CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
PROVA SCRITTA DEL 7/9/2009 Esercizio 1.
Un sintomo S è riconducibile a tre patologie M1, M2 e M3 a due a due incompatibili. Sapendo che la probabilità che un individuo abbia la malattia Mh è pari a h / 10 (h = 1, 2, 3),
(1.1) si calcoli la probabilità che abbia almeno una delle patologie, motivando la risposta;
(1.2) dopo aver fornito la definizione di indipendenza di tre eventi, si stabilisca se i tre eventi
M1, M2 e M3 sono indipendenti.
Sapendo, inoltre, che la probabilità che il sintomo S si manifesti in un soggetto affetto dalla malattia Mh è pari a 1 / (h + 2),
(1.3) si calcoli la probabilità di manifestazione del sintomo S, motivando la risposta;
(1.4) si determini la probabilità che un individuo abbia la patologia M2 dato che presenta il sintomo S, motivando la risposta;
(1.5) data la presenza del sintomo S, qual è la malattia più probabile? (Si motivi la risposta).
Soluzione
Un sintomo S è riconducibile a 3 patologie M1, M2 e M3 a 2 a 2 incompatibili.
Sapendo che P(Mh) = h / 10 (h = 1, 2, 3),
(1.1) P(M1∪M2∪M3) = P(M1) + P(M2) + P(M3) = (1 + 2 + 3) / 10 = 3/5 = 0.6 per il terzo assioma di Kolmogorov.
(1.2) I tre eventi M1, M2 e M3 non sono indipendenti […].
Sapendo, inoltre, che P(S | Mh) = 1 / (h+2),
(1.3) P(S) = ∑ P(S | Mh) P(Mh) = [∑ h / (h+2)] / 10 = (1/3 + 2/4 + 3/5) / 10 = 0.1433 per la legge delle alternative.
(1.4) P(M2 | S) = P(S | M2) P(M2) / P(S) = (1/20) / 0.1433 = 0.3488 per la formula di Bayes.
(1.5) M3, dato che P(Mh | S) = P(S | Mh) P(Mh) / P(S) è massima per h = 3.
Esercizio 2.
Si consideri un’urna contenente 25 palline, delle quali 10 sono verdi e 15 rosse.
Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 4 estratto con reinserimento.
(2.1) Si specifichi la distribuzione della v.c. X (con particolare riferimento al valore dei parametri che la caratterizzano) e si calcoli P(0 < X < 2).
Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline rosse estratte prima di ottenere la prima pallina verde, estraendo con reinserimento.
(2.2) Si specifichi la distribuzione della v.c. Y e si calcoli P(Y > 1).
(2.3) Si determinino E(Y) e Var(Y), motivando le risposte.
(2.4) Si enunci e si dimostri la proprietà di assenza di memoria per la v.c.
Geometrica.
Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 2 estratto senza reinserimento.
(2.5) Si specifichi la distribuzione della v.c. Z (con particolare riferimento al valore dei parametri che la caratterizzano) e si calcoli la probabilità che entrambe le palline estratte siano rosse.
Soluzione
Si consideri un’urna contenente 25 palline, delle quali 10 verdi e 15 rosse.
Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 4 estratto con reinserimento.
(2.1) X ha distribuzione Binomiale(n,θ) con n = 4 e θ = 0.4;
P(0 < X < 2) = P(X = 1) = 4(0.4)1(0.6)4 = (1.6)(0.1296) = 0.20736.
Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline rosse estratte prima di ottenere la prima pallina verde estraendo con reinserimento.
(2.2) Y ha distribuzione Geometrica(θ) con θ = 0.4;
P(Y > 1) = P(Y ≥ 2) = (1 − θ)2 = (0.6)2 = 0.36.
(2.3) E(Y) = (1 − θ) / θ = 0.6 / 0.4 = 1.5;
Var(Y) = (1 − θ) / θ2 = 0.6 / 0.16 = 3.75.
(2.4) P(Y ≥ t + u | Y ≥ t) = P(Y ≥ u) [...].
Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 2 estratto senza reinserimento.
(2.5) Z ha distribuzione Ipergeometrica(n,K,N) con n = 2, K = 10 e N = 25;
P(Z = 0) =
2 25 2
15 0
10 = 105 / 300 = 0.35.
Esercizio 3.
Si consideri la funzione di probabilità di una v.c. bidimensionale discreta (X,Y) definita dalla tabella seguente.
Y = - 2
Y = 0 Y = 2 X = -
2 0.12 0.24
0.24 X = 0 0.08 0.16 0.16 (3.1) Si determinino le distribuzioni delle due v.c. marginali.
(3.2) Si stabilisca se le v.c. X e Y sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le risposte.
(3.3) Si calcolino la varianza di Y e P(X = Y).
(3.4) Si stabilisca se le v.c. |X| / 2 e |Y| / 2 sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le risposte.
Siano Y1,…,Yn v.c. indipendenti e distribuite come Y.
(3.5) Si fornisca un’opportuna approssimazione Normale per la v.c. somma Sn =
∑Yi e mediante questa si calcoli P(10 < S100 < 50), motivando le risposte.
Soluzioni
(3.1) Le funzioni di probabilità delle v.c. marginali X e Y sono date,
rispettivamente, da:
p(-2) = 0.6 e p(0) = 0.4; q(-2) = 0.2, q(0) = 0.4 e q(2) = 0.4.
(3.2) Le v.c. X e Y sono indipendenti ma non identicamente distribuite [...].
(3.3) Var(Y) = E(Y2) − E(Y)2 = 2.24, essendo E(Y) = -2(0.2) + 0(0.4) + 2(0.4) = 0.4 e
E(Y2) = 4(0.2) + 0(0.4) + 4(0.4) = 2.4;
P(X = Y) = 0.28.
(3.4) Le v.c. |X| / 2 e |Y| / 2 sono indipendenti e identicamente distribuite [...].
Siano Y1,…,Yn v.c. indipendenti e distribuite come Y.
(3.5) Per il TCL, la v.c. somma Sn = ∑Yi si può approssimare mediante N(0.4 n, 2.24 n);
per n = 100 si ha P(10 < S100 < 50) = Φ(10 / 14.97) − Φ(-30 / 14.97) = Φ(0.67) −Φ(-2.00)
= 0.7486 − 0.0228 = 0.7258.
Quesito. Si enunci e si dimostri la disuguaglianza di Markov nel caso continuo.
