CAPITOLO 4. ANALISI DEL DIAGRAMMA COLORE-MAGNITUDINE DI ω CENTAURI

CAPITOLO 4. ANALISI DEL DIAGRAMMA COLORE-MAGNITUDINE DI ω CENTAURI

−600 −400 −200 0 200 400 600

y (px) 0

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

N/N

RGB−MP

RGB−MINT

RGB−AN

Figura 4.91 Istogramma lungo la direzione y .

Per effettuare un confronto quantitativo tra la sottopopolazione RGB-a e la RGB- MInt e RGB-MP `e stato utilizzato il test di Kolmogorov-Smirnov.

Il test di Kolmogorov-Smirnov (KS test)

Il test di Kolmogorov-Smirnov `e un metodo di analisi statistica che permette di confrontare tra loro un campione di dati ed una distribuzione teorica (oppure due campioni di dati) allo scopo di verificare l’ipotesi statistica che la popolazione da cui i dati provengono sia quella in esame (oppure l’ipotesi che entrambi i campioni provengano dalla stessa popolazione).

Una caratteristica interessante di questo metodo `e che esso non richiede la preven- tiva, e pi` u o meno arbitraria, suddivisione dei dati in classi di frequenza.

Il test di Kolmogorov-Smirnov si basa infatti sulla frequenza cumulativa relativa dei dati. Per la compatibilit`a tra un campione ed una ipotetica legge che si ritiene possa descriverne la popolazione di provenienza, e collegata ad una funzione di distribuzione φ(x), bisogna confrontare la frequenza cumulativa relativa F(x) del campione con φ(x) per ricavare il valore assoluto del massimo scarto tra esse:

δ = max|F (x) − φ(x)|

Si pu`o dimostrare che, se l’ipotesi da verificare fosse vera, la probabilit`a di ottenere

casualmente un valore δ non inferiore ad una prefissata quantit`a positiva δ 0 sarebbe

data da:

F KS = 2

+∞

X

k=1

(−1) ^k−1 e ^{− 2k 2 x 2}

e δ ₀ ⁰ vale

δ ₀ ⁰ = ( √

N + 0.12 + 0.11/ √ N )δ ₀

Se si vogliono invece confrontare tra loro due campioni indipendenti per verificarne la compatibilit`a, bisogna ricavare dai dati il massimo scarto (in valore assoluto), δ 0 , tra le due frequenze cumulative relative; il valore N in questo caso vale N = _N ^{N 1 N 2}

1 +N 2 , dove N 1 e N 2 sono le dimensioni dei due campioni.

Applicazione del KS test

Abbiamo applicato il KS test agli istogrammi del campioni RGB-a e RGB-MP e RGB-a e RGB-MInt per vedere se la distribuzione lungo gli assi della sottopopolazione anomala sia differente dalle altre due o sia uguale.

I risultati ottenuti dal KS-test sono esposti in tabella 4.3. Nella colonna di sinistra sono indicate le regioni confrontate, in quella di destra la probabilit`a di coincidenza (in percentuale) delle distribuzioni:

Regioni confrontate Probabilit`a RGB-a vs RGB-MP lungo x 16.9

RGB-a vs RGB-MInt lungo x 17.1 RGB-a vs RGB-MP lungo y 15.4 RGB-a vs RGB-MInt lungo y 17.4 RGB-MP vs RGB-MInt lungo x 92.1 RGB-MP vs RGB-MInt lungo y 95.3

Tabella 4.3 Probabilit` a di coincidenza della sottopopolazione anomala rispetto alle altre.

Si noti come la probabilit` a che la sottopopolazione anomala abbia la stessa distribuzione della

sottopopolazione MP e MInt `e, in entrambe le direzioni, bassa .

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Come si pu`o notare dai risultati esposti in tabella 4.3 la probabilit`a che la sot- topopolazione anomala abbia la stessa distribuzione rispetto alla sottopopolazione MP e MInt `e, in entrambe le direzioni, abbastanza bassa mentre la probabilit`a che la sot- topopolazione MP abbia la stessa distribuzione spaziale rispetto alla sottopopolazione MInt `e sensibilmente pi` u elevata, il che suggerisce che la sottopopolazione ’anomala’

abbia un’origine diversa dalle altre sottopopolazioni, in accordo con quanto sostenuto da diversi autori (vedi ad es. Pancino et al. 2003).

4.10 Il bump del ramo delle giganti

L’esistenza di un addensamento di stelle in una ristretta zona di luminosit`a sull’RGB nel diagramma HR di un ammasso globulare (bump) `e stata predetta per la prima vol- ta da Thomas (1967) e Iben (1968). Come gi`a detto nel cap.1 la presenza del bump si interpreta come dovuta ad una diminuzione di luminosit`a lungo l’ RGB seguita dalla ripresa del regolare aumento di luminosit`a al crescere del nucleo di elio fino all’in- nesco dell’elio centrale al vertice dell’RGB. Tale diminuzione di luminosit`a `e dovuta all’attraversamento da parte della shell di combustione di idrogeno della discontinuit`a nel profilo chimico lasciata dalla massima penetrazione dell’inviluppo convettivo du- rante il primo dredge-up; la shell si trova improvvisamente in un ambiente pi` u ricco di idrogeno e con valori non pi` u all’equilibrio per C, N ed O. Dato che la luminosit`a della stella diminuisce per poi riaumentare di nuovo, lo stesso tratto sull’RGB viene percorso tre volte. Come conseguenza, in quella zona dell’RGB si ha un aumento del numero osservato di stelle.

Il bump in generale non `e una caratteristica molto evidente. Per esempio, seguendo

le previsioni di Iben (1968), solo ∼ 4 stelle ogni 100 appartenenti all’RGB si dovrebbero

trovare entro la regione del bump. Inoltre, negli ammassi poveri di metalli, il bump

si trova nella parte brillante dell’RGB molto al di sopra del ramo orizzontale, dove il

numero di stelle totale `e piccolo a causa dei rapidi tempi evolutivi e quindi pu`o essere

confuso nel rumore dei conteggi. Per questa ragione il bump non `e stato rivelato se

non in tempi relativamente recenti da King et al. (1985) ed in un ammasso globulare

(47 Tucanae) molto ricco di metalli (Z ∼ 0.004).

mentre la dipendenza dal contenuto di elio sembrerebbe essere inferiore (vedi ad es.

Cassisi e Salaris 1997). Infatti la luminosit`a del bump dipende principalmente dalla profondit`a dell’affondo della convezione esterna durante il primo dredge-up (se la con- vezione `e affondata molto profondamente la discontinuit`a chimica e quindi il bump si trover`a a luminosit`a pi` u basse) che `e influenzato dai vari parametri elencati. Anche se la composizione chimica e l’et`a di un ammasso fossero note con precisione, l’efficienza della convezione esterna non sarebbe comunque calcolabile in manera esatta: `e per- tanto difficile fare previsioni teoriche precise sulla posizione del bump dell’RGB. Nelle figure 4.93, 4,94 e 4.95 abbiamo cercato di quantificare le dipendenze sovracitate. In figura 4.92 `e mostrato come sia stata determinata la magnitudine media del bump ed il relativo errore in corrispondenza delle isocrone teoriche.

1.29 1.295 1.3 1.305 1.31 1.315 1.32

B

−R

−0.62

−0.61

−0.6

−0.59

−0.58

−0.57 M

Z=0.0004 Y=0.230 t=12 Gyr

indeterminazione

del bump teorico magnitudine

media del bump

sulla posizione ml=2.0

Figura 4.92 Determinazione della mangitudine teorica del bump per Z=0.0004, Y=0.23, ml=2.0, t=12 Gyr: il valore medio `e indicato in figura con la freccia blu e la barra d’errore

`e pari alla met` a della barra d’indeterminazione indicata in figura in colore magenta. .

Come possiamo notare dalla figure 4.93 la posizione del bump per una data metal-

licit`a dipende dall’ et`a infatti al variare dell’et`a cambia la massa evolvente in RGB

CAPITOLO 4. ANALISI DEL DIAGRAMMA COLORE-MAGNITUDINE DI ω CENTAURI

e quindi l’affondo della convezione esterna. Per Z=0.0015 la variazione di circa 1Gyr corrisponde ad una variazione di ∆M R 625 ∼ 0.03. In figura 4.94 `e riportato l’andamen- to di della posizione dei bump teorici in funzione del tempo, avendo scelto Z=0.0006 (con Y=0.23) nei casi in cui la lunghezza di mescolamento α `e pari a 2.0 ed 1.6; si vede che la dipendenza dal valore di α `e molto forte anche se in realt`a questa incertezza in caso di confronto con le osservazioni `e ridotta dal fatto che il valore di α per le isocrone teoriche `e calibrato in modo da riprodurre il colore dell’RGB di ammassi globulari osservati di nota composizione chimica (si veda Cariulo et al. 2004 [58]).

In figura 4.95 `e riportato l’andamento della luminosit`a del bump in funzione della metallicit`a per un’et`a pari a 12 Gyr. Al variare della metallicit`a cambia leggermente la massa evolvente in RGB e, soprattutto, cambia l’opacit`a della materia e quindi anche la penetrazione della convezione dell’inviluppo. Si noti che una variazione di [Fe/H]

circa 0.1 dex implichi una variazione della magnitudine del bump M R 625 di circa 0.08.

9 10 11 12 13 14 15 16

t (Gyr)

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05 M

[Fe/H]=−1.37

Figura 4.93 Posizione dei bump teorici in funzione dell’et` a per Z=0.0015 (con Y=0.23 e [α/F e]=0.4 ⁴⁰ ) .

40 Il valore ottenuto dal best fit `e pari a M R

= 0.034t − 0.528

9 10 11 12 13 14 15 16 t (Gyr)

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2 M

Figura 4.94 Posizione dei bump teorici in funzione dell’et` a per Z=0.0006 per due valori di ml (con Y=0.23 e [α/F e]=0.4). ⁴¹ .

−2.5 −2.3 −2.1 −1.9 −1.7 −1.5 −1.3 −1.1

[Fe/H]

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

5.5511e−17 M

t=12 Gyr

Figura 4.95 Posizione dei bump teorici in funzione della metallicit` a per un’et` a pari a 12 Gyr ⁴² .

Dal momento che la posizione del bump dipende dalla metallicit`a se in ω Centauri

41 Il valore ottenuto dal best fit `e pari a M R

= 0.037t−0.891 per ml=2.0 e M R

= 0.038t−0.837 per m.l=1.6

42 Il valore ottenuto dal best fit `e pari a M R

= 0.80[F e/H] + 0.96