APPELLO DI ALGEBRA LINEARE AAAAAAA
14 GENNAIO 2016
Cognome: Nome: Matricola:
Tempo: 2h30
La valutazione tiene conto di ordine e chiarezza nello svolgimento. Tutte le risposte devono essere adeguatamente giustificate.
1
(a) Si verifichi se l’insieme {(3,0, − 1),(2, −2,0),(−1,1,1)} `e una base dello spazio vettoriale R3 sul campo R.
(b) Sia P il vettore di coordinate (1,1,1) rispetto alla base canonica. Si determinino le coor- dinate di P rispetto alla base del punto (a).
Soluzione: Siano c1 = (3,0, − 1), c2= (2, −2,0) e c3= (−1,1,1).
(a) I tre vettori sono linearmente dipendenti se esistono scalari x,y,z non tutti nulli tale che xc1+ yc2+ zc3 = 0. Supponiamo che 3x + 2y − z = 0, −2y + z = 0 e −x + z = 0. Allora si ha:
z = x e z = 2y. Sostituendo z = 2y nella prima equazione si ottiene x = 0. Quindi z e y sono 0.
(b) Sia I : R → R l’applicazione identica. Consideriamo la base c1,c2,c3 nello spazio di partenza e la base canonica e1,e2,e3 nello spazio di arrivo. Allora
I(c1) = 3e1− e3; I(c2) = 2e1− 2e2; I(c3) = −e1+ e2+ e3. Quindi la matrice della trasformazione lineare rispetto alle basi suddette `e:
A =
3 2 −1
0 −2 1
−1 0 1
Determiniamo le coordinate del vettore P rispetto alla base c1,c2,c3. Avremo che P = xc1+ yc2+ zc3. da cui
A
x y z
=
3 2 −1
0 −2 1
−1 0 1
x y z
=
1 1 1
Risolviamo il sistema lineare:
3 2 −1 1
0 −2 1 1
−1 0 1 1
7→
3 2 −1 1
0 −2 1 1
0 23 23 43
7→
3 2 −1 1
0 −2 1 1
0 0 1 53
da cui si ricava z = 53, 2y = 53 − 1 = 23 (da cui y = 31) e 3x = 1 + 53− 23 = 2. Ossia x = 23. 2 Si considerino le matrici A,B,C
A = 1 1 2 −1
, B = 2 2
4 k − 3
, C =
0 1
2k − 2 1
(a) Si stabilisca per quale valore di k ∈ R le matrici A, B e C sono linearmente dipendenti nello spazio vettoriale delle matrici 2 × 2.
(b) Per il valore trovato in (a) esprimere B come combinazione lineare di A e C.
(c) Per il valore trovato in (a), determinare la dimensione del sottospazio vettoriale generato da A, B e C.
Soluzione: Supponiamo che esistano scalari a,b,c non tutti nulli tali che aA + bB + cC = 0.
Abbiamo il seguente sistema lineare: a + 2b = 0, a + 2b + c = 0, 2a + 4b + (2k − 2)c = 0 ed infine −a + (k − 3)b + c = 0. Dalle prime due equazioni si ottiene c = 0. Dall’ultima ricaviamo a = (k − 3)b, che insieme alla prima equazione a = −2b implica k − 3 = −2, ossia k = 1.
La matrice B0= 2 2 4 −2
= 2A.
La dimensione del sottospazio vettoriale generato da A, B0 e C0 = 0 1 0 1
`
e 2. Infatti si vede facilmente che A e C0 sono linearmente indipendenti.
3 Si consideri l’applicazione lineare f : R3→ R3 determinata dalla matrice
A =
1 0 1 0 6 0 1 0 1
rispetto alle base canonica di R3.
(a) Determinare la dimensione del nucleo di f e la dimensione del rango di f . (c) Determinare autovalori e autovettori di f .
Si veda la soluzione nel Compito BBBBB.
4 Determinare le equazioni delle seguenti rette del piano:
(a) Retta passante per i punti P = (1, 2) e Q = (−1, 3).
(b) Retta passante per il punto C = (2, 3) e parallela al vettore ~OP = (−1, 2).
Soluzione: (a) Si consideri il vettore di coordinate R = P − Q = (2, − 1). Allora la retta passante per l’origine ed R ha equazione parametrica x = 2t e y = −t. La retta parallela alla retta data passante per P ha equazione x = 2t + 1 e y = −t + 2. Se t = 0 otteniamo il punto P , mentre se t = −1 otteniamo il punto Q.
(b) L’equazione parametrica della retta passante per l’origine ed il punto P `e x = −t, y = 2t.
Quindi si ha: x = −t + 2 e y = 2t + 3.
