Moto Armonico - Cap. 16.1-16.7 - Gravitazione 14.1-14-4 + 14.6-14.7 HRW1
Moto Armonico
Un materiale elastico è un materiale che ha la capacità di riacquistare la forma iniziale dopo essere stato compresso o deformato (p.es. la molla)
La forza necessaria per allungare o accorciare una molla (caso 1D) è linearmente proporzionale
all’allungamento stesso. La costante di proporzionalità k è detta costante elastica
) ( x x
0k
F = −
L’osservabile x0 rappresenta l’estensione della molla quando non è soggetta a forze, l’osservabile x indica l’attuale estensione della molla
• Se comprimo la molla la forza che esercito è negativa
• Se estendo la molla la forza che esercito è positiva
Per motivi di semplicità si considera sempre la molla di estensione nulla, cioè x0 = 0. E’ facile rimpiazzare x con x-x0 quando è il caso.
0 )
(
00
= − <
< x F k x x
x
0 )
(
00
= − >
> x F k x x
x
Per il principio di azione e reazione la forza che esercita la molla è di modulo e direzione uguale ma opposta in verso, ovvero è
che per semplicità viene scritta con x0 = 0
Il moto associato ad una forza del tipo F = -kx è detto moto armonico semplice ed l’andamento della coordinata x in funzione del tempi è rappresentato da una sinusoide
) ( x x
0k
F = − −
kx
F = −
Moto Armonico - Cap. 16.1-16.7 - Gravitazione 14.1-14-4 + 14.6-14.7 HRW3
L’escursione massima dalla posizione di equilibrio A è detta ampiezza del moto. L’intervallo di tempo T impiegato per compiere un ciclo è detto Periodo.
T
= 1 ν
T ω = 2π
Frequenza Pulsazione o Velocità angolare
dt kx x md kx
ma kx
F = − =− 22 = −
( )
( )
( )
φφ ω ω
φ ω ω
ω
sin )
0 (
iniziali condizioni
dalle dipendono
e x
cos
costanti due
sono e
x sin
'
o
o 2
2 2
2 2
2 2
2
o o o
x t
x
t x
v
t x
x
tipo del
soluzione una
ha equazione L
Armonica Equazione
dt x x d
m x k
m k dt
x kx d
dt x m d
kx ma
kx F
=
=
+
=
+
=
−
=
=
−
=
−
=
−
=
−
=
Equazione Oraria del moto armonico
x(t) = A cos(ωt +ϕ)
Moto Armonico - Cap. 16.1-16.7 - Gravitazione 14.1-14-4 + 14.6-14.7 HRW5
( ) ( )
) 40 sin(
8000 40 cos 200
40 sin 5
0 1600 16
01 . 0 16
01 . 0 16
0 5
0 01 . 0 /
16
2 2 2
2
t a
t v
t x
dt x x x d
dt x x d
a x
F
v e x
t per iniziali Condizioni
Kg m
M N K
Sia
−
=
=
=
= +
−
=
−
=
−
=
=
=
=
=
=
Esempio
Diagramma Orario
-10 0 10
0 5 10 15 20 25 30 35 40
tempo (secondi)
X (metri)
Diagramma di Velocità
-500 0 500
0 5 10 15 20 25 30 35 40
tempo (secondi) velocita (m/s)
Diagramma di Accelerazione
-500 0 500
0 5 10 15 20 25 30 35 40
tempo (secondi) accelerazion e (m2/s)
La forza elastica, che induce una oscillazione armonica, è una forza conservativa con potenziale
2
2 2
2 ) 1 (
0
2 1 2
1 2
) 1 (
) (
2
A rif
rif A
X
X X
X
KX A
U X Se
KX KX
Kx A
U
Kxdx L
A U
A
Rif A
Rif A
Rif
=
=
− +
=
=
−
−
−
=
→Rif. A
F ds
Moto Armonico - Cap. 16.1-16.7 - Gravitazione 14.1-14-4 + 14.6-14.7 HRW7
La forza elastica è lo stereotipo di un gran numero di sistemi fisici, in pratica di tutti i fenomeni in cui è presente una oscillazione come
ad esempio il pendolo
( ) ( )
( )
θ( )
τ
θ θ τ
θ τ
cos sin
0 cos
sin
mg mg ma
mg F
mg F
j mg ma
F
x y x
=
−
=
=
−
=
−
=
+
−
=
= ∧
Pendolo
-mg
τ X
θ
θ
Y
Lo spostamento su una circonferenza può essere scritto come
se l’angolo θ è sufficientemente piccolo allora
l’equazione che descrive dal pendolo
θ
r x =θ θ ) ≈ sin(
( )
2 2 2
2 2
2
dt mr d dt
r md dt
x md ma
Fx = x = = θ = θ
θ mgθ dt
mr d22 ≈ −
( )
θ mgθmg
Fx = − sin ≈ −
( )
trt
g θ ω
θ
θ = 0 sin = 0sin
