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Esercitazione sulla parabola Esercizio 1 a.

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Academic year: 2021

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Esercitazione sulla parabola

Esercizio 1

a. Determina la retta tangente alla parabola 𝛾1 di equazione 𝑦 = −2𝑥2+ 3𝑥 parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Indicati con 𝑇 il punto di tangenza e con 𝐴 e 𝐵 i punti di intersezione della parabola con l’asse 𝑥, calcolare l’area del triangolo 𝐴𝑇𝐵. 𝑅 ∶ [𝑦 = 𝑥 +1

2 ; 𝑇 (1

2; 1) ; 3

4]

b. Scrivi l’equazione della parabola 𝛾2 simmetrica di 𝛾1 rispetto alla retta 𝑦 = 𝑥.

trova i punti di intersezione di 𝛾1 e 𝛾2, e verifica che in uno di essi hanno la stessa tangente. 𝑅 ∶ [𝑥 = −2𝑦2+ 3𝑦 ; (0; 0) ; (1; 1)]

Esercizio 2

a. Scrivi l’equazione della parabola tangente alla retta 𝑥 + 2𝑦 − 16 = 0 nel suo punto di intersezione con l’asse delle ordinate e avente per asse di simmetria la

retta 𝑦 − 4 = 0. 𝑅 ∶ [𝑥 = −14𝑦2 + 2𝑦]

b. La retta 2𝑥 − 𝑦 = 0 interseca la parabola nell’origine 𝑂 e nel punto 𝐴. Scrivi l’equazione della retta 𝑟 tangente alla parabola in 𝐴. 𝑅 ∶ [𝑥 + 𝑦 − 9 = 0]

c. Determina l’equazione della retta 𝑠 simmetrica della retta 𝑟 rispetto all’asse di simmetria della parabola e dimostra che anche la retta 𝑠 è tangente alla parabola in un punto 𝐵 di cui si chiedono le coordinate. 𝑅 ∶ [𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ; 𝐵(3; 2)]

d. Sia 𝐶 il punto di intersezione tra le rette 𝑟 e 𝑠. Calcola l’area della figura che ha come lati 𝐴𝐶, 𝐶𝐵 e l’arco di parabola 𝐴𝐵. 𝑅 ∶ [4

3] Esercizio 3

Considera la parabola con asse parallelo all’asse 𝑦 passante per 𝐴(1; 0), 𝐵(4; 0) e 𝐶(0; 4).

a. Determina l’equazione della parabola. 𝑅 ∶ [𝑦 = 𝑥2− 5𝑥 + 4]

b. Determina l’equazione della retta 𝑟 tangente alla parabola in 𝐵.

𝑅 ∶ [𝑦 = 3𝑥 − 12]

c. Determina l’equazione della retta 𝑠, parallela a 𝑟, che individua sulla parabola una corda 𝐷𝐸 di lunghezza 4√35. 𝑅 ∶ [𝑦 = 3𝑥 + 2]

(2)

d. Determina l’area del triangolo 𝐷𝐸𝐵. 𝑅 ∶ [14√14]

e. Scrivi l’equazione della circonferenza tangente alla retta 𝑟 in 𝐵 e avente il centro sulla retta di equazione 𝑥 = 7. 𝑅 ∶ [𝑥2+ 𝑦2− 14𝑥 + 2𝑦 + 40 = 0]

Esercizio 4

a. Scrivi l’equazione della circonferenza avente come diametro il segmento 𝐴𝐵 di estremi 𝐴(−3; 0) e 𝐵(3; 4). 𝑅 ∶ [𝑥2+ 𝑦2− 4𝑦 − 9 = 0]

b. Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse 𝑦 che ha come vertice il centro della circonferenza e passa per il punto 𝐴. 𝑅 ∶ [𝑦 = −29𝑥2+ 2]

c. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza e parallele alla bisettrice del primo e terzo quadrante. 𝑅 ∶ [𝑦 = 𝑥 + 2 ± √26]

d. Determina l’equazione della retta tangente alla parabola e parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante. 𝑅 ∶ [𝑦 = 𝑥 +25

8]

e. Determina per quali valori di 𝑘 la retta 𝑦 = 𝑥 + 𝑘 ha almeno un punto in comune sia con la circonferenza sia con la parabola. 𝑅 ∶ [2 − √26 ≤ 𝑘 ≤ 258]

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