j

j^µ =

(

)

∂_µF^µν =µ₀^jν

∇ ⋅ B = 0

∇ × E +∂B

∂t = 0

−1

2ε^µνρσ∂_νF_ρσ = 0

Simmetrie dell’equazione di Klein-Gordon

•  Consideriamo una funzione d’onda che soddisfi l’equazione di Klein-Gordon:

–  È soluzione anche la trasformata

•  α = numero reale

•  e = carica elementare (adimensionale in unità naturali)

•  La stessa cosa vale se 𝜙 ha dei gradi di libertà interni:

–  Esempio: spin isotopico:

•  g=costante di accoppiamento

•  α_j=numeri reali

•  σ_j=matrici di Pauli

–  Esempio: colore:

•  g_S=costante di accoppiamento

•  α_j=numeri reali

•  λ_j=generatori di SU(3)

∂

∂

φ + m

φ = 0 1

c

∂

∂t

φ − ∇

φ + m

φ = 0

φ = a

u + a

d , u = 1

( ) 0 ^{, d =} ( ) ^{0 1}

φ = exp ieα ʹ ( ) ^φ

φ = exp ig ʹ α

1 2 σ

∑

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟φ φ = a

r + a

g + a

b , r = 1

0 0

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ , g = 0 1 0

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ , b = 0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ φ = exp ig ʹ

α

1 2 λ

∑

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟φ

Simmetrie locali

•  Consideriamo una trasformazione che vari da punto a punto:

•  α = funzione del tetravettore x

•  e = carica elementare (adimensionale in unità naturali)

•  Trasformazione di simmetria locale

–  OK: 𝜙′ non è soluzione dell’equazione!

–  Si può però recuperare una simmetria introducendo:

•  un’interazione con il campo elettromagnetico

•  estendendo il concetto di trasformazione di gauge: è una trasformazione congiunta del campo elettromagnetico e delle particelle cariche.

∂

∂

φ + m ʹ

φ ʹ

φ = exp ieα(x) ʹ ( ) ^φ

= ∂

( ∂

( e

φ ) ) ^{+ m}

^e

^{φ = ∂}

( ^e

^ie∂

^{α(x)φ + e}

^∂

^φ ) ^{+ m}

^e

^φ

= ∂

( e

[ ie∂

α(x)φ + ∂

φ ] ) ^{+ m}

^e

^φ

= e

( ie∂

α(x) ie∂ [

α(x)φ + ∂

φ ] ^{+ ie∂}

^∂

α(x)φ + ie∂

α(x)∂

φ + ∂

∂

φ ) ^{+ m}

^e

^φ

= e

[ ( −e

∂

α(x)∂

α(x) + ie∂

∂

α(x) ) ^{φ + ie ∂} (

^α(x)∂

^{φ + ∂}

^α(x)∂

^φ ) ^{+ ∂}

^∂

^{φ + m}

^φ ]

Simmetrie locali

•  Introduciamo un’interazione con il campo elettromagnetico facendo la sostituzione:

–  Applicando l’operatore a 𝜙′

•  Si può recuperare un’invarianza se combiniamo la trasformazione della funzione d’onda con una trasformazione di gauge del campo e.m.:

–  Con questa trasformazione:

–  Se 𝜙 è soluzione di –  𝜙′ è soluzione di

–  i campi elettrici e magnetici sono identici in entrambi i casi:

∂

→ ∂

− ieA

∂

− ieA

( ) ^{φ = ∂ ʹ} (

− ieA

) ^e

^{φ = e}

( ^∂

^{− ieA}

^{+ ie∂}

^α(x) ) ^φ

φ → ʹ φ = exp ieα(x) ( ) ^φ

A

→ ʹ A

= A

+ ∂

α(x)

∂

− ie ʹ A

( ) ^{φ = ∂ ʹ} (

− ieA

− ie∂

α(x) ) ^e

^{φ = e}

( ^∂

^{− ieA}

^{− ie∂}

^{α(x) + ie∂}

^α(x) ) ^φ

∂

− ie ʹ A

( ) ^{φ = e ʹ}

( ^∂

^{− ieA}

) ^φ

∂

− ieA

( ) ^{( ∂}

^{− ieA}

^{) φ + m}

^{φ = 0}

∂

− ie ʹ A

( ) ^{( ∂}

^{− ie ʹ A}

^{) φ + m ʹ}

^{φ = 0 ʹ}

F

ʹ = F

Simmetrie locali

•  Questo procedimento è del tutto generalizzabile.

