ANALISI E SIMULAZIONI NUMERICHE DEI PROCESSI ELETTROMAGNETICI E TERMICI IN BOBINE PER RISCALDAMENTO AD INDUZIONE CON ALTE DENSITÁ DI CORRENTE

Testo completo

(1)CORSO DI LAUREA MAGISTRALE INGEGNERIA ELETTRICA. TESI DI LAUREA. ANALISI E SIMULAZIONI NUMERICHE DEI PROCESSI ELETTROMAGNETICI E TERMICI IN BOBINE PER RISCALDAMENTO AD INDUZIONE CON ALTE DENSITÁ DI CORRENTE. RELATORE:. Prof. LUPI SERGIO (DIE – Università degli Studi di Padova). CORRELATORI:. Prof. NACKE BERNARD (ETP – Leibniz Universität Hannover). Dr.Ing. NIKANOROV ALEXANDER (ETP – Leibniz Universität Hannover). Prof. FORZAN MICHELE (DIE – Università degli Studi di Padova). LAUREANDO:. BRESSAN FERNANDO. ANNO ACCADEMICO 2010-2011.

(2) 2.

(3) INDICE. LISTA DEI SIMBOLI ..................................................................................................................................................... 2 SUMMARY ...................................................................................................................................................................... 5 SOMMARIO .................................................................................................................................................................... 8 INTRODUZIONE ........................................................................................................................................................... 9 1.. PROCESSI DI RISCALDAMENTO AD INDUZIONE - INDUTTORI ......................................................... 12. 2.. FENOMENI FISICI NEI PROCESSI DI RISCALDAMENTO AD INDUZIONE......................................... 15 2.1. FENOMENI ELETTROMAGNETICI............................................................................................................................................. 15 2.2. MODELLO MATEMATICO DEL PROCESSO TERMICO ........................................................................................................ 24 2.3. PROPRIETÁ DEI MATERIALI ....................................................................................................................................................... 25 2.4. ASPETTI IDRODINAMICI............................................................................................................................................................... 27 2.5. TERMODINAMICA E TRASMISSIONE DEL CALORE ........................................................................................................... 31. 3.. COEFFICIENTE DI TRASMISSIONE DEL CALORE PER CONVEZIONE................................................ 34 3.1. GENERALITÁ...................................................................................................................................................................................... 34 3.2. DEFINIZIONE DEL COEFFICIENTE DI SCAMBIO PER CONVEZIONE .......................................................................... 36 3.3. DETERMINAZIONE DEL COEFFICIENTE DI SCAMBIO PER CONVEZIONE ............................................................... 45 3.4. APPLICAZIONE .................................................................................................................................................................................. 58. 4.. SOFTWARE ......................................................................................................................................................... 60 4.1. GENERALITÁ...................................................................................................................................................................................... 60 4.2. MATLAB ............................................................................................................................................................................................... 61 4.3. FLUX ED ANSYS ............................................................................................................................................................................... 62. 5.. APPLICAZIONI DEL METODO ....................................................................................................................... 65 5.1. CONFIGURAZIONI E IPOTESI DI STUDIO ............................................................................................................................... 65 5.2. ELENCO DELLE SIMULAZIONI ................................................................................................................................................... 66 5.3. RISULTATI .......................................................................................................................................................................................... 67. 6.. ANALISI DEI RISULTATI E SVILUPPI FUTURI ......................................................................................... 93. BIBLIOGRAFIA............................................................................................................................................................ 94 APPENDICE A ............................................................................................................................................................. 95 APPENDICE B ............................................................................................................................................................. 96 APPENDICE C ............................................................................................................................................................. 97 APPENDICE D .......................................................................................................................................................... 106 RINGRAZIAMENTI .................................................................................................................................................. 110 ACKNOWLEDGEMENTS ........................................................................................................................................ 111. 3.

(4) LISTA DEI SIMBOLI SIMB.. U.M.. DESCRIZIONE. Temperatura. Campo elettrico. λ. W/m °C. Conducibilità termica. Densità di corrente. cp. J/kg °C. Calore specifico. Campo magnetico. E. V/m A/m. 3. 3. w. W/m. Densità di potenza. γ. Kg/m. f. Hz. Frequenza. μd. kg/(m∙s). ω. rad/s. DESCRIZIONE. °C. A/m. G. U.M.. ϑ. H. 2. SIMB.. Pulsazione. ν. 2. m /s. Densità Viscosità dinamica Viscosità cinematica. 2. δ. m. Spessore di penetrazione. h. W/m °C. Coefficiente scambio termico. ρ. Ω∙m. Resistività. fa. -. Fattore di attrito. μ. H/m. Permeabilità magnetica. Li. m. Lunghezza ingresso idrodinam.. μ0. H/m. Permeabilità magnetica vuoto. wm. m/s. Velocità fluido. ξ. -. Coordinata radiale. qw. l/min. Portata fluido. m. -. Parametro adimensionale. mw. kg/s. Portata di massa. R. m. Raggio esterno. Re. -. Numero di Reynolds. r. m. Coordinata raggio. Nu. -. Numero di Nusselt. S. m. Sezione. Pr. -. Numero di Prandtl. L. m. Lunghezza. Lp. W. Potenza di pompaggio. DH. m. Diametro idraulico. q. W/m. Flusso di calore. D. m. Diametro. Q. W. Calore. t. s. Tempo. δT. m. Strato limite temperatura. j. -. Unità immaginaria (√−1). δV. m. Strato limite velocità. 2. 4. 2.

(5) SUMMARY The present work, done thanks to the Eramsus international exchange program and developed in the frame of the cooperation between the Department of Electrical Engineering (DIE) of Padua University and the Institut für Elektroprozesstechnik (ETP) of Hannover University, aims to investigate the behavior of inductors for induction heating in applications with high current density. This summary provides a general overview of the contents of the work and allows an easy identification of the chapters. The study focuses primarily on the phenomenon of heat transfer in inductors, especially when the heating processes require high current density. Main objective of the work is to develop an accurate method to design the forced cooling system of an inductor, in order to prolong its lifetime and prevent failures to equipment, which can cause sudden stops of production, with its related costs. The introduction outlines the current state of the art about the topics studied, reporting the innovations that industry requires and observing how this field of study is relatively unexplored. With reference to the physical models of the study, the main problems are represented by the formulations that are often empirical. Also, the models generally used consider only the average values of the quantities under examination, losing therefore accuracy as regards possible localized overheating. This chapter underlines that today the companies solve the problems of the inductor's cooling by adopting solutions dictated by the previous work experience. Finally, even if some of these companies developed some design method about this topic, in any case it was not published. Chapter 1 describes the process of induction heating and provides a brief description of its applications, giving an overview of the types of coils generally used. Chapter 2 deepens the physical phenomena that are of interest in the analysis, such as electromagnetic and thermal coupled problems, the heat transmission by conduction and convection, ending with a brief description of the hydrodynamic aspects. The chapter 3 represents the core of the work. Here is proposed a new way to define a curve which shows the dependence between the heat transmission coefficient by convection and the temperature. In this model are considered all the variables present, such as the pressure of. 5.

(6) the cooling fluid, the geometry of the system and the dependence between the physical parameters of materials and the temperature. This curve is built considering two different parts of it, each part obtained in a different way. The first part of the curve has been obtained by analytical analysis and represents the heat transfer coefficient by convection as a function of temperature, with values ranging between the ambient temperature and the boiling temperature of the cooling fluid. The second part of this curve, for values of temperature higher than the boiling temperature of the cooling fluid, is obtained from experimental data reported in literature (see [5] in bibliography). Starting from the results of this experiment, with a polynomial interpolation has been obtained a relationship between the heat transfer coefficient and temperature. Have been also proposed two different ways to simulate the models. The first way, called “Line Region”, considers only the coil and uses the internal surface of the inductor tube (interface copper-water) as the border zone where the heat exchange conditions are imposed. The second way, called “Equivalent Layer”, allows also to take into account the distribution of temperature in the cooling fluid. To do this, it has been considered a small layer between the cooling fluid and the copper, in which the thermal conductivity has an effect equivalent to a convection phenomenon. Chapter 4 describes the software used for this work: Matlab, Ansys and Flux. Here are described the principles that these software uses to do the simulations and the “windows” to prepare the models and read the results. The use of more than only one software allowed us to compare the results and, in some cases, also to highlight the limits of software that inevitably sometimes appear when doing simulations. The chapter 5 lists the hypothesis considered in the models and the configurations simulated. In particular the use of a 2D model represents the biggest limit, because it neglects the edge effects. Moreover, in this study we have neglected the proximity effect due to the presence of the load. The models have been used for simulations with different frequencies, different current intensity and different geometrical configurations, e.g. thickness of the coil tube and type of corners (round corners and rectangular corners).. 6.

