Esercitazione 3 di Calcolo Scienti co e Metodi Numerici 24 ottobre 2019
1. Assegnata la matrice
A =−1 0 β
0 1 2
dipendente dal parametro reale β, calcolare le norme con indice 1, 2 e ∞.
Soluzione.
kAk1 = |β| + 2, kAk2 =p 5 + β2 kAk∞ =
(1 + |β| se β ≤ −2 ∨ β ≥ 2 3 se − 2 ≤ β ≤ 2 2. Date le matrici
A =
2 0 β 0 1 12
1
3 1 0
, e B = 1 2
1
γ −3 3
−3γ1 1 1
1
3 2 −2
determinare i valori dei parametri β e γ reali che rendono A e B una l'inversa del- l'altra. Assegnati tali valori, calcolare il numero di condizionamento in norma 1 e
∞.
Soluzione. A e B sono una l'inversa dell'altra se β = 3 e γ = 2.
k∞(A) = 65
4 , k1(A) = 21 2 . 3. Assegnata la matrice
C =
1 0 0
0 −α α
0 −α −α
,
determinare i valori del parametro α che la rendono ortogonale. Assegnato uno di tali valori, calcolare k1(C), k2(C), k∞(C) e risolvere nel modo più opportuno il sistema lineare Cx = b, con b = [1, 1, 1]T.
Soluzione. La matrice C è ortogonale per α = ±√22.
k∞(C) = 2, k1(C) = 2, k2(C) = 1.
La soluzione del sistema lineare è x = [1, −√ 2, 0]T.
4. Sia data la matrice
A =
2 γ 0
4 3 γ − 3
0 1 2
dipendente dal parametro reale γ. Determinare il valore del parametro γ che rende la matrice A:
• simmetrica;
• invertibile.
Assegnato a γ il valore che la rende simmetrica, stabilire se A è de nita positiva.
Soluzione. A è simmetrica per γ = 4, è invertibile per γ 6= 95. Per γ = 4, la matrice non è de nita positiva.
5. Si consideri il vettore v = [0,√13,√2
3]T e si calcoli la sua norma 1, 2 e ∞. Si considerino poi le matrici
A = I − 2vvT B = 1 7
7 0 0
0 5 β
0 β −1
.
Si determini il valore di β che rende B l'inversa di A. Si calcoli spettro, raggio spettrale e numero di condizionamento in norma 2 di A. Si determini, nel modo più conveniente, quali sono gli autovalori di B e B2 se a β si assegna il valore trovato.
Soluzione. Il valore di β per cui A e B sono una l'inversa dell'altra è β = −4.
σ(A) =n
1, 1, −7 3
o
, ρ(A) = 7
3, σ(B) =n
1, 1, −3 7
o
, σ(B2) =n 1, 1, 9
49 o
.
