8. EVENTI E PROBABILITÀ 8.1 Introduzione

8. EVENTI E PROBABILITÀ

8.1 Introduzione

Molto frequentemente, e per motivi diversi, le indagini statistiche vengono condotte su un sottoinsieme delle unità statistiche che costituiscono la popolazione di interesse. Ovviamente le informazioni ottenute in questi casi non consentono di conoscere esattamente la struttura distributiva della variabile (o delle variabili) oggetto di studio, ma di ottenere informazioni più o meno approssimate, che diventano però via via più attendibili al crescere del numero n di unità esaminate.

Le indagini campionarie sono frequenti in tutti i campi di ricerca e vengono effettuate comunemente per conoscere opinioni, orientamenti politici, gusti delle persone. In questi casi, anche se l'indagine è estesa solo ad alcune centinaia di unità statistiche, i risultati ottenuti vengono spesso presentati come se si riferissero all’intera popolazione. Questa estensione dei risultati campionari viene generalmente accettata senza problemi, perché si suppone che il campione sia una sorta di “miniatura” abbastanza fedele della popolazione da cui è stato estratto. Queste considerazioni, intuitive e piuttosto generiche, saranno confermate e precisate nelle prossime pagine mediante un’analisi più rigorosa dato che, soprattutto per un n contenuto, si verifica un’elevata variabilità dei risultati campionari perché i campioni possono avere una struttura anche abbastanza diversa da quella della popolazione. D'altra parte, un aumento della numerosità del campione, anche quando è possibile, comporta almeno un aumento di costi, cosicché in generale è necessario trovare un compromesso fra costo e precisione delle informazioni.

In una qualsiasi indagine campionaria uno dei problemi fondamentali è la scelta del criterio con cui selezionare le n unità statistiche da rilevare.

Questa scelta può essere effettuata in modi diversi fra i quali, solo a titolo di esempio, si possono considerare i seguenti:

- si selezionano n unità che il ricercatore, in base alle sue conoscenze, considera come “tipiche”, ossia come rappresentative dell'intera collettività (per avere informazioni sulla situazione economica si potrebbero intervistare delle aziende-tipo per i diversi settori economici, per ottenere indicazioni su consumi, redditi o risparmi si potrebbero utilizzare famiglie-tipo appartenenti ai diversi ceti sociali e così via);

- la scelta delle unità campionarie è in qualche modo obbligata (per esempio, nella sperimentazione di nuovi farmaci sull'uomo, che può basarsi solo su volontari, oppure nei controlli di qualità di prodotti immagazzinati, che spesso sono effettuati sulle unità più facilmente accessibili)

I dati così ottenuti presentano in ogni caso una loro utilità, dal momento che forniscono informazioni sulle variabili che interessano, ma risulta problematica l'estensione dei risultati ottenuti alla popolazione nel suo complesso.

Uno dei metodi di selezione più utilizzati che, a differenza dei precedenti, consente di estendere i risultati ottenuti alla popolazione da cui il campione è stato estratto, è il cosiddetto criterio di scelta casuale.

Questo è uno dei metodi più comuni sia per la sua semplicità, sia perché si rivela adeguato in numerose circostanze reali.

Il campione estratto con il criterio di scelta casuale viene detto campione casuale e può essere assimilato all'estrazione casuale di n palline da un'urna.

Per esempio, se la popolazione è costituita da due gruppi di unità statistiche distinte tra loro per la presenza o l'assenza di una qualche caratteristica (uomini-donne, occupati-disoccupati, cattolici-non cattolici, favorevoli o contrari a una proposta di legge), la situazione può essere schematizzata assimilando la popolazione a un'urna contenente palline bianche e nere e l'indagine campionaria consiste nell'estrarre in modo casuale un certo numero di palline per avere una valutazione del numero (o della proporzione) di palline bianche e nere contenute nell'urna. Per schematizzare situazioni più complesse si possono immaginare urne contenenti palline di diversi colori oppure palline numerate.

In ogni caso, per utilizzare in modo corretto le informazioni campionarie, occorre tenere presente che il campione estratto è solo uno dei possibili campioni che si sarebbero potuti estrarre dalla popolazione e che osservare un certo gruppo di n unità oppure un altro dipende da fattori casuali.