(7) Chapter 6 shows the results of the simulations and gives an outlook on future developments. An important remark must be done at the end of this work, i.e. that it is necessary to validate the results obtained with experimental tests. Moreover, it will be important to define an equivalent value of the thermal conductivity of the cooling fluid in turbulent flow conditions and with the presence of steam’s bubbles. Finally, it is planned to continue this work for analyzing several different cases, in order to obtain useful results to be published in order to make it handy for practical use.. 7.

(8) SOMMARIO Il testo presente si articola in 7 parti: Introduzione: viene riassunto lo stato dell’arte in merito all’argomento oggetto di studio e sono presentate le principali motivazioni che hanno portato ad effettuare tale studio. Capitolo 1: il primo capitolo introduce processo di riscaldamento ad induzione, riportando le caratteristiche che lo differenziano rispetto ad altri processi. Viene inoltre riportata una serie di immagini per illustrare gli induttori più utilizzati nelle applicazioni industriali. Capitolo 2: nel secondo capitolo vengono approfonditi gli aspetti teorici che sono alla base dello studio svolto. Viene posta particolare attenzione alle proprietà dei materiali, si espongono i modelli elettromagnetico e termico accoppiati, per finire con alcuni cenni sull’idrodinamica del fluido di raffreddamento e con l’analisi della trasmissione del calore per conduzione e convezione. Capitolo 3: il terzo capitolo racchiude la parte più importante del lavoro svolto. Si descrive dettagliatamente il modello proposto per studiare come avviene lo scambio termico tra l’induttore e il liquido di raffreddamento che scorre nel canale interno della bobina. Capitolo 4: il quarto capitolo presenta i principi di funzionamento dei vari software utilizzati nelle varie fasi dello studio, in particolare a livello computazionale sono stati utilizzati Matlab, Ansys e Flux. Capitolo 5: il quinto capitolo raccoglie tutte le informazioni ottenute, vengono inoltre formulate le ipotesi di studio per passare infine all’organizzazione delle simulazioni che illustreranno i risultati dei problemi analizzati. Sono presentati poi i risultati delle simulazioni con le varie configurazioni proposte, dall’induttore a sezione circolare a quello a sezione rettangolare, dagli spigoli a 90° agli angoli smussati con vari raggi di raccordo, confrontando infine un metodo semplificato (Line Region) con un metodo più accurato ma allo stesso tempo più complesso (Equivalent Layer). Capitolo 6: il sesto ed ultimo capitolo riassume il lavoro svolto e illustra quali sono gli sviluppi futuri per migliorare lo studio effettuato. L’obiettivo finale rimane quello di cercare il miglior metodo per progettare correttamente gli induttori considerando il raffreddamento forzato, cercando di ottenere un modello che si possa proporre pubblicamente in ambiente industriale.. 8.

(9) INTRODUZIONE Come in molti processi industriali, anche nel riscaldamento ad induzione il guasto delle apparecchiature risulta essere la causa di fermata d’impianto. Tali interruzioni non pianificate possono incidere significativamente nel costo finale del prodotto. A tal proposito, negli ultimi anni il mercato sta chiedendo maggior innovazione e durata di vita delle bobine induttrici, in particolare per processi di tempra ad induzione. Tale domanda ha portato diverse aziende a condurre ricerche in merito, sviluppando successivamente numerose pubblicazioni. Gli studi condotti evidenziano una conclusione comune: durante i processi di lavorazione, i principali guasti che si manifestano negli induttori sono riconducibili a rotture meccaniche e a sovratemperature, entrambi dovuti a un insufficiente raffreddamento. Queste conclusioni implicitamente indicano che non è semplice progettare la configurazione ottimale di un induttore, in particolare quando si utilizzano elevate densità di corrente oppure geometrie non convenzionali. E’ inoltre noto che è sempre importante in fase progettuale conoscere il grado di sfruttamento a cui sarà soggetta la bobina (in termini di corrente utilizzata rispetto alla corrente massima utilizzabile), nonché approfondire quale sia la configurazione che porta alla distribuzione più uniforme della temperatura all’interno dell’induttore. Queste ricerche identificano quindi molto bene quali saranno gli obiettivi dei prossimi studi nel settore. Tuttavia, ad oggi tali studi non offrono pubblicamente una valida soluzione per risolvere il problema in fase progettuale. Si rende necessario allora sviluppare un metodo accurato per progettare gli induttori specialmente nel caso in cui si utilizzino alte densità di corrente e sia presente un sistema di raffreddamento forzato. Nelle prime fasi dello sviluppo del riscaldamento ad induzione con elevate densità di corrente, sono state sviluppate molte raccomandazioni empiriche, ad esempio la massima densità di corrente utilizzabile o la massima densità di perdite nel rame. Tra i numerosi tentativi di studio per aumentare la vita degli induttori si è cercato anche di considerare diversi materiali con i quali realizzare bobine, proponendo argento, ottone, altre leghe di rame e rame ricotto. Tali tentativi hanno però portato a miglioramenti limitati e quindi spesso non sono stati pubblicati.. 9.

(10) Attualmente le industrie utilizzano diversi approcci per evitare guasti dovuti a sovratemperature e quindi aumentare la vita degli induttori. In ogni caso, generalmente le operazioni da eseguire per limitare sovratemperature in ordine sono: potenziare il sistema di raffreddamento, ridurre la densità delle sorgenti di calore (distribuzione della densità di corrente) e infine cambiare la geometria della bobina. Potenziare il sistema raffreddamento significa incrementare la portata d’acqua tramite adattamenti della cavità all’interno della quale scorre l’acqua, oppure introdurre ulteriori circuiti di raffreddamento. L’aumento della portata d’acqua è la prima operazione da svolgere, finché non si raggiungono i limiti della pompa. Se si raggiungono i limiti della pompa, occorre sostituire la pompa esistente con una più potente oppure introdurre un sistema di pompaggio d’acqua supplementare. In molti casi la pressione dell’acqua può raggiungere i 2MPa (20 bar). Nei casi in cui nemmeno un miglior sistema di raffreddamento sia sufficiente, bisogna intervenire tentando di minimizzare la densità di potenza nei punti critici dell’induttore. Tuttavia questa soluzione risulta spesso impegnativa se si hanno induttori complessi, cambiare una particolare sezione può avere diversi effetti indesiderati nel risultato del riscaldamento. I programmi di simulazione che si utilizzano oggi permettono di calcolare in modo accurato i parametri elettromagnetici e la distribuzione delle temperature nei componenti oggetto di studio. Raramente tali software sono utilizzati per considerare trasformazioni strutturali, stress e deformazioni dovuti a effetti termici, di conseguenza esistono solo poche pubblicazioni in merito al comportamento all’interno della bobina. Prevedere i guasti per effetti termici nel rame è quindi ad oggi molto difficile, sono richieste inoltre considerazioni relative a una serie di fenomeni come l’elettromagnetismo, la dinamica dei fluidi, la trasmissione del calore e la scienza dei materiali. È necessario inoltre verificare l’accuratezza delle tradizionali formulazioni matematiche quando si è in presenza di particolari configurazioni, sempre più spesso utilizzate nei processi di riscaldamento per induzione. Ad esempio lo studio della trasmissione del calore dal rame verso l’acqua è limitata da relazioni che partono da basi empiriche e che spesso usano parametri medi come nel caso della temperatura, della velocità del fluido di raffreddamento e delle dimensioni del canale dove scorre l’acqua. Ulteriore particolarità del riscaldamento ad induzione è la distribuzione delle sorgenti di calore, spesso disposte principalmente su un lato della sezione del tubo col quale è realizzato l’induttore.. 10.

(11) Un’altro settore d’analisi impegnativo riguarda le proprietà fisiche materiali, soprattutto quando si cerca di capire quali effetti abbiano sul rame i processi termici e chimici che si manifestano durante il normale esercizio di riscaldamento per trattamenti termici. La possibilità di studiare le problematiche finora esposte, l’opportunità di sviluppare un lavoro di tesi con il programma di scambio internazionale Erasmus e l’ottima collaborazione che negli anni si è instaurata tra il Dipartimento di Ingegneria Elettrica (DIE) dell’Università di Padova e l’Institut für Elektroprozesstechnik (ETP) dell’Università di Hannover, sono state le principali motivazioni che hanno portato allo sviluppo di tale lavoro. In questo lavoro si cercherà di approfondire le tecniche di raffreddamento esistenti, comprendendo meglio come in un induttore avviene il trasferimento di calore dal rame verso l’acqua, cercando infine trovare un metodo di valutazione quanto più accurato possibile per inserire un sistema di raffreddamento adeguato nel progetto di una bobina per processi di riscaldamento ad induzione con elevate densità di corrente. E’ importante infine considerare che, data la complessità delle problematiche in esame, il presente lavoro potrà costituire materiale di studio per futuri approfondimenti e sviluppi.. 11.