•  Se ho una simmetria interna, la cui trasformazione generica è data da:

•  g=costante di accoppiamento

•  α_j=numeri reali

•  T_j=generatori delle trasformazioni

•  Si può trasformare in una simmetria locale:

–  introducendo interazione con N campi:

(uno per ogni generatore)

–  definendo una trasformazione congiunta di campi di interazione e gradi di libertà interni.

•  L’elettromagnetismo corrisponde ad una simmetria di tipo U(1):

–  rotazione di fase

•  Per gruppi più complessi è solo tecnicamente leggermente più complicato:

–  cambia l’espressione di F_µν e delle equazioni dei campi –  i campi diventano carichi e possono interagire tra di loro

•  ad esempio gli 8 gluoni di SU(3) hanno hanno carica di colore:

U = exp ig α

T

j=1 N

⎛ ∑

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

∂

→ ∂

− ig A

T

j=1 N

∑

φ → e

ig αjTj j=1

N

∑ φ, A

→ A

+ ∂

α

rg, gr, rb, br, gb, bg, ¹₂(rr − gg),¹₂(rr + gg − 2bb )

Masse dei bosoni vettori

•  Il campo elettromagnetico soddisfa l’equazione di una particella che si propaga con massa nulla.

–  Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto:

–  si ottiene:

–  O in forma covariante, calcolando:

∇ ⋅ E = 0

∇ × B − 1 c²

∂E

∂t = 0

∇ ⋅ B = 0

∇ × E +∂B

∂t = 0

∇ × ∇ × E +∂B

∂t

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= 0

∇ ∇ ⋅ E( )^{− ∇2}E + ∂

∂t(∇ × B)^{= 0}

−∇²E + ∂

∂t 1 c²

∂E

∂t

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 0 1

c²

∂²

∂t² − ∇²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟E = 0

∇ × ∇ × B − 1 c²

∂E

∂t

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= 0

∇ ∇ ⋅ B( )^{− ∇2}B − 1 c²

∂

∂t(∇ × E)^{= 0}

−∇²B − 1 c²

∂

∂t −∂B

∂t

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 0 1

c²

∂²

∂t² − ∇²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟B = 0

ε_µαβγ∂^α

( )

Masse dei bosoni vettori

•  Questo fenomeno è strettamente legato all’invarianza di gauge.

–  Per esempio si potrebbe introdurre un termine di massa:

–  Modificando le equazioni di Maxwell:

–  si ottiene:

∇ ⋅ E = −m²c²

!² φ

∇ × B − 1 c²

∂E

∂t = −m²c²

!² A

∇ ⋅ B = 0

∇ × E +∂B

∂t = 0

∇ × ∇ × E +∂B

∂t

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= 0

∇ ∇ ⋅ E( )^{− ∇2}E + ∂

∂t(∇ × B)^{= 0}

∇ × ∇ × B − 1 c²

∂E

∂t

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= ∇ × −m²c²

!² A

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

∇ ∇ ⋅ B( )^{− ∇2}B − 1 c²

∂

∂t(∇ × E) ^{= −m}

2c²

!² (∇ × A)

−∇²B − 1 c²

∂

∂t −∂B

∂t

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = −m²c²

!² B 1

c²

∂²

∂t² − ∇² + m²c²

!²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟E = 0 1

c²

∂²

∂t² − ∇² + m²c²

!²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟B = 0

∇ −m²c²

!² φ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ − ∇²E + ∂

∂t 1 c²

∂E

∂t − m²c²

!² A

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 0 1

c²

∂²E

∂t² − ∇²E + m²c²

!² −∇φ + ∂

∂tA

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 0 1

c²

∂²E

∂t² − ∇²E +m²c²

!² E = 0 1

c²

∂²B

∂t² − ∇²B +m²c²

!² B = 0

Masse dei bosoni vettori

•  Le equazioni modificate per introdurre un termine di massa:

•  Contengono esplicitamente i potenziali:

•  L’applicazione di una trasformazione di gauge modifica le equazioni dei campi:

•  Anche questa proprietà è del tutto generale:

–  In presenza di una simmetria di gauge i campi hanno equazioni di propagazione con massa nulla

∇ ⋅ E = −m²c²

!² φ

∇ × B − 1 c²

∂E

∂t = −m²c²

!² A

∇ ⋅ B = 0

∇ × E +∂B

∂t = 0 1

c²

∂²

∂t² − ∇² + m²c²

!²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟E = 0 1

c²

∂²

∂t² − ∇² + m²c²

!²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟B = 0

∇ ⋅ E = −m²c²

!² φ(t, x) − ∂

∂tα^{(t, x)}

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥, ∇ × B − 1 c²

∂E

∂t = −m²c²

!² [A(t, x) + ∇α^{(t, x)}]

Il Modello Standard

•  Il Modello Standard è costruito su tre simmetrie di gauge.

•  Interazioni forti:

–  gruppo SU(3) di colore

–  grado di libertà interno dei quark –  8 generatori → 8 gluoni

•  particelle senza massa

•  confinati in adroni:

mesoni ( ) e barioni ( )

•  Interazioni elettrodeboli

–  prodotto di due gruppi:

•  U(1) di ipercarica: 1 generatore

•  SU(2) di isospin: 3 generatori

–  particelle organizzate in doppietti di SU(2)

•  quark: ipercarica Y=1/3

•  leptoni: ipercarica Y=-1

–  Relazione di Gell-Mann Nishijima: Q = Y 2 + T₃

qq qqq

Q=2/3 Q=-1/3 Q=0 Q=-1

m=0

m=91 GeV m=80 GeV

Simmetria di gauge violata nelle interazioni deboli:

•  rottura spontanea della simmetria

•  meccanismo di Higgs

Rottura spontanea di simmetria

•  La rottura spontanea di simmetria è un fenomeno in cui:

–  le equazioni che descrivono un sistema mostrano una certa simmetria –  lo stato fondamentale però la viola

•  Esempio: materiali ferromagnetici

–  Hamiltoniana data dai prodotti scalari dei momenti magnetici:

–  È esplicitamente invariante per rotazioni

–  Però ad un certo istante i momenti magnetici si allineeranno in una direzione comune

–  Il sistema assume una direzione privilegiata, rompendo l’invarianza per rotazione.

–  La risposta dipende anche dalla

temperatura.

H = −k ! µ_i⋅ !

µ_j

∑

Rottura spontanea di simmetria

•  Se scriviamo un’equazione del tipo:

–  con λ e v parametri positivi

•  è palesemente invariante per trasformazioni di fase

–  ammette soluzioni statiche E=p=0 per |𝜙|=v

–  qualunque soluzione del tipo 𝜙=ve^iα soddisfa la richiesta

•  scegliamone una, per comodità |𝜙|=v

•  e consideriamo piccoli spostamenti attorno a questo valore:

–  dove abbiamo esplicitato la reale ed immaginaria

•  Tenendo solo i termini al primo ordine in ρ,η, l’equazione diventa:

–  Considerando perturbazioni attorno alle soluzioni statiche:

•  Abbiamo perso l’evidenza della simmetria

•  vediamo che la componente η si comporta come se avessa massa nulla

•  mentre la componente ρ ha una massa m²=2λv².

•  Se aggiungiamo le interazioni, i termini costanti v finiscono a dare massa ai campi delle interazioni.

∂

∂

φ + λ φ (

− υ

) ^{φ = 0}

φ → e

φ

φ = υ + ρ(x) + iη(x)

∂

∂

( υ + ρ + iη ) ^{+ λ (υ + ρ)} (

^{+ η}

^{− υ}

) ^{( υ + ρ + iη ) = 0}

∂

∂

( ρ + iη ) ^{+ λ 2υρ + ρ} (

^{+ η}

) ^{( υ + ρ + iη ) = 0 ∂}

^∂

( ρ + iη ) ^{+ 2υ}

^{λρ = 0}

Il bosone di Higgs

•  Quando descritto in maniera

estremamente semplificata è il concetto alla base del meccanismo di Higgs.

–  v=246 GeV –  m_H=125 GeV

•  Fornisce massa a W e Z

–  mentre il fotone rimane senza massa

•  Fornisce anche massa ai fermioni:

–  può mescolare stati con gli stessi numeri quantici anche se provengono da diverse famiglie: matrice CKM