Il campione osservato può essere visto come il risultato di una prova, che può dare origine a più esiti diversi fra loro, caratterizzati da un diverso livello di probabilità.

Le informazioni fornite da un campione non possono essere utilizzate a prescindere da considerazioni di carattere probabilistico.

Se si fa riferimento, per semplicità, ad un'urna contenente N palline, di cui alcune sono bianche mentre le altre sono nere, l’esperimento casuale può consistere nell’estrarre un campione di n palline, una alla volta, di esaminarne il colore e di reinserire la pallina estratta nell'urna prima di procedere ad una nuova estrazione.

Prima di effettuare materialmente l’esperimento casuale, si è solo certi che il campione estratto potrà essere formato da n palline nere, da 1 pallina bianca e n-1 palline nere, ..., da n palline bianche.

Questi appena elencati, quale che sia la composizione dell'urna, sono tutti eventi possibili e tra essi vi sono campioni con una composizione anche molto diversa da quella dell'urna. Si intuisce però che i singoli campioni hanno probabilità diverse di verificarsi e che queste probabilità dipendono dalla composizione dell'urna.

È bene sottolineare come si sia usato più volte il termine “probabilità” senza aver definito questo concetto e senza aver fornito alcuna nozione utile per la sua misura. Questi argomenti saranno esaminati nel paragrafo 8.4, ma per il momento è sufficiente definire la probabilità di un qualsiasi evento come una

“misura del grado di fiducia” che quel determinato evento si verifichi nell’esperimento casuale.

Il calcolo delle probabilità, data una popolazione di composizione nota, consente di determinare la probabilità associata a ognuno dei possibili campioni che possono essere estratti da quella popolazione e di individuare i risultati campionari più probabili, quelli meno probabili, quelli estremamente improbabili.

Una volta effettuata l'estrazione si otterrà solo uno dei campioni possibili ma, basandosi sulle informazioni fornite da quest'unico campione e su considerazioni di carattere probabilistico, si possono fare delle congetture sulla struttura più verosimile della popolazione da cui il campione è stato estratto e si possono stimare, con un qualche prefissato grado di fiducia, le caratteristiche ignote della popolazione di provenienza.

8.2 Eventi elementari e composti

Tutte le volte in cui un’indagine statistica viene effettuata su un campione casuale, i risultati ottenuti dipendono da quali unità statistiche sono state estratte, per cui i risultati stessi forniranno informazioni più o meno affidabili sulle caratteristiche ignote della popolazione da cui il campione proviene. È anche evidente come, una volta estratto il campione casuale, non si abbia la possibilità di stabilire quanto la sua composizione differisca da quella della popolazione di provenienza dato che gli elementi che lo costituiscono sono il risultato di un esperimento assimilabile all’estrazione di palline da un’urna.

Il campione estratto dalla popolazione oggetto di indagine costituisce un evento generato da un esperimento casuale, ossia un risultato ottenuto in una prova che può dare origine a due o più esiti diversi che non possono essere previsti con sicurezza prima dell’effettuazione della prova stessa.

Una prova può consistere in un esperimento scientifico, nell'osservazione di un fenomeno, nell'estrazione di un’unità statistica da una popolazione o, con riferimento ai problemi da cui ha avuto origine il calcolo delle probabilità, nell'estrazione di una pallina da un'urna o di una carta da un mazzo oppure nel lancio di un dado o di una moneta.

In tutti i casi considerati, i risultati dell’esperimento non possono essere previsti con certezza perché gli esperimenti possono generare risultati diversi, caratterizzati da un diverso livello di probabilità.

Considerata una popolazione di N unità statistiche, ognuna identificata con un numero da 1 a N, si consideri l’esperimento che consiste nell'estrarre un’unità statistica in modo casuale. In questa situazione si possono osservare N risultati diversi _i “estrazione della i-esima unità statistica” (i = 1, 2, …, N).

Questa situazione può essere schematizzata assimilando la popolazione ad un'urna contenente N palline numerate da 1 a N. Se, per esempio, l'urna contiene N = 5 palline numerate da 1 a 5, i possibili risultati in un’estrazione casuale di una sola pallina possono essere ₁ (estrazione della pallina numero 1), ₂ (estrazione della pallina numero 2), ..., ₅ (estrazione della pallina numero 5).

In occasione di un esperimento si può essere interessati ad eventi di questo tipo oppure a eventi di tipo diverso come, per esempio, il numero che compare sulla pallina estratta, se la pallina presenta un numero pari o un numero dispari o se presenta un numero minore di 3 o maggiore di 2.

In generale, nella teoria della probabilità, un evento è un insieme di risultati al quale viene assegnata una certa probabilità. Gli eventi più semplici che possono essere considerati nella prova, detti eventi elementari o punti campionari, coincidono con i singoli risultati dell’esperimento.

Un evento viene usualmente indicato con una lettera maiuscola, mentre i singoli risultati che lo costituiscono sono elencati fra parentesi graffe. Per esempio, se si indica con A l’evento “uscita della pallina numero 1”, A è un evento elementare costituito dal solo risultato ₁

A = {₁}.

L’evento B “pallina con numero pari” e l’evento C “pallina con un numero superiore a 2” non sono invece elementari, dato che risultano composti da più risultati diversi

B = {₂, ₄}, C = {₃, ₄, ₅}.

Gli eventi elementari associati a una particolare prova risultano sempre esaustivi (o necessari) e incompatibili, nel senso che uno di questi si deve necessariamente verificare e che il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi di un qualsiasi altro.

Effettuata una prova a cui sono associati N possibili risultati diversi, uno degli N eventi elementari risulterà vero e tutti gli altri risulteranno falsi.

Esempio 8.2.1

In occasione di una prova che consiste nel lancio di un dado equilibrato, indicare i risultati che costituiscono l’evento A “uscita della faccia contrassegnata da 6 punti” e B “uscita di una faccia dispari”.

Indicato con 

i il risultato “uscita della faccia contrassegnata con i punti” (con i = 1, 2, …, 6), risulta A = {₆},

B = {₁, ₃, ₅}.

L’insieme di tutti gli eventi elementari è detto spazio fondamentale (o spazio campionario) e viene indicato con  (omega).

Considerato un esperimento che consiste nel lancio di una moneta, sia _T il risultato “uscita della faccia testa” e 

C il risultato “uscita della faccia croce”. In questo caso, lo spazio fondamentale è costituito da

 = {_T, _C},

mentre nell’esperimento che consiste nel lancio di un dado, se si indica con _i il risultato “uscita della faccia contrassegnata con i punti”, si ha

 = {₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆}.

Esempio 8.2.2

Considerata un'urna contenente 10 palline, di cui 5 bianche, 3 nere e 2 gialle, si consideri l’esperimento che consiste nell’estrarre una pallina e nel rilevarne il colore. Indicato con _B il risultato “estrazione di una pallina bianca”, con

_N il risultato “estrazione di una pallina nera” e con _G il risultato “estrazione di una pallina gialla”, identificare lo spazio fondamentale .

In questo caso le palline contenute nell’urna sono 10, ma tutto ciò che interessa è il colore della pallina estratta, per cui lo spazio fondamentale è dato da

 = {_B, _N, _G}.

In occasione di un esperimento l’interesse può essere rivolto agli eventi elementari oppure ad altri eventi, che dipendono logicamente dagli eventi elementari.

Con riferimento all'estrazione dall’urna contenente 5 palline numerate da 1 a 5 sia B l’evento “pallina con numero pari” e C l’evento “pallina con un numero superiore a 2”. Gli B e C eventi dipendono logicamente dagli eventi elementari, nel senso che è possibile stabilire se sono veri oppure falsi quando è noto l'evento elementare che si è verificato: l'evento B è vero quando la pallina estratta presenta il numero 2 o il numero 4, mentre l'evento C è vero quando la pallina presenta il numero 3, 4 o 5.

Gli eventi B e C appena considerati costituiscono due esempi di un evento composto.

Un evento composto corrisponde a un sottoinsieme dello spazio fondamentale  e si verifica quando si verifica un evento elementare che gli appartiene.

Un qualsiasi evento composto si definisce a partire dagli eventi elementari nei modi che si analizzeranno nel prossimo paragrafo.

L’evento che coincide con lo spazio fondamentale  è detto evento certo, mentre un evento che non contiene nessun elemento dello spazio fondamentale  è un insieme vuoto  che viene detto evento impossibile.

Nel caso di un esperimento che consiste nel lancio di un dado l’evento certo è  = {, , , , , }, mentre due esempi di eventi impossibili sono: “uscita di una faccia contrassegnata da zero punti” oppure

“uscita di una faccia contrassegnata da nove punti”.

Esempio 8.2.3

Considerata un'urna contenente 90 palline numerate da 1 a 90, come nel gioco del lotto, si consideri l’esperimento che consiste nell’estrarre una pallina per rilevarne il numero. Indicato con _i il risultato “estrazione della pallina contrassegnata dal numero i”, identificare gli eventi: A “la pallina presenta un numero corrispondente a un multiplo di 15” e B “la pallina estratta presenta un punteggio minore di 4”. Identificare infine lo spazio fondamentale .

Risulta

 = {₁₅, ₃₀, ₄₅, ₆₀, ₇₅, ₉₀}, B = {₁, ₂, ₃},

 = {_i: i}.

(in quest’ultimo caso per specificare  si sono indicate le caratteristiche che un elemento deve avere per fare parte dell'insieme)

In tutti i casi considerati finora lo spazio fondamentale  è sempre finito, ossia è costituito da un numero finito di eventi elementari. In questa sede verrà considerato solo questo caso, dato che la trattazione di spazi fondamentali infiniti, pur essendo concettualmente analoga, richiede maggiori conoscenze matematiche.

Dato un qualunque spazio fondamentale finito

 = {_i: i}

resta definito l'insieme A, detto classe degli eventi, che rappresenta l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di . Il numero di elementi di A è pari a 2^N

Dimostrazione

Se lo spazio fondamentale finito  è costituito da N elementi, per verificare quanti sono gli elementi che costituiscono A occorre fare ricorso alle combinazioni senza ripetizione1 di N elementi di classe k, dove k varierà da 0 a N. Più precisamente, la classe degli eventi è costituita da:

1Dato un insieme di N elementi, si consideri un esperimento che consiste nell’estrarre k elementi senza ripetizione (con k  N). Il numero totale dei gruppi che si possono formare con n di questi elementi, diversi per gli oggetti che li compongono (e non solo

- tutti i possibili 1 0

N

eventi costituiti da 0 eventi, ossia l'insieme vuoto 

- tutti i possibili N N



 



1 eventi costituiti da 1 evento elementare, ossia {₁}, {₂}, …, {_N} - tutte le possibili 2!





! 2 



N N N

coppie di eventi elementari {₁, ₂}, {₁, ₃}, …, {_N-1, _N}

- tutte le possibili 3!





! 3 



N N N

terne di eventi elementari {₁, ₂, ₃}, {₁, ₂, ₄}, …, {_N-2, _N-1,

_N} - …..

- tutte i possibili 1

 N

N eventi costituiti dagli N eventi elementari, cioè .

In totale, il numero degli elementi che compongono A è pari a

 

N

i i

N 1 1 2

0







 





e ciascuno di questi elementi è costituito da un insieme di k eventi elementari (con 0  k  N) di  ed è quindi costituito da un numero finito di eventi incompatibili.

Per esempio, nel caso del lancio della moneta gli elementi dell'insieme A sono 2² = 4

, {_T}, {_C},  = {_T ,_C },

per l’ordine in cui compaiono), sono detti combinazioni senza ripetizione di N elementi di classe k e vengono indicati mediante la notazione



 k

N , dove

     

   



    





1 ...

2 1

!

!

!





































 

 





k N k N k

k k

N N

N k

N k

N k

N

Si osservi che 0! = 1 in quanto, per la legge di ricorrenza, risulta 1!=1×0!, ed essendo 1!=1, deve risultare 0!=1.

mentre nel caso dell'urna con palline di 3 colori diversi (bianco, nero e giallo) gli elementi dell'insieme A sono 2³ = 8

, {_B}, {_N}, {_G}, {_B, _N}, {_B, _G}, {_N, _G},  = {_B, _N, _G}

Esempio 8.2.4

Considerato un esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato, si determini il numero di elementi dell’insieme A

Il numero di elementi della classe di eventi è pari a 2⁶ = 64. Si ha infatti 1 evento impossibile , 6 eventi elementari, 15 coppie di eventi elementari, 20 terne, 15 quaterne, 6 cinquine ed infine 1 evento certo .

8.3 Operazioni sugli eventi

Gli eventi composti si ottengono dagli eventi elementari mediante opportune operazioni, la più semplice delle quali è l’uguaglianza.

Due eventi A e B, entrambi sottoinsiemi di , risultano uguali, in simboli A  B, quando il verificarsi dell'uno implica necessariamente il verificarsi dell'altro e il non verificarsi dell'uno implica necessariamente il non verificarsi dell'altro.

Considerata per esempio la prova che consiste nell’estrazione di 5 palline con ripetizione da un’urna, l’evento che corrisponde all’uscita di tre palline nere e successivamente di due palline bianche è uguale a quello che corrisponde all’uscita di due palline bianche e successivamente di 3 palline nere, se l’ordine di estrazione è considerato irrilevante.

Una seconda operazione è quella di unione o somma, già implicitamente considerata quando si è preso in esame un esperimento consistente nell’estrazione di una pallina da un’urna contenente palline numerate e si è considerato un evento composto del tipo “punteggio pari” o “punteggio superiore a 2”.

Se, per esempio, si considera l’esperimento che consiste nell’estrazione di una pallina da un’urna che contiene 5 palline numerate da 1 a 5, l’evento E “la pallina estratta presenta un punteggio pari” si verifica solo se si presenta il risultato ₂ oppure il risultato ₄, ovvero se si verificano gli eventi A={₂} oppure B={₄}. In questo caso si dice che l’evento E è dato dalla somma di A e di B.

Dati i due eventi A e B sottoinsiemi di , la loro unione (o somma) è quell'evento, indicato con il simbolo AB (che si legge A o B), che si verifica quando si verifica A oppure B. Il sottoinsieme di  corrispondente all'evento AB contiene quindi tutti gli eventi elementari del sottoinsieme A e del sottoinsieme B.

Per esemplificare le operazioni sugli eventi sono utili i diagrammi di Venn in cui lo spazio fondamentale

 è rappresentato da un rettangolo, mentre un evento A, corrispondente ad un sottoinsieme di , è rappresentato da una superficie.

Nella successiva figura 8.3.1, per esempio, l’evento A corrisponde all’ellisse di colore grigio all'interno del rettangolo bianco identificato da .

Figura 8.3.1

Rappresentazione di un evento A mediante diagramma di Venn

Nella successiva figura 8.3.2 l'area colorata in grigio rappresenta un esempio di unione di due eventi A e B nel caso in cui nessuno degli eventi elementari di A è contenuto anche in B e viceversa, ossia nel caso in cui gli eventi A e B sono incompatibili.

In questo caso i due sottoinsiemi A e B di  non hanno alcun elemento in comune e sono quindi disgiunti, come accade sempre nel caso di eventi elementari.

Per esempio, con riferimento all'urna con le 5 palline numerate da 1 a 5, l'evento "pallina con un numero pari" corrisponde all'evento somma {₂}{₄} ossia all’evento "pallina con il numero 2 o pallina con il numero 4".

Figura 8.3.2

Rappresentazione della somma di due eventi incompatibili

La somma può estendersi ad un numero finito o numerabile di eventi.

Nell’esperimento considerato in precedenza, per esempio, l'evento "pallina con un numero superiore a 2"

corrisponde alla somma di tre eventi elementari: {₃}{₄}{₅}.

Esempio 8.3.1

Un’urna contiene 40 palline di 4 colori diversi: 10 palline bianche, 10 nere, 10 gialle e 10 rosse. Si sa inoltre che le palline di uno stesso colore sono numerate da 1 a 10. Considerato l’esperimento che consiste nell’estrazione di una pallina in modo casuale, si indichi con A l’evento “uscita di una pallina bianca” e con B l’evento “uscita di una pallina gialla”. Indicare quanti sono gli eventi elementari che compongono l’evento AB.

Gli eventi A e B sono incompatibili e ciascuno risulta costituito da 10 eventi elementari. Pertanto la loro unione dà luogo ad un evento composto da 20 eventi elementari, costituito dalle 10 palline bianche più le 10 palline gialle.

Esempio 8.3.2

Considerata l’urna contenente 5 palline numerate da 1a 5 e l’esperimento che consiste nell’estrarre una pallina dall’urna in modo casuale, indicare se l’evento A "pallina con un numero inferiore a 3" e l’evento B "pallina con un numero superiore a 3" sono compatibili o incompatibili. Indicare inoltre quali sono gli eventi elementari che compongono l’evento AB.

Gli eventi A e B sono incompatibili, in quanto non hanno alcun evento elementare in comune.

AB = {₁}{₂}{₄}{₅}.

L’operazione di somma può essere effettuata anche quando gli eventi sono compatibili, come rappresentato nella figura 8.3.3, in cui è schematizzato il caso dell’unione di due eventi A e B che hanno almeno un evento elementare in comune.

Figura 8.3.3

Rappresentazione della somma di due eventi compatibili

Con riferimento all’urna contenente 5 palline numerate da 1 a 5 e considerato un esperimento che consiste nell’estrazione di una pallina in modo casuale, gli eventi A "pallina con un numero pari" e B "pallina con un numero superiore a 2" sono un esempio di eventi compatibili, dato che entrambi possono verificarsi in una stessa estrazione e che questo accade quando si verifica l'evento elementare {₄}. La somma di questi due eventi corrisponde ad AB = {₂}{₃}{₄}{₅}.

Se due eventi sono compatibili la loro somma può essere anche definita come quell'evento che si verifica quando è vero almeno uno dei due eventi considerati.

Esempio 8.3.3

Considerata l’urna descritta nell’esempio 8.3.1 e l’esperimento che consiste nell’estrazione di una pallina in modo casuale, si indichi con A l’evento “uscita di una pallina bianca” e con B l’evento “uscita di una pallina contrassegnata dal numero 1”. Indicare quanti sono gli eventi elementari che compongono l’evento AB.

Gli eventi A e B sono compatibili perché la pallina bianca contrassegnata dal numero 1 fa parte sia di A sia di B.

L’evento A risulta costituito dai 10 eventi elementari corrispondenti alle 10 palline bianche, mentre B è costituito dalle 4 palline contrassegnata con il numero 1. Pertanto la loro unione dà luogo ad un evento composto da 13 eventi elementari: le 10 palline bianche e le 3 palline dei 3 restanti colori contrassegnate dal numero 1.

Un’altra comune operazione sugli eventi è la cosiddetta negazione. Dato un qualsiasi evento A, sottoinsieme di , si indica con A oppure con A^c (che talvolta si legge “non A”) l'evento contrario ad A (o l’evento negazione di A), che è quell'evento che si verifica quando non si verifica A.

Dato un evento A, sottoinsieme di , l’evento negazione di A è quell'evento, indicato A oppure con A^c, costituito dagli eventi elementari che non appartengono ad A.

Con riferimento all'esempio dell’urna contenente le 5 palline numerate da 1 a 5, se si considera l’esperimento che consiste nell’estrazione casuale di una pallina e si indica A l'evento "pallina con un numero pari", l'evento contrario A^c è l'evento "pallina con un numero dispari", mentre se A è l'evento

"pallina con un numero superiore a 3", A^c è l'evento "pallina con un numero inferiore o uguale a 3".

Gli eventi A e A^c sono ovviamente incompatibili fra di loro e la loro unione corrisponde sempre all’evento certo .

Nella successiva figura 8.3.4 si vede come il sottoinsieme di  corrispondente ad A^c, evidenziato come al solito in grigio, comprende tutti gli elementi di  che non appartengono ad A.

Figura 8.3.4

Rappresentazione della negazione di un evento

Va sottolineato come, a partire dagli eventi elementari, si possono definire tutti i possibili sottoinsiemi di

, ossia la classe degli eventi A, mediante le sole operazioni di somma e negazione.

Esempio 8.3.4

Considerata l’urna descritta nell’esempio 8.3.1 e l’esperimento che consiste nell’estrazione di una pallina in modo casuale, si indichi con A l’evento “uscita di una pallina contrassegnata da un numero dispari”. Indicare quali sono gli eventi elementari che compongono l’evento A^c.

L’evento A è costituito dai 20 eventi elementari corrispondenti alle 20 palline contrassegnata da numero dispari (5 palline per ciascuno dei 4 colori), per cui A^c risulta costituito dalle rimanenti 20 palline contrassegnata da un numero pari.

Un’altra comune operazione sugli eventi è la loro intersezione o prodotto. Dati i due eventi A e B, entrambi sottoinsiemi di , il loro prodotto è quell'evento che si verifica quando sono veri contemporaneamente sia A sia B.

Dati i due eventi A e B sottoinsiemi di , la loro intersezione (o prodotto) è quell'evento, indicato con il simbolo AB (che si legge A e B), che si verifica quando si verifica contemporaneamente sia A sia B.

Il sottoinsieme di  corrispondente all'evento AB contiene quindi tutti gli eventi elementari che compaiono sia nel sottoinsieme A sia nel sottoinsieme B.

Se i due eventi A e B sono incompatibili fra loro, il prodotto AB corrisponde all'evento impossibile .

Anche il prodotto, come la somma, può essere esteso ad un numero finito o numerabile di eventi.

Un esempio di rappresentazione dell’evento AB mediante i diagrammi di Venn si ha nella figura 8.3.5 e corrisponde all'area colorata in nero.

Figura 8.3.5

Rappresentazione del prodotto di due eventi

Considerata nuovamente l’urna con 5 palline colorate e l’esperimento che consiste nell’estrarre una pallina in modo casuale, sia A l’evento "pallina con un numero superiore a 2" e B l’evento "pallina con un numero dispari". In questo caso l'evento prodotto AB corrisponde all'evento {₃}{₅}.

Se oltre ai due precedenti eventi consideriamo anche C "pallina con un numero inferiore a 5" si ha ABC = {₅}.

Esempio 8.3.5

Considerata l’urna descritta nell’esempio 8.3.1 e l’esperimento che consiste nell’estrazione di una pallina in modo casuale, si indichi con A l’evento “uscita di una pallina bianca” e con B l’evento “uscita di una pallina contrassegnata dal numero 1 o dal numero 2”. Indicare quali sono gli eventi elementari che compongono l’evento AB.

Gli eventi A e B sono compatibili perché le palline bianche contrassegnate dal numero 1 e dal numero 2 fanno parte sia di A sia di B e sono proprio queste due palline a costituire l’evento AB.

In alcune circostanze, il verificarsi di un certo evento A implica necessariamente il verificarsi di un evento B, mentre non è vero il viceversa. Questa situazione è rappresentata nella figura successiva in cui l’insieme A, rappresentato dall’area colorata in grigio, è contenuto all’interno dell’insieme B.

Figura 8.3.6

Rappresentazione dell’implicazione di due eventi

Dati i due eventi A e B sottoinsiemi di , si dice che A implica B, e si indica con A  B, se tutti gli eventi elementari che costituiscono A sono anche eventi elementari di B, ma non è vero il viceversa.

Considerati i due eventi A e B, se sono valide contemporaneamente le due relazioni A  B e B  A, questo significa che A  B, ossia che i due eventi sono uguali, dato che sono costituiti dai medesimi eventi elementari.

Esempio 8.3.6

Considerata un’urna contenente 20 palline numerate da 1 a 20 e un esperimento che consiste nell’estrazione di una pallina in modo casuale, si indichi con A l’evento “uscita di una pallina contrassegnata da un multiplo di 4” e con B l’evento “uscita di una pallina contrassegnata da un numero pari”. Verificare che l’evento A implica B.

L’evento A è costituito dalle palline contrassegnate dai numeri 4, 8, 12, 16 e 20, mentre B è costituito dalle 10 palline contrassegnate con un numero pari, per cui gli eventi elementari di A sono eventi elementari anche di B, mentre non è vero il viceversa.

Un’ultima usuale operazione fra eventi è la differenza. Dati i due eventi A e B, entrambi sottoinsiemi di

, la differenza A B è quell'evento che si verifica quando è vero l'evento A senza che sia vero contemporaneamente l’evento B.

Dati i due eventi A e B, entrambi sottoinsiemi di , la differenza A B è quell'evento costituito dagli eventi elementari di A che non appartengono anche a B.

L’evento A B appena descritto corrisponde all'area colorata in grigio nella figura 8.3.7.

Figura 8.3.7

Rappresentazione della differenza fra due eventi

Esempio 8.3.7

Considerata l’urna dell’