(12) 1. PROCESSI DI RISCALDAMENTO AD INDUZIONE - INDUTTORI Il riscaldamento ad induzione è uno dei processi oggi maggiormente utilizzati per il riscaldamento di corpi elettricamente conduttori, nella maggior parte dei casi costituiti da materiali metallici. Tra i principali fattori di successo che hanno portato alla grande diffusione di questa tecnologia per le particolari caratteristiche che la rendono praticamente insostituibile in molti processi industriali, si possono evidenziare: -. sviluppo di calore direttamente nel materiale da riscaldare, con possibilità di localizzare detto calore in zone determinare del corpo in riscaldamento;. -. ripetibilità dei trattamenti termici e quindi costanza di delle caratteristiche del prodotto finito, con conseguente riduzione degli scarti;. -. aumento della produzione grazie alla possibilità di mettere in gioco potenze specifiche elevate e quindi realizzare riscaldamenti in tempi brevi, con conseguente riduzione dei costi della mano d’opera.. -. rapida entrata a regime dei cicli di riscaldamento. -. perdite di calore verso l’ambiente praticamente trascurabili, con conseguente maggior rendimento e condizioni di lavoro migliori per gli operatori. -. automazione degli impianti resa possibile grazie a sistemi di programmazione, controllo e regolazione a microprocessori. -. affidabilità degli impianti che riduce le interruzioni della produzione per guasti rispetto alle altre tecniche di riscaldamento tradizionali. -. eliminazione quasi totale delle cause di inquinamento ambientale.. I principali settori di applicazione, sia per il numero di impianti esistenti che per l’entità delle potenze installate, riguardano: -. tempra totale o localizzata. -. lavorazioni a caldo dei metalli (laminazione, forgiatura e stampaggio). -. saldatura e brasatura. -. fusione dei metalli.. I principi su cui si basa il riscaldamento per induzione sono ben noti: -. la produzione del calore viene realizzata mediante correnti indotte nel corpo da riscaldare per induzione elettromagnetica (leggi i Maxwell), quando questo viene sottoposto all’azione di un campo magnetico alternativo. 12.

(13) -. le correnti indotte, dette anche “correnti di Focault”, danno luogo a perdite per effetto Joule direttamente nel materiale da riscaldare, le quali costituiscono le sorgenti di calore necessarie per aumentare la temperatura del corpo. -. la distribuzione delle correnti indotte e delle sorgenti di calore risulta sempre disuniforme a causa degli effetti elettromagnetici (effetto pelle, effetto anello ed effetto prossimità). -. l’aumento della temperatura nel corpo in riscaldamento, determinato dalla conduzione termica (equazione di Fourier).. Gli elementi che costituiscono un sistema di riscaldamento ad induzione sono il convertitore di frequenza, la batteria di condensatori, la bobina induttrice e il corpo da riscaldare. L’energia viene trasferita dalla bobina che crea il campo magnetico verso il corpo da riscaldare per via elettromagnetica, senza quindi il contatto degli elementi. Il campo magnetico di eccitazione si ottiene facendo circolare una corrente di intensità e frequenza opportune entro una bobina induttrice, generalmente realizzata in tubo di rame raffreddato internamente con circolazione d’acqua. Scegliendo opportunamente la frequenza e la geometria dell’induttore si possono eseguire distribuzioni delle sorgenti di calore nel carico sia di tipo localizzate che uniformemente distribuito, a seconda del trattamento termico da realizzare. Sono riportate nelle figure che seguono alcune configurazioni di induttori, utilizzati a livello industriale nelle applicazioni sopra descritte. Induttore per riscaldamento di. Induttore per. superfici interne ad alta frequenza. riscaldamento di billette. Fig. 1-1. Fig. 1-2. 13.

(14) Induttori utilizzati per temprare ruote. Induttore per temprare dente per dente. dentate nel settore automobilistico:. le ruote dentate:. Fig. 1-3. Fig. 1-4. Induttore per saldare specchi. Induttore per riscaldamenti. retrovisori nel settore automobilistico. di dischi o piatti. Fig. 1-5. Fig. 1-6.

(15) 2. FENOMENI NI FISICI NEI PROCESSI DI RISCALDAMENTO AD INDUZIONE 2.1. FENOMENI ELETTROMAGNETICI ELETTROMAGNETIC Applicando una tensione alternata ad una bobina induttrice per riscaldamento ad induzione, si ottiene che una corrente alternata inizia a circolare al suo interno. Nei. processi ssi. di. riscaldamento. per. induzione. generalmente si utilizzano correnti alternate in un campo di frequenze che va da qualche kHz alle centinaia di kHz. La corrente alternata che percorre l’induttore produce un campo magnetico, variabile nel tempo con la stessa st Fig. 2.1-1. frequenza della corrente che fluisce nella bobina.. Questo campo magnetico investe il pezzo in lavorazione e genera al suo interno la circolazione di correnti indotte, aventi la stessa frequenza del campo magnetico e quindi della corrente nell’induttore. corre indotta nel carico ha verso opposto rispetto alla Secondo la legge di Faraday, la corrente corrente che circola nell’induttore. Tali correnti producono calore per effetto Joule (R∙I (R 2).. Fig. 2.1-2. lici fenomeni elettromagnetici (effetto (effetto pelle, effetto anello, effetto prossimità A causa di molteplici ed effetto di bordo) la distribuzione della corrente nell’induttore e nel carico non è uniforme. Tale disuniformità delle sorgenti di calore causa una distribuzione della temperatura a sua volta non uniforme.. 15.

(16) EFFETTO PELLE Dai fondamenti dell’elettrotecnica, quando una corrente continua fluisce in un conduttore la distribuzione di tale corrente nella sezione è uniforme. Invece, quando una corrente alternata fluisce nello stesso conduttore, generalmente la distribuzione della corrente non è più uniforme, localizzando valori di corrente più elevati sulla superficie esterna del conduttore. La densità di corrente decresce quindi dall’esterno verso l’interno nella sezione del conduttore. Tale fenomeno è chiamato “effetto pelle” e si manifesta sempre in presenza di corrente alternata. Al fine di approfondire il significato dell’effetto pelle, in prima approssimazione la distribuzione della densità di corrente può essere rappresentata con la seguente formula per lastra piana indefinita:. Dove. = ∙

(17). (2.1-13). - y è la distanza [m] dalla superficie del conduttore verso in centro della sezione. - è la densità di corrente [A/m2] sulla superficie.. La densità di potenza, ritenendo l’induttore costituito di materiale isotropo (pertanto la resistività si può ritenere una grandezza scalare), è pari a: = ∙ . (2.1-14). Pertanto, una volta nota la distribuzione della densità di corrente, la distribuzione della densità di potenza è facilmente ricavabile dalla relazione: . = ∙ = ∙ . dove = ∙ è la densità di potenza con ξ=1.. ∙ ∙ . (2.1-15). In accordo con la formula (2.1-15), a causa dell’effetto pelle approssimativamente l’86% della potenza si concentra in uno strato superficiale del conduttore. Tale strato è chiamato “spessore di penetrazione” (δ) ed è definito a partire dalla (2.1-7): =. ∙". # ∙ $ ∙ $. = 503 ∙. ". (∙$. (2.1-16). L’effetto pelle pertanto dipende dalla frequenza (f) e dalle proprietà (resistività ρ e permeabilità magnetica relativa μ) del materiale percorso da corrente alternata.. 16.

(18) Fig. 2.1-3. L’immagine sopra riportata illustra la distribuzione della corrente nella sezione di un conduttore al variare della frequenza. L’effetto pelle è tanto più pronunciato quanto maggiore è la frequenza della corrente applicata, oppure quanto maggiore è il raggio (o come nel nostro caso lo spessore) del conduttore utilizzato. Le figure seguenti illustrano a sinistra il significato di spessore di penetrazione, mentre a destra è confrontata la distribuzione della corrente con quella della potenza, sempre in sezioni di conduttori.. Fig. 2.1-4. 17.

(19) In termini matematici, lo spessore di penetrazione è la distanza dalla superficie verso il centro della sezione del conduttore, nella quale la corrente decresce fino ad assumere proprio valore in superficie. La densità di potenza, invece, alla distanza δ diminuisce di quello assunto sulla superficie.. ). . ) . volte il. volte il proprio valore rispetto a. Possiamo concludere allora che nello strato superficiale di spessore δ sono concentrate il 63% della corrente e l’86% della potenza nel conduttore. Si vuole di seguito illustrare l’influenza dell’effetto pelle in un induttore “lungo” a sezione circolare, con cavità interna per la circolazione del fluido di raffreddamento, percorso da corrente in direzione assiale. Trascurando le correnti di spostamento (date le frequenze in gioco) e supponendo le grandezze sinusoidali, le equazioni di Maxwell si scrivono nella forma:. Con:. *+, / = − 0 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ -. = . *+, - ". (2.1-1). - , / ,μ. resistività [Ω∙m] e permeabilità relativa del materiale costituente l’induttore. μ0 = 4,17∙10-7. permeabilità magnetica del vuoto [H/m]. ω=2∙п∙f. pulsazione [s-1]. f. frequenza [Hz]. j = √−1. intensità del campo magnetico [A/m] e del campo elettrico [V/m]. Tenuto conto che, con riferimento ad un sistema di coordinate cilindriche (r, φ, z) sono diverse solo le componenti Hφ di - ed Ez di / , omettendo i pedici, dalle (2.1-1) si ottiene: 3. 45. 4 4. 4. +. ) . ∙- =. .. ". = 0 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ -. Dalla seconda delle equazioni risulta: 45 4. =. ). 8∙#∙$∙$. ∙. 7. (2.1-2). 4. 4 . (2.1-3). Sostituendo la (2.1-3) nella prima equazione del sistema (2.1-2), tenendo conto che E = ρ ∙ G, con G densità di corrente [A/m2] nell’induttore, si ottiene: 4 4 . +. ) . ∙. 4 4. −. 8∙#∙$∙$ ". 18. ∙ =0. (2.1-4).

(20) Ponendo: 9=. =. . :. ;=. (2.1-5) ∙". # ∙ $ ∙ $. √ ∙ : <. = = −. (2.1-7). la (2.1-4) può essere riscritta nella forma: 4 4 . +. ) . ∙. 4 4. (2.1-6). 8∙#∙$∙$ ". ∙ > = −0 ∙ ;. + = ∙ = 0. (2.1-8). (2.1-9). La soluzione di tale equazione è del tipo:. = ?) ∙ @ AB−0 ∙ ; ∙ 9C + ? ∙ D AB−0 ∙ ; ∙ 9C. (2.1-10). con J0 e Y0 funzioni di Bessel di ordine zero, di prima e seconda specie. Le costanti C1 e C2 si determinano in base alle condizioni: = 7 . G - HI = 0. E. J * 9 = 1 . J * 9 = K. (2.1-11). con α = Ri / R , rapporto tra il raggio interno ed il raggio esterno dell’induttore. La soluzione di tale equazione, con le condizioni al contorno viste sopra, è: . L M∙N ∙OPQ . =. B−0 ∙ A) R C ∙ . Nella quale il termine. . ∙. [ T AB 8∙∙C ∙ UO AB 8∙∙RC – U AB 8∙∙C ∙ TO AB 8∙∙RC ]. X. Y∙Z ∙) [ . [ TO AB 8∙C ∙ UO AB 8∙∙RC UO AB 8∙C ∙ TO AB 8∙∙RC ]. (2.1-12). rappresenta la densità di corrente che si avrebbe se la. corrente I fosse distribuita uniformemente nella sezione dell’induttore. È importante evidenziare che all’interno della bobina (in genere realizzata in rame), durante il processo di riscaldamento, la permeabilità magnetica relativa e la frequenza rimangono praticamente costanti, mentre la resistività dell’induttore aumenta rispetto al valore iniziale per effetto dell’aumento della temperatura. Ciò comporta che, in relazione alla temperatura, anche lo spessore di penetrazione aumenta. Per applicare le considerazioni finora effettuate bisogna tuttavia considerare che, nella maggior parte dei processi di riscaldamento, poiché la densità di corrente (sorgenti di calore) non è distribuita uniformemente, ci sono sempre gradienti termici all’interno del conduttore. Tali gradienti comportano ovviamente una distribuzione della resistività elettrica non uniforme all’interno dell’induttore.. 19.

(21) EFFETTO ANELLO Finora è stata considerata la distribuzione della densità di corrente unicamente in un conduttore rettilineo a sezione circolare. Nelle applicazioni dei processi di riscaldamento esistono anche induttori aventi anche sezione rettangolare, ma soprattutto esistono induttori non rettilinei. Se il conduttore assume forma curva o addirittura ad anello, la corrente si ridistribuisce rispetto al caso rettilineo. In questi casi le linee del flusso magnetico si concentrano sempre sulla superficie, ma nella parte interna dell’anello. Tale addensamento delle linee di campo magnetico comporta un aumento della corrente proprio sulla superficie interna, in accordo anche con quanto verrà successivamente esposto nell’effetto prossimità, dato il verso della corrente.. Fig. 2.1-5. L’effetto anello si manifesta nelle bobina a singola spira così come nelle bobine multi spira. La presenza di questo effetto può avere conseguenze positive o negative sul processo di riscaldamento, in relazione alla posizione del carico rispetto all’induttore. Qualora l’induttore sia posto esternamente al carico, il fenomeno produce conseguenze favorevoli; contrariamente, se l’induttore si posiziona internamente al carico allora l’effetto anello riduce l’efficienza del processo.. 20.

(22) EFFETTO PROSSIMITÀ Sono stati descritti fenomeni elettromagnetici visualizzando un unico conduttore (l’induttore), senza considerare gli effetti dovuti ad altri conduttori (carico in riscaldamento) percorsi da corrente e posti nelle vicinanze. Tuttavia, la quasi totalità delle applicazioni di riscaldamento per induzione presenta una configurazione dove ci sono più conduttori posti l’uno in prossimità dell’altro. Bisogna pertanto considerare nell’analisi anche l’interazione tra i campi magnetici delle singole configurazioni. Generalmente tali accoppiamenti di campi magnetici portano a una distribuzione distorta delle densità di corrente e potenza, sia nell’induttore che nel carico.. Fig. 2.1-6. Se le correnti che circolano nei conduttori hanno lo stesso verso allora queste correnti tendono ad addensarsi sulle pareti opposte delle rispettive sezioni. Considerando i versi della corrente nell’induttore e quella indotta nel carico, per effetto della legge di Faraday risulta più interessante per i processi di riscaldamento a induzione il caso in cui le correnti nei conduttori hanno verso opposto. In questo caso le correnti tendono ad addensarsi sulle superfici più prossime delle rispettive sezioni; tale distribuzione è spiegata. 21.

(23) dal fatto che si genera un campo magnetico più intenso nella zona d’aria che separa i due conduttori. Se la distanza tra i due conduttori aumenta, l’effetto di prossimità diminuisce.. Fig. 2.1-7. Nel caso in cui il sistema non abbia geometria simmetrica, il fenomeno determina distribuzioni come quelle riportate nelle figure seguenti.. Fig. 2.1-8. 22.

(24) EFFETTO BORDO Al fine di garantire un buon processo process di riscaldamento bisogna prevedere con esattezza la distribuzione del campo elettromagnetico prodotto dalla bobina, bobina con diverse condizioni operative. Sia quando si ha il corpo in riscaldamento di lunghezza uguale ugual o inferiore a quella dell’induttore,, sia quando si hanno spigoli nella geometria del conduttore, nei bordi si manifestano densità di corrente e della potenza elevate. elevat L'effetto di bordo è in genere trascurabile quando si hanno induttori “lunghi” a flusso longitudinale. Questo uesto effetto può invece svolgere un ruolo importante quando il riscaldamento del carico avviene con flusso trasverso. A differenza dell’effetto pelle, dell’effetto anello e dell’effetto prossimità che incidono sulla distribuzione della temperatura mperatura nella sezione dell’induttore, l’effetto di bordo influenza anche la distribuzione della temperatura nella direzione longitudinale dell’induttore, dell’induttore a causa della distorsione del campo elettromagnetico ai bordi dell’induttore e del carico. carico Nel proseguo oseguo dello studio verranno considerate solo geometrie 2-D, 2 non potranno essere pertanto evidenziate le differenze tra l’utilizzo di induttori “corti” e induttori “lunghi”. Potranno invece essere visualizzati gli effetti di tale fenomeno dovuti alla presenza prese di spigoli nella geometria, come illustrato nella figura seguente dove vengono riportate le distribuzioni delle linee di campo magnetico in conduttori rettilinei con due differenti sezioni, circolare e rettangolare.. Fig. 2.1-9. L’effetto di bordo può essere re analizzato con procedimenti analitici complessi (Lavers, 1971; Koller, 1982) oppure, più convenientemente oggi, con metodi numerici. Se al fine di ottenere correnti concentrate sulla superficie del pezzo si utilizzano correnti a frequenza elevata (centinaia naia di kHz), indicazioni utili per il dimensionamento dell’induttore possono essere ottenute anche dallo studio della distribuzione del campo sulla superficie del pezzo, mediante il metodo delle immagini (Brown-Hoyler, (Brown 1947). 23.

(25) 2.2. MODELLO MATEMATICO DEL PROCESSO TERMICO Si consideri un induttore al cui interno sono distribuite le sorgenti di calore, con perdite nulle verso l’ambiente e con perdite proporzionali alla temperatura nella superficie interna lambita dal liquido di raffreddamento. L’equazione della conduzione termica in un corpo nel quale si abbia generazione interna di calore è:. Con. ∇ ] − ∙ = − 4b ` ^∙_. ϑ (P,t). λ, c, γ. w (P,t). 4a. cd,b `. (2.2-1). - temperatura dell’induttore al tempo t e nel punto P, [°C] - conducibilità termica [ W/m °C ], calore specifico[ J/kg °C ] e densità del materiale costituente l’induttore [ kg/m3 ] - potenza trasformata in calore per unità di volume [ W/m3 ]. Le condizioni al contorno sono: 3. ]=0 . 7 4a +ℎ∙] =0 4g. J * , = 0 . J * 9 = K. (2.2-2). Come avviene in genere, data la complessità analitica della soluzione, anche in questo lavoro tali equazioni verranno risolte tramite implementazione in modelli numerici. Nel caso particolare di induttore a sezione circolare con canale interno per la circolazione del fluido di raffreddamento, ricordando dalla (2.1-14) la potenza specifica, si ottiene: . = ∙ = ∙ . ∙ ∙ . E quindi l’equazione della trasmissione del calore diventa:. i∙_∙. 4a 4b. = −j ∙ . ka. Le condizioni al contorno sono: 3. k . + ∙ ) . ka k. + ∙. ]* = 0 . 7 4a +ℎ∙] =0 4. √∙m √∙m n l n

(26)

(27) . l. J * , = 0 . J * 9 = 1. La soluzione di tale problema non è certamente facile a livello analitico. 24. (2.2-3). (2.2-4). (2.2-5).

(28) 2.3. PROPRIETÁ DEI MATERIALI A seguito di valutazioni tecnico-economiche generalmente l’induttore viene realizzato in rame, mentre come fluido di raffreddamento normalmente viene utilizzata l’acqua data la facile reperibilità, il costo contenuto e le buone proprietà chimiche e fisiche per l’applicazione di fluido refrigerante. Un aspetto importante da considerare nell’analisi da svolgere è la variazione delle proprietà dei materiali durante i processi di lavorazione, in particolare in funzione della temperatura. PARAMETRI CHE INFLUENZANO I FENOMENI ELETTRICI Il rame presenta a 20 °C una resistività pari a 1,7∙10-08 Ω∙m . Tale proprietà varia linearmente con la temperatura, secondo la legge seguente:. ρ(ϑ ) = 1,7∙10-08 ∙[1 + 0,004 (ϑ – 20 )]. (2.3-1). La permeabilità magnetica relativa del rame è pari a 1 e rimane invariata con la temperatura. PARAMETRI CHE INFLUENZANO I FENOMENI TERMICI La conducibilità termica del rame a 27 °C è pari a 401 W/m °C. Nel campo di temperature che generalmente interessano gli induttori per riscaldamenti ad induzione, tale proprietà varia linearmente con la temperatura, secondo la legge seguente:. λ(ϑ ) = 401 ∙ [1 - 0,07 (ϑ − 27)]. (2.3-2). La densità γ del rame si può ritenere indipendente dalla temperatura e pari a 8933 kg/m3. Il calore specifico del rame a 27 °C è pari a 385 J/kg °C. Nell’intervallo di temperature che interessano gli induttori, tale proprietà varia linearmente con la temperatura, secondo la legge seguente:. cp(ϑ ) = 385 ∙ [1 + 0,105 (ϑ − 27)]. (2.3-3). Le caratteristiche fisiche dell’acqua (allo stato liquido), quali la conducibilità termica, la densità, la viscosità dinamica e il calore specifico, non sono facilmente reperibili in letteratura come semplici formule in funzione della temperatura. Esistono tuttavia alcune tabelle (con intervalli di temperatura elevati), come in Appendice A del testo [3] riportato in bibliografia. Di seguito è riportata una tabella con i valori calcolati come descritto nei paragrafi successivi.. 25.

(29) Tab. 2.3-1 Temperatura ϑ [°C]. Conducibilità termica λ [W/m∙°C]. Densità γ [kg/m3]. Viscosità dinamica μd [kg/(m∙s)]. Calore specifico cp [J/kg °C]. 20. 0,5992. 998. 0,001055. 4184. 40. 0,6271. 992. 0,000674. 4176. 60. 0,6515. 983. 0,000476. 4183. 80. 0,6689. 971. 0,000355. 4198. 100. 0,6810. 958. 0,000282. 4220. 120. 0,6847. 942. 0,000235. 4236. 150. 0,6800. 915. 0,000188. 4324. 200. 0,6554. 863. 0,000137. 4525. È importante evidenziare che la tabella riportata si riferisce all’acqua allo stato liquido, poiché. tale stato può permanere anche per ϑ maggiore a 100°C in relazione alla pressione a cui si. trova il fluido.. Considerando invece l’acqua allo stato di vapore acqueo, le caratteristiche fisiche rispetto allo stato liquido variano sensibilmente, tanto che si può assimilare il vapore a un buon isolante termico (indicativamente λ = 0,03 W/m∙°C – γ = 0,5 kg/m3 – μd = 1,6 kg/m∙s – cp = 1950 J/kg °C) .. 26.

(30) 2.4. ASPETTI IDRODINAMICI In molte applicazioni pratiche di riscaldamento ad induzione si utilizza il flusso di un liquido di raffreddamento nel canale interno degli induttori, al fine di evitare sovratemperature nella bobina. In tali applicazioni il fluido è mosso da una pompa all’interno di un condotto, per realizzare poi nell’induttore lo scambio termico desiderato. Per capire la fisica del raffreddamento, si consideri il moto di un fluido su una piastra piana: la coordinata x è misurata lungo la superficie della piastra a partire dal bordo d’attacco della stessa nella direzione del moto, mentre y è misurata a partire dalla superficie nella direzione normale ad essa. Il fluido investe la piastra con velocità uniforme w∞ . Si consideri il fluido come composto da strati adiacenti sovrapposti: la velocità delle particelle del primo strato di fluido adiacente alla piastra sarà nulla per effetto delle forze di attrito (condizione di scorrimento nullo). Negli strati adiacenti le particelle del fluido, per effetto della viscosità, tenderanno progressivamente a raggiungere la velocità indisturbata w∞ . La presenza della piastra viene avvertita fino ad una certa distanza δV al di là della quale w∞ resta costante. La velocità del fluido varierà da 0 per y =0 a circa w∞ per y = δV .. Fig. 2.4-1. La regione in corrispondenza della piastra delimitata da δV , all’interno della quale sono presenti delle forze di taglio viscose originate dalla viscosità del fluido, è detta “strato limite di velocità” (strato limite). Tale strato varia secondo x come indicato qualitativamente in figura. Lo spessore dello strato limite δV viene definito come la distanza dalla superficie alla quale w fluido = 0,99 ∙ w∞. Quindi, lo strato limite di velocità è la distanza dalla piastra in corrispondenza della quale la velocità del fluido ha raggiunto il 99% di w∞ . 27.

(31) È importante aver definito lo strato limite per distinguere lo studio del flusso interno da quello esterno a un condotto: nel flusso esterno il fluido ha una superficie libera e lo strato limite sulla superficie è libero di crescere indefinitamente, mentre nel flusso interno esiste un limite all’aumento dello strato limite, poiché il fluido è completamente confinato dalle superfici interne del tubo. Poiché in un tubo la velocità del fluido varia da zero sulla parete fino al valore massimo sull’asse del tubo, nel caso di fluidi all’interno di tubi conviene in ogni sezione riferirsi alla velocità media wm (m/s). Data la portata del fluido qW (l/min), tale velocità wm dipende unicamente dalla sezione trasversale S (m2) del canale interno all’induttore. Il valore della velocità media wm si determina:. =. pq. 60 ∙ ) ∙s. (2.4-1). Nota la velocità media wm , nell’analisi del flusso del fluido all’interno dell’induttore una grandezza interessante è la caduta di pressione Δp lungo il percorso, perché essa è legata direttamente alla potenza richiesta dalla pompa per sostenere il flusso. Dato un induttore di lunghezza L, la caduta di pressione è espressa dalla relazione:. ∆p = fw ∙ ∙ x. y. z∙{| . N/m . (2.4-2). dove fa è il fattore di attrito e D è il diametro del canale dove scorre il fluido. Il fattore di attrito in flusso laminare vale. fw =. . Z. (2.4-3). mentre con flusso turbolento, per tubi lisci, vale:. fa = 0,184 ∙ Re ,. (2.4-4). In flusso turbolento con superfici rugose, tale fattore si ricava dal diagramma di Moody reperibile in letteratura (vedi bibliografia [2]) e qui riportato al capitolo 3.2 . Il fattore di attrito e di conseguenza la caduta di pressione, per flusso turbolento all’interno di canali possono variare molto in funzione della rugosità della superficie. L’influenza della rugosità della superficie sul fattore di attrito in regime laminare può ritenersi trascurabile.. 28.

(32) La potenza di pompaggio richiesta per vincere una caduta di pressione Δp è fornita dalla relazione:. L =. ∙. γ. W. (2.4-5). All’interno di un tubo il moto del fluido può essere classificato in laminare o turbolento. Il regime di moto laminare è caratterizzato da linee di flusso regolari e moto ordinato, mentre in regime di moto turbolento è caratterizzato da variazioni di velocità e moto disordinato. Fisicamente il regime del moto viene identificato mediante il numero di Reynolds: Re =. {| ∙y . (2.4-6). dove ν rappresenta la viscosità cinematica del fluido. Come anticipato, il numero di Reynolds costituisce un utile criterio per determinare il regime del flusso in un induttore, sebbene abbiano notevole influenza anche la rugosità della superficie del canale e le fluttuazioni del flusso. Il valore generalmente accettato per il numero di Reynolds critico per il flusso all’interno di tubi è 2300, per cui si ha: Re < 2300. flusso laminare. 2300 < Re < 4000. transizione alla turbolenza. Re > 4000. flusso turbolento. Nella pratica il flusso turbolento viene utilizzato perché permette di ottenere valori più elevati dei coefficienti di scambio termico. Considerando infine un fluido che entra in un induttore con velocità uniforme, le particelle di fluido a contatto con la parete interna della bobina si arrestano completamente. Tale strato di fluido provocherà un rallentamento degli strati adiacenti a causa dell’attrito. Per rendere possibile questa riduzione di velocità il fluido nella zona centrale del canale deve accelerare per conservare costante la portata di massa del fluido nel tubo. Ne consegue che lungo il canale nell’induttore si sviluppa uno strato limite di velocità. Lo spessore di tale strato limite aumenta nella direzione del flusso fino a quando, raggiungendo l’asse del canale, non riempie tutta la sezione del canale stesso. La regione compresa tra la sezione di ingresso del canale nella bobina e la sezione dove lo strato limite raggiunge l’asse del canale, è detta regione d’ingresso idrodinamica e la sua lunghezza viene detta lunghezza d’ingresso idrodinamica (Li) . La regione oltre quella d’ingresso idrodinamica, nella quale il profilo della velocità risulta completamente sviluppato, viene detta regione idrodinamicamente sviluppata. 29.

(33) La lunghezza nghezza di ingresso idrodinamica in flusso laminare vale: L. ww. 0,05 · Re · D. (2.4-7). In flusso turbolento tale lunghezza viene ritenuta indipendente da Re e viene assunta pari a: L. . 10 · D .. Le figure seguenti illustrano schematicamente quanto finora descritto.. Fig. 2.4-2. Fig. 2.4-3. 30. (2.4-8).

(34) 2.5. TERMODINAMICA E TRASMISSIONE DEL CALORE Con l’analisi termodinamica si può determinare la quantità di calore trasferito per un qualunque sistema e un qualunque processo senza avere alcuna informazione sulla durata di quest’ultimo, poiché la termodinamica si occupa solamente della quantità di scambio termico che deve avvenire nel rispetto del principio di conservazione dell’energia. La determinazione della velocità di propagazione del calore verso o da un sistema, quindi i tempi di raffreddamento o di riscaldamento, così come la variazione di temperatura, costituiscono l’oggetto della trasmissione del calore. I principi della termodinamica sono alla base anche della trasmissione del calore: -. Primo principio – la quantità di calore trasferito in un sistema uguaglia l’entità dell’incremento di energia del sistema.. -. Secondo principio – il calore si propaga nella direzione delle temperature decrescenti, da una regione ad alta temperatura a un’altra regione a temperatura inferiore.. Requisito essenziale della trasmissione del calore è quindi l’esistenza di una differenza di temperatura, essa costituisce per la trasmissione di calore la forza motrice. L’entità dello scambio termico in una certa direzione dipende dalla grandezza del gradiente termico in quella direzione: più grande è la differenza di temperatura, maggiore è la potenza termica scambiata. Quando si conosce la potenza termica scambiata , la quantità totale di calore scambiato Q durante un intervallo di tempo Δt si può determinare con la relazione: ∆ Q Q dt. Nel caso particolare in cui = i+I,, , tale equazione si riduca a: Q = Q ∙ ∆t. (2.5-1). (2.5-2). Se definiamo come flusso termico la potenza termica riferita a una superficie di area unitaria, il flusso termico medio su una superficie si esprime:. q=. ¡ ¢. W/m . (2.5-3). Si può definire la trasmissione del calore come la forma di energia che si trasferisce da un sistema a un altro a seguito di una differenza di temperatura tra i due sistemi. Il calore si può trasferire tra sistemi in tre modi diversi: conduzione, convezione e irraggiamento. Nelle applicazioni illustrate nel presente lavoro, l’irraggiamento assume valori praticamente trascurabili, pertanto non viene successivamente considerato.. 31.

(35) La CONDUZIONE TERMICA è il trasferimento di energia che si verifica per effetto dell’interazione delle particelle di una sostanza dotate di maggiore energia con quelle adiacenti dotate di minore energia. La quantità di calore che si propaga per conduzione tra due regioni di un corpo dipende dalla geometria e dalle caratteristiche del corpo, così come dalla differenza di temperatura tra le regioni del corpo. Si consideri la conduzione termica stazionaria, ovvero in regime di temperature che non variano nel tempo. Il postulato di Fourier per la conduzione, formulato da Fourier nel 1822, afferma che: la potenza termica trasmessa per conduzione attraverso uno strato è proporzionale alla differenza di temperatura Δϑ attraverso lo strato e all’area S della superficie normale alla direzione della trasmissione di calore, mentre è inversamente proporzionale allo spessore dello strato. Adottando tale postulato nella nostra analisi, si può ricavare la formulazione che in ogni punto dell’induttore stabilisce la relazione tra il flusso termico per unita di superficie e il gradiente di temperatura:. Con:. q −λ ∙ ¤ = −λ ∙ grad ϑ ¤¥. (2.5-4). n - normale alla superficie isoterma passante per il punto considerato, orientata secondo la direzione delle temperature crescenti. λ - conducibilità termica [W/m°C].. Il segno negativo a secondo membro indica che il flusso va inteso positivo nel senso delle temperature decrescenti. La CONVEZIONE è la trasmissione di calore che si verifica in presenza di un fluido soggetto a trasporto di massa al suo interno. Conduzione e convezione sono fenomeni simili di trasmissione del calore in quanto entrambi richiedono la presenza di un mezzo materiale, anche se differiscono per il fatto che la convezione richiede la presenza di un fluido in movimento. La convezione viene classificata come naturale e forzata, in relazione alla causa che origina il moto del fluido. Nella convezione naturale il moto del fluido è generato da cause naturali, come il fenomeno del galleggiamento dove il fluido più caldo risale mentre quello più freddo discende. Nella convezione forzata il fluido è costretto a scorrere all’interno di un condotto da dispositivi esterni, come una pompa. Nel proseguo verrà considerato unicamente la convezione forzata.. 32.

(36) Nonostante la complessità di tale fenomeno fisico, la potenza termica per unità di superficie trasmessa per convezione è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura, come evidenziato dalla legge di Newton per la convezione:. ¨ ℎ ∙ ] − ]© . Con:. (2.5-5). ] - temperatura superficiale nel nostro caso della parete interna dell’induttore [°C].. ]© - temperatura del fluido nel nostro caso riferita all’asse del canale [°C].. h - coefficiente di trasmissione del calore per convezione [W/m2 °C].. Il coefficiente di trasmissione del calore per convezione non è una proprietà del fluido, ma un parametro determinato sperimentalmente, il cui valore dipende da tutte le variabili che influenzano la convezione, quali la geometria della superficie, la natura del moto, le proprietà e la velocità del fluido. Quando un fluido viene fatto scorrere su una superficie solida, è già stato detto che lo strato di fluido a contatto con la superficie aderisce ad essa, cioè uno strato molto sottile di fluido assume velocità nulla rispetto alla parete. Questo fenomeno, noto come condizione di scorrimento nullo, fa sì che la trasmissione del calore dalla superficie solida allo strato di fluido ad essa adiacente avvenga per conduzione pura, per cui il flusso termico per unità di superficie è:. Con. 4a 7. ª. 4g g«. q = −λ ∙ 7 ª ¤¥. ¤ «. (2.5-6). - gradiente di temperatura all’interfaccia tra solido e fluido.. Il flusso termico convettivo da una superficie di un solido a un fluido è quindi semplicemente il flusso termico conduttivo dalla superficie di un solido allo strato di fluido adiacente ad essa. Uguagliando allora le equazioni (2.5-5) e (2.5-6) risulta:. 7¤¥ª q = h ∙ ϑ − ϑ = −λ ∙ ¤. h=. ® ∙ 7. ¯° ª ¯± ±². ¥ ¥³ . «. (W/m2 °C). (2.5-7). (2.5-8). La determinazione di tale parametro risulterà di fondamentale importanza nel prosieguo dello studio: grazie al coefficiente di trasmissione del calore per convezione si può capire la quantità di calore generato nell’induttore che può essere estratta e trasferita al fluido di raffreddamento, riducendo così la temperatura nella bobina ai valori ammissibili durante il normale esercizio. 33.

(37) 3. COEFFICIENTE DI TRASMISSIONE DEL CALORE PER CONVEZIONE 3.1. GENERALITÁ Nei processi di riscaldamento ad induzione, in particolare nel processo di tempra, a regime termico l’induttore deve essere in grado di smaltire tutto il calore in esso generato per effetto Joule; se ciò non avviene la parte di calore non estratta causa un aumento della temperatura nella bobina. Una temperatura troppo elevata nella bobina può essere motivo di invecchiamenti rapidi del materiale o, nei casi più estremi, di guasti e rotture del componente. Si comprende allora come sia importante definire in fase progettuale una configurazione idonea dell’induttore, al fine di smaltire il calore generato e mantenere temperature accettabili nella bobina. Alcuni induttori, generalmente per lavorazioni con densità di correnti relativamente basse, sono progettati per raggiungere l’equilibrio termico smaltendo naturalmente il calore generato con l’ambiente circostante. Tuttavia, nella maggior parte dei processi di riscaldamento è richiesto l’utilizzo di elevate densità di corrente nell’induttore. Tipicamente con quest’ultima configurazione si estrae il calore dalla bobina mediante un circuito di raffreddamento, dove tramite un sistema di pompaggio e alcuni condotti viene fatto scorrere il fluido di raffreddamento (comunemente acqua) all’interno del canale ricavato nell’induttore. La trasmissione del calore dall’induttore verso l’acqua avviene pertanto per convezione forzata. È dimostrato inoltre che se il moto del fluido è di tipo turbolento anziché laminare, si ha maggior efficacia nel raffreddamento. Fisicamente il problema si può descrivere con l’equazione (2.5-5), per comodità qui riportata:. Dove. ¨ ℎ ∙ ] − ]© . - ¨ è il calore scambiato per unità di superficie. - ] è la temperatura dell’induttore sulla superficie interna (interfaccia rame – acqua) - ]© è la temperatura del fluido di raffreddamento sull’asse del canale. - ℎ è il coefficiente di trasmissione del calore per convezione.. In regime stazionario, i software di cui si dispone al giorno d’oggi permettono di risolvere il problema elettromagnetico fornendo la distribuzione delle sorgenti di calore nello spessore del tubo, le quali vengono inserite nel problema termico per trovare la distribuzione delle temperature.. 34.

(38) Tuttavia affinché il problema sia ben posto bisogna fornire anche le condizioni al contorno, in questo caso rappresentate nel software tramite il coefficiente ℎ, il quale esprime quanta potenza viene trasmessa per unità di superficie di scambio e di temperatura. Come anticipato nel capitolo precedente, il coefficiente ℎ di trasmissione del calore per convezione non è una proprietà del fluido ma un parametro determinato sperimentalmente, il cui valore dipende da tutte le variabili che influenzano la convezione, quali la temperatura, la geometria della superficie, la natura del moto, le proprietà e la velocità del fluido. In fase di progettazione attualmente è consuetudine assumere il coefficiente ℎ costante e con valori dettati dall’esperienza che il settore dell’elettrotermia ha maturato negli anni. Con le assunzioni attuali è evidente che si ottiene una scarsa accuratezza nei calcoli del fenomeno della trasmissione del calore per convezione dall’induttore verso l’acqua. É richiesta pertanto una definizione più precisa del coefficiente di trasmissione del calore ℎ. Per fare ciò, in primo luogo è necessario capire da quali grandezze dipende ℎ per sviluppare in seguito una teoria che esprima tale parametro in funzione delle grandezze da cui dipende. Svolta tale analisi, bisogna approfondire un ulteriore problema pratico: è noto che l’acqua che scorre nel canale subisce un cambiamento di stato, da liquido a vapore, nel momento in cui supera la propria temperatura di ebollizione, quest’ultima funzione della pressione a cui è sottoposto il fluido. Tale variazione non agevola di certo il raffreddamento dell’induttore, poiché il vapore è noto per essere un isolante termico.. Nel passaggio successivo si cercherà allora di identificare la curva del coefficiente h funzione. delle grandezze da cui tale parametro dipende, tenendo in considerazione entrambi gli stati fisici dell’acqua, liquido e vapore. Quest’ultima fase di studio rappresenta quella più difficile da svolgere, data la scarsità di studi sinora effettuati in merito e pertanto di fonti reperibili in letteratura. Infine si dovrà passare all’applicazione pratica della teoria proposta, mediante i software di simulazione a disposizione. Lo sviluppo del lavoro sia presso il Dipartimento di Ingegneria Elettrica (DIE) dell’Università di Padova, sia presso l’Institut für Elektroprozesstechnik (ETP) della Leibniz Universität di Hannover, è stato realizzato utilizzando 3 diversi software per comprendere meglio, verificare e confrontare le analisi e le ipotesi effettuate: “Flux” a disposizione del DIE, “Ansys” a disposizione dell’ ETP e “Matlab” a disposizione di entrambi gli Enti. Si sottolinea inoltre come la collaborazione internazione sia stata importante per la possibilità di attingere ad un bacino d’informazioni e di bibliografia indubbiamente più ampio.. 35.

(39) 3.2. DEFINIZIONE DEL COEFFICIENTE DI SCAMBIO PER CONVEZIONE Dato un generico sistema di riscaldamento ad induzione, si concentri l’attenzione sull’induttore e si consideri onsideri una configurazione semplificata come nella figura seguente.. Fig. 3.2-1 3.2. L’induttore presenta una sezione tubolare e all’interno del conduttore di rame è ricavato un canale per la circolazione del fluido di raffreddamento, in questo caso acqua. Si ricorda che l’obiettivo da raggiungere consiste nel verificare la compatibilità del raffreddamento nel sistema induttore, necessario al fine di non danneggiare il componente. componente Pertanto data la distribuzione delle sorgenti di calore bisogna capire come avviene la trasmissione asmissione del calore nel sistema. All’interno della bobina è noto che il calore si propaga per conduzione e le formulazioni a disposizione in merito sono sufficientemente accurate. La principale relazione da ricordare è legge di trasmissione del calore per pe conduzione di Fourier (2.5-4). Con tale formula in i ogni punto dell’induttore è chiara la relazione tra il flusso termico per unità unit di superficie e il gradiente di temperatura. All’interno del canale dove scorre l’acqua, la trasmissione del calore si descrive desc tramite la legge di Newton per la convezione (2.5-5). Tale formulazione risente di molti fattori fisici, quali il moto e l’intensità del flusso d’acqua, la pressione alla quale si fa circolare l’acqua, nonché la geometria del canale e della superficie di scambio. Queste considerazioni sono tutte racchiuse nel parametro h , coefficiente di trasmissione del calore per convezione [W/(m2∙°C)]. Rimane infine da descrivere come avviene la trasmissione del calore nella regione di confine tra la bobina e il sistema stema di raffreddamento, ovvero l’interfaccia rame – acqua. 36.

(40) Per fare ciò si deve assumere la prima ipotesi di studio: si sceglie di limitare la visualizzazione del problema al solo induttore, considerando l’interfaccia rame – acqua come una linea di confine del sistema. Per risolvere le equazioni matematiche che descrivono il problema fisico, in questa particolare zona di confine si devono imporre le condizioni al contorno. Quando l’acqua scorre sulla superficie solida vale la condizione di scorrimento nullo. In questo modo la trasmissione del calore dalla superficie solida allo strato di fluido ad essa adiacente avviene per conduzione pura. Il flusso termico convettivo dal rame verso l’acqua è quindi semplicemente il flusso termico conduttivo dalla superficie dell’induttore allo strato d’acqua adiacente ad essa. Le condizioni di trasmissione trovate per l’interfaccia rame – acqua sono note in letteratura come “condizioni di Neumann” e descrivono come il flusso di calore si propaga dal rame verso il fluido di raffreddamento in direzione normale alla superficie di scambio:. λ´µ ∙. ¤¥¶ ¤. = h ∙ ϑ¢ − ϑ· . (3.2-1). con ϑ¢ temperatura sull’interfaccia, la stessa per rame ed acqua data la legge di continuità.. La determinazione di “h” è quindi di fondamentale importanza per il proseguo dello studio e rappresenta il punto di partenza dell’analisi. Nella trattazione della convezione, fenomeno di trasmissione del calore che comprende sia la conduzione sia il moto di massa del fluido, è pratica comune combinare le variabili da cui dipende il fenomeno raggruppandole in numeri adimensionali, in modo da ridurre il numero totale di parametri da considerare. Rendendo adimensionale il coefficiente di scambio termico per convezione h, si ottiene il “numero di Nusselt”, così chiamato in onore di Wilhelm Nusselt che ha dato notevoli contributi nel campo della convezione nella prima metà del XX secolo:. Con. Nu =. ¹∙y ®. (3.2-2). λ - conducibilità termica dell’acqua [W/(m∙°C)] D – lunghezza caratteristica [m].. Un’interpretazione fisica del numero di Nusselt si può avere considerando uno strato di fluido di spessore D sottoposto a differenza di temperatura ΔT = T2 - T1 , con T2 > T1, come in figura.. 37.

(41) Fig. 3.2-2 Con il simbolo T si intende la l temperatura, che nel testo è indicata con . La trasmissione di calore attraverso lo strato di fluido flu avviene per convezione vezione quando il fluido è in movimento e per conduzione se lo strato di fluido è in quiete. Il flusso termico (potenza termica trasmessa per unità di superficie) nei due casi sarà:. q´º»y λ ·. ¥. q´º»¼ h · Δ . y. Dall rapporto fra le precedenti relazioni si ottiene il numero di Nusselt:. q´º»¼ h · Δ h · D Nu q´º»y λ · Δ λ D Il numero di Nusselt rappresenta dunque l’incremento della potenza termica trasmessa per convezione attraverso uno strato di fluido rispetto a quella trasmessa per conduzione attraverso lo stesso strato. Il valore unitario del numero di Nusselt (Nu=1) è caratteristico della trasmissione del calore per conduzione pura attraverso lo strato di fluido. All’aumentare invece del valore va del numero di Nusselt risulta sempre più sviluppato il fenomeno della convezione. A questo punto possiamo fissare la definizione del coefficiente di scambio per convezione mediante l’inversione della formula (3.2-2). Si ottiene:. h. ®·» y. (3.2-3). La dimensione caratteristica D (diametro idraulico del canale) e la conducibilità dell’acqua λ non rappresentano un problema poiché sono parametri dati o comunque ricavabili in letteratura; per come è posto il problema, problema il numero di Nusselt selt necessita invece di approfondimento. Per analizzare il numero di Nusselt è necessario introdurre altri due numeri adimensionali: il numero di Reynolds e il numero di Prandtl. Il flusso di un fluido all’interno di tubi, come nel nostro caso, si manifesta manifes in 2 tipologie di moto: laminare o turbolento. Nel 1880 Osborne Reynolds, in seguito ad accurati esperimenti, scoprì che il tipo di moto (laminare o turbolento) dipende principalmente dal rapporto tra le forze di inerzia e le forze viscose.. 38.

(42) Tale rapporto è detto “numero di Reynolds” ed è espresso dalla relazione:. Re = Con. ¾¿ ¿w. ¾¿ ÀÁÂÁ. =. Ã∙| Ä μ¯ ∙| Ä. =. z∙{| ∙y μ¯. =. mw ∙y. μ¯ ∙¢. (3.2-4). wm - velocità media del fluido nella sezione del canale in esame [m/s] D. - lunghezza caratteristica (diametro idraulico del canale) [m]. S. - area della sezione trasversale del canale [m2]. γ. - densità del fluido [kg/m3]. μ¤ - viscosità dinamica del fluido [kg/(m∙s)]. mw - portata di massa del fluido [kg/s]. Per grandi valori del numero di Reynolds le forze d’inerzia, proporzionali a densità e velocità del fluido, prevalgono sulle forze viscose che così non possono impedire fluttuazioni rapide e casuali del fluido. In questo caso il moto risulta turbolento. Per piccoli valori del numero di Reynolds le forze viscose hanno il sopravvento su quelle d’inerzia mantenendo il fluido “in linea”. In questo caso il moto risulta laminare. Il numero di Reynolds in corrispondenza del quale il moto diventa turbolento è detto “numero di Reynolds critico” (in genere 2300, vedi cap. 2.4) Un altro aspetto molto importante dello studio è caratterizzato dalla distribuzione della temperatura nel fluido. Analogamente a quanto accade per la velocità (vedi paragrafo 2.4), anche per la temperatura esiste una zona del fluido in moto sulla superficie nella quale risulta significativa la variazione di temperatura nella direzione normale alla superficie. Tale zona è chiamata “strato limite della temperatura”. Lo spessore dello strato limite di temperatura δT in una certa posizione. lungo la superficie è definito come la distanza dalla superficie alla quale la differenza ϑ – ϑs è pari a 0,99 ∙ (ϑ ∞ - ϑ s) .. Lo spessore dello strato limite della temperatura aumenta nella direzione del moto poiché gli effetti dello scambio termico si propagano a distanze sempre maggiori procedendo nel verso della corrente del fluido.. 39.

(43) Fig. 3.2-3 Con il simbolo T si intende la temperatura, che nel testo è indicata con ϑ. La potenza termica scambiata per convezione in un punto qualsiasi sulla superficie è legata al gradiente di temperatura locale. La forma sul profilo di temperatura dello strato limite di temperatura determina quindi lo scambio termico per convezione tra la superficie dell’induttore e il fluido che scorre su di essa. Nel moto su una superficie da raffreddare, entrambi gli strati limite (temperatura e velocità) si sviluppano simultaneamente. In particolare lo strato limite della velocità, che ha una forte influenza sul profilo di temperatura, si ripercuote in modo notevole sullo scambio termico per convezione. Gli spessori degli strati limite di velocità e di temperatura sono meglio descritti dal parametro adimensionale detto “numero di Prandtl”, in onore di Ludwig Prandtl che nel 1904 introdusse per primo il concetto di strato limite e diede significativi contributi alla teoria dello strato limite:. Pr . ¤¾¾ÁÀà Âw ¤w Èwà ¤ ¤¾¾ÁÀà Âw ¤ Âw. = = . ¹. μ¯ ∙ÂÉ ®. (3.2-5). Il numero di Prandtl per l’acqua varia orientativamente da 1 a 10. Possiamo a questo punto determinare, in condizioni di FLUSSO LAMINARE, una relazione per calcolare il numero di Nusselt per un tubo di sezione circolare, dalla formula di Sieder e Tate:. Nu = 1,86 ∙ . Z∙Ê∙y. Con. x. )Ì Ë. . ∙l. μ¯ | μ¯ ¶. n. ,). Pr >0,5. L. - lunghezza del canale (sviluppo lineare dell’induttore) [m]. D. - diametro idraulico del canale [m]. (3.2-6). Re - numero di Reynolds (alla temperatura media dell’acqua nella sezione) Pr - numero di Prandtl (alla temperatura media dell’acqua nella sezione) μdm - viscosità dinamica alla temperatura media dell’acqua nella sezione [kg/(m∙s)] μdS - viscosità dinamica alla temperatura dell’interfaccia rame – acqua [kg/(m∙s)]. 40.