Meccanica 6
21 marzo 2011
Cambiamento di sistema di riferimento
Trasformazioni di coordinate tra sistemi inerziali (Galileo, Lorentz) Trasformazione delle velocita` e delle accelerazioni
Trasformazioni con sistemi non inerziali
Sistema in caduta libera e sistema in rotazione uniforme
Sistemi di riferimento inerziali
• Si dicono inerziali i sistemi in cui vale il primo principio di Newton
• Nella meccanica newtoniana i sistemi inerziali rivestono un ruolo speciale
• In essi infatti le leggi fisiche assumono la forma più semplice
• È spesso utile, nello studio dei sistemi
fisici, cambiare sistema di riferimento
Sistemi di riferimento inerziali
• Il cambiamento più frequente è quello che porta da un sistema inerziale ad un sistema in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso
• Vedremo tra breve che anche il nuovo sistema è inerziale
• Solitamente gli assi del secondo sistema si scelgono paralleli agli assi corrispondenti del primo
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Sistemi di riferimento inerziali
• Le equazioni che permettono di passare dal primo sistema (inerziale) S(O,x,y,z) al
secondo S’(O’,x’,y’,z’) sono le seguenti
R r
r
'
O x
y z
O’
x’
y’
z’
R r
r’
Posizione del corpo in S’=
Posizione del corpo in S –
posizione dell’origine O’ (rispetto a S)
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Sistemi di riferimento inerziali
• Con la condizione che R sia
• Ove R0 è la posizione dell’origine O’, rispetto ad O al tempo t=0
O x
y z
O’
x’
y’
z’
R R0
V
R
R
0
V t
5
Sistemi di riferimento inerziali
O z
x y
O’
z’
x’
y’
R
V
• Per semplicità spesso si sceglie R0=0 e la velocità V parallela ad uno degli assi di S, p.e., l’asse x
t V r
r
'
z z
y y
Vt x
x
' ' '
Trasformazioni di Galileo
• Ad esse possiamo aggiungere l’equazione di trasformazione del tempo t’=t che stabilisce che il
tempo è sempre lo stesso (il tempo è assoluto) e che non cambia col sistema di riferimento
• Le equazioni di trasformazione
trovate sono dette trasformazioni di Galileo
t t
z z
y y
Vt x
x
' '
' '
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Trasformazioni inverse
• Tali trasformazioni sono facilmente invertibili: basta
scambiare le coordinate di S con quelle di S’ e cambiare il segno alla velocità
• Si vede quindi che c’è simmetria tra i due sistemi S e S’ e si
intuisce che il sistema S’ debba essere anch’esso inerziale
' '
' '
t t
z z
y y
Vt x
x
Trasformazioni di Lorentz
• In relativita` le trasformazioni di Galileo sono sostituite da quelle di Lorentz
c x t V t
z z
y y
Vt x
x
2 '
' ' '
' 2 '
' '
'
c x t V
t
z z
y y
Vt x
x
2
1 1
c V
V
9
Inerzialità
• Mostriamo ora che il nuovo sistema di riferimento è davvero inerziale
• A tal fine calcoliamo la velocità di un punto materiale in entrambi i sistemi
z z y y x x
dt v dz dt
v dz
dt v dy dt
v dy
V v
dt V dx dt
Vt x
d dt
v dx
' ' '
' ' '
' ' '
' ' '
Legge di trasformazione delle velocità
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Inerzialità
• E l’accelerazione
z z z
z
y y
y y
x x x
x x
dt a dv dt
a dv
dt a dv dt
a dv
dt a dv dt
V v
d dt
a dv
' ' '
' ' '
' ' '
' '
' '
' '
Legge di trasformazione delle accelerazioni
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Inerzialità
• Quindi il punto materiale ha accelerazione
nulla (ovvero velocità costante) nel sistema S’
se e solo se accade lo stesso nel sistema S
• Ovvero S’ è inerziale se e solo se S è inerziale
• Ciò significa anche che dato un sistema
inerziale possiamo trovare una triplice infinità di sistemi inerziali, tanti quante sono le
possibili scelte della velocità di traslazione V
Trasformazioni più generali
• In linea di principio una qualunque trasformazione di coordinate del tipo
• non può cambiare la fisica di un fenomeno, ma solo la descrizione che ne facciamo
• In pratica però esistono
trasformazioni (cioè sistemi) per cui la descrizione del fenomeno è molto più semplice che per altre
• Sono questi, come già detto, i sistemi inerziali
t z y x h z
t z y x g y
t z y x f x
, , ,
, , ,
, , ,
' ' '
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Sistema di riferimento solidale con la terra
• A volte è però conveniente considerare trasformazioni, un po’ più generali, in sistemi accelerati rispetto ad un sistema inerziale
• L’accelerazione può essere dovuta a moto traslatorio non rettilineo uniforme e a moto di rotazione
• È questo, in particolare, il caso importantissimo del sistema di riferimento solidale con la terra, la quale
