ALGEBRA LINEARE BBBB
9 gennaio 2019
Cognome: Nome: Matricola:
Tempo: 2h30
La valutazione tiene conto di ordine e chiarezza nello svolgimento. Tutte le risposte devono essere adeguatamente giustificate.
1 Si considerino le rette r1 e r2 di equazioni
r1 :
x = 1 + 3t y = 3t z = 2 + t
r2 :
x = 2r y = 5 + r z = 2
(r,t ∈ R)
(a) Si mostri che le due rette non sono incidenti.
(b) Si determini il punto di incidenza della retta r1 con il piano π di equazione lineare x + 2y − 3z − 1 = 0.
Soluzione: (a) Da z = 2 e z = 2 + t si ricava t = 0. Quindi dall’equazione y = 3t si ricava y = 0 e dall’equazione y = 5 + t si ha y = 5. Quindi le due rette non sono incidenti.
(b) Da (1 + 3t) + 2(3t) − 3(2 + t) − 1 = 0 si ottiene 0 = 1 + 3t + 6t − 6 − 3t − 1 = 6t − 6, da cui t = 1. Quindi il punto P = (4,3,3) appartiene sia alla retta r1 che al piano π.
2 Determinare per quali valori del parametro reale t il sistema Ax = b ammette soluzione.
Determinare esplicitamente le soluzioni ammesse.
A =
−1 2 0
0 1 −1 0 0 2t
b =
1 1 1
Soluzione: det(A) = −2t. Si ha det(A) 6= 0 sse t 6= 0. Quindi la soluzione esiste ed `e unica per t 6= 0. Nel caso t = 0 la soluzione non esiste, perch`e la riga 3 della matrice A `e nulla, mentre la terza componente del termine noto b `e 1.
Troviamo la soluzione per t 6= 0. Si ha facilmente z = 1
2t; y = 1 + z = 1 + 1
2t = 2t + 1
2t ; x = 2y − 1 = 4t + 2
2t − 1 = t + 1 t . 3 Si consideri la matrice
A =
0 1 2 1 0 1 1 0 1
(a) Determinare gli autovalori di A.
(b) Stabilire se la matrice A `e diagonalizzabile.
(c) Determinare la dimensione degli autospazi associati agli autovalori.
(d) Determinare gli autovettori associati all’autovalore λ = 0.
Soluzione:
A − λI =
0 − λ 1 2
1 0 − λ 1
1 0 1 − λ
=
−λ 1 2
1 −λ 1
1 0 1 − λ
da cui
det(A−λI) = −λ[−λ(1−λ)−2]−(1−λ−1) = −λ[−λ+λ2−2]+λ = +λ2−λ3+3λ = −λ(λ2−λ−3) = 0.
Quindi gli autovalori sono λ1= 0 e le soluzioni dell’equazione λ2− λ − 3 = 0, cio´e λ2 = 1 +√
13
2 λ3 = 1 −√ 13
2 .
La matrice `e diagonalizzabile perch´e ha tre autovalori distinti. La matrice diagonale D ha questi autovalori nella diagonale principale:
D =
0 0 0
0 1+
√ 13
2 0
0 0 1−
√13 2
Calcoliamo l’autospazio di dimensione 1 associato all’autovalore λ1 = 0 risolvendo il sistema lineare
Ax =
0 1 2 1 0 1 1 0 1
x y z
=
0 0 0
da cui si ricava y + 2z = 0 e x + z = 0. L’autospazio `e quindi la retta parametrica x = −t, y = −2t, z = t. Gli autovettori sono i vettori [−t, − 2t,t] al variare di t ∈ R.
4 Sia f : R3 → R3 la trasformazione lineare definita da:
f (x1,x2,x3) = (x2,x3,x1− x2) rispetto alle basi canoniche.
(a) Dire se f `e iniettiva e/o surgettiva;
(b) Trovare la dimensione del nucleo N (f ) e dell’immagine Im(f ).
Soluzione: La matrice associata ad f `e:
A =
0 1 0
0 0 1
1 −1 0
Essendo il determinante di A 6= 0, f `e un isomorfismo lineare. Il nucleo di f ha dimensione 0 ed f ha rango di dimensione 3.
