1
Tutorato di calcolo delle probabilità- lezione 1
Esercizio 1
Sia A = { 1, 2, 3, . . . , 11 }.
1. Quanti sono i sottoinsiemi di A?
2. Quanti di questi contengono il numero 5?
3. Quanti sottoinsiemi contengono il numero 2 o il numero 7?
4. Quanti non contengono numeri pari?
Esercizio 2
In una gara con 25 concorrenti vengono premiati i primi cinque.
1. Quante sono le possibili assegnazioni dei premi?
2. Quante sono le possibili assegnazioni dei premi se si sa che il concorrente Rossi è sicuramente tra essi?
3. Quante sono le possibili assegnazioni dei premi se si sa che Rossi arriverà secondo?
Esercizio 3
Uno studente universitario va a lezione utilizzando un mezzo pubblico nel 75% dei giorni e la propria auto in tutti gli altri giorni. Lo studente arriva in orario a lezione con probabilità 0.45 quando si serve del mezzo pubblico e con probabilità 0.95 quando usa l’auto. Definiti gli eventi
A = {lo studente usa l’Auto},
M = { lo studente usa il Mezzo pubblico}, O = { lo studente arriva in Orario},
1. si calcoli la probabilità che lo studente arrivi in orario, motivando la risposta;
2. si determini la probabilità che lo studente abbia utilizzato l’auto dato che è arrivato in orario, motivando la risposta;
3. si calcoli la probabilità che lo studente abbia utilizzato il mezzo pubblico dato che non è arrivato in orario, motivando la risposta;
4. si stabilisca se A e O sono indipendenti, motivando la risposta;
5. si stabilisca se A e M sono indipendenti, motivando la risposta.
Esercizio 4.
Un sintomo S è riconducibile a tre patologie M1, M2 e M3 a due a due incompatibili. Sapendo che la probabilità che un individuo abbia la malattia Mh è pari a h / 10 (h = 1, 2, 3),
1. si calcoli la probabilità di avere almeno una delle patologie, motivando la risposta;
2. dopo aver fornito la definizione di indipendenza di tre eventi, si stabilisca se i tre eventi M1, M2 e M3 sono indipendenti.
Sapendo, inoltre, che la probabilità che il sintomo S si manifesti in un soggetto affetto dalla malattia Mh è pari a 1 / (h + 2),
3. si calcoli la probabilità di manifestazione del sintomo S, motivando la risposta;
4. si determini la probabilità che un individuo abbia la patologia M2 dato che presenta il sintomo S, motivando la risposta;
5. data la presenza del sintomo S, qual è la malattia più probabile? (Si motivi la risposta).
Esercizio 5 (v.c. uniforme discreta)
Il tempo di percorrenza del treno che collega la stazione di Roma Termini con l’aeroporto L. Da Vinci di Fiumicino è di 30 minuti esatti. Il percorso è lungo 30 km e la velocità di percorrenza è costante durante tutta la tratta.
1. Si è interessati a valutare la probabilità che il treno interrompa la corsa tra il 15-mo km ed il 19- mo km per un guasto improvviso. Quanto vale tale probabilità?
2 2. Calcolare il valore atteso e la varianza della distribuzione di riferimento.
Esercizio 6 (v.c. binomiale)
Un giocatore lancia sei volte un dado regolare. Qual è la probabilità che:
1. esca un numero pari almeno cinque volte 2. esca un numero minore di 3 al più una sola volta
Esercizio 7 (v.c. di Poisson)
In una fabbrica di cioccolato il numero X cioccolatini di forma irregolare prodotti giornalmente da una macchina segue una distribuzione di Poisson con media θ.
1. Si calcoli la probabilità che X sia < 1.
2. Si calcoli la probabilità che X sia ≥ 4.
3. Definita la v.c. Y = min(2,X), se ne determini il supporto e la funzione di probabilità.
4. Si calcoli il valor medio di Y.
Esercizio 8
Si trovi il valore del parametro θ per cui la tabella seguente definisce la funzione di probabilità di una v.c. unidimensionale X.
X 0 1 2
P(X) 1/2 θ 2θ
1. Si calcolino P(0,5<X<2,5) e P(X>2,1).
2. Si calcolino il valore atteso e la varianza della v.c. X.
3. Si determini la funzione di ripartizione della v.c. X.
Esercizio 9 (v.c. geometrica)
In un'analisi di laboratorio, un esperimento ha il 30% di probabilità di dare una risposta positiva.
Quante prove/tentativi occorre fare per avere una probabilità del 90% di avere la prima risposta positiva?