ruota (attorno al proprio asse) e trasla (moto curvilineo di rivoluzione attorno al sole) rispetto ad un sistema inerziale
• Tale sistema è usato per descrivere i fenomeni atmosferici su larga scala
Sistemi accelerati
• Invece di considerare il caso più
generale, ci limiteremo a considerare
– il caso di un sistema in moto rettilineo
uniformemente accelerato parallelamente ad un asse coordinato (p.e. z)
– Il caso di un sistema in moto rotatorio uniforme attorno ad un asse coordinato (p.e. z)
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Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato
• Le equazioni di trasformazione sono
O y
x
z O’
y’
x’
z’
R
r r’
R r
r
'
2 0
0 '
' '
2 1 At t
V Z
z t
Z z
z
y y
x x
Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato
• Un caso particolare di questa trasformazione si ha per un sistema S’ in caduta libera, cioè che accelera verso il basso (rispetto a S) con accelerazione A=g (sempre rispetto a S) e
che inizialmente (per t=0) è fermo con l’origine O’ coincidente con O
2 '
' '
2
1 At z
z
y y
x
• In altri termini S’ è il sistema x solidale con un grave in
caduta libera
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Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato
• Le equazioni di trasformazione per la velocità e l’accelerazione
At v
v
v v
v v
z z y y x x
' ' '
' ' '
A a
a
a a
a a
z z y y x x
' ' '
' ' '
Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato
• In S’ le coordinate x’, y’, z’ sono costanti,
quindi le componenti della velocità in S’ sono identicamente nulle e lo stesso vale per
l’accelerazione
• Ritroviamo così (in S) le leggi della caduta libera di Galileo (ricordiamo che A=g)
At v
v
v v
v v
z z y y x x
' ' '
' ' '
0 0 0
A a
a
a a
a a
z z y y x x
' ' '
' ' '
0 0 0
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Dinamica in un sistema accelerato
• Dalle eqq. precedenti vediamo subito che nel sistema S’ il secondo principio di Newton non è valido
• Infatti benché in S’ la forza di gravità terrestre continui ad agire, abbiamo
• Si può però estendere il secondo principio ai
sistemi accelerati introducendo opportune forze
“d’inerzia” Fi accanto alle forze “reali” (Fg
)
tot i
g
z maz mA F F F
ma' '
z Fg
ma' ' 0
Dinamica in un sistema accelerato
• In S’ la forza d’inerzia bilancia esattamente la forza di gravità, per cui in S’ (sistema che
trasla di moto uniformemente accelerato con A=g rispetto a S) il grave, inizialmente fermo, continua a rimanere fermo
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Sistema in moto rotatorio uniforme
• Consideriamo un sistema S’ con asse z’
coincidente con l’asse z del sistema S, in rotazione (rispetto a S) con velocità angolare attorno a z
• Le equazioni di trasformazione sono
O x
y z
O’
x’
y’
z’
r(t) r(t+dt)
r d
r d r
d
'
Spostamento del corpo in S’=
Spostamento del corpo in S – Spost. dovuto alla rotazione di S’
(rispetto a S)
dr dr’
O’
x’
y’
z’
r’(t) r’(t+dt)
dr’
O x
y z
r(t) r(t+dt) dr
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Sistema in moto rotatorio uniforme
• E per la velocità e l’accelerazione r v
dt r d dt
r d dt
r
v d
' '
v dt a
r d dt
v d dt
v
a d
' '
Sistema in moto rotatorio uniforme
• Un caso particolare di questa trasformazione si ha per un sistema S’ solidale con un corpo che ruota in S
(trattenuto p.e. da una fune) di moto circolare uniforme attorno a z
• In tal caso il corpo ha velocità identicamente nulla in S’
e, di conseguenza, anche accelerazione nulla
• In tal caso le eqq. diventano
• Abbiamo ritrovato (nel sistema S) le eqq. del moto circolare uniforme
r v
v
'
0
v a
a
'
0
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Dinamica in un sistema accelerato
• Di nuovo, le eqq. precedenti nel sistema S’ sono incompatibili col secondo principio di Newton
• Infatti benché in S’ la forza della fune Ff continui ad agire sul corpo in rotazione, abbiamo
• Si può però estendere il secondo principio al
sistema accelerato S’ introducendo un’opportuna forza “d’inerzia” Fi accanto alla forza “reale” Ff
• Fi è la famosa forza centrifuga, che ha diritto
all’esistenza solo nel sistema accelerato e non in S
tot i
f
F F
F v
m a
m a
m
'
F
fa
m
' 0
Dinamica in un sistema accelerato
• In S’ la forza centrifuga bilancia esattamente la forza centripeta della fune, per cui in S’ (sistema che ruota di moto circolare uniforme rispetto a S) il corpo, inizialmente fermo, continua a rimanere
fermo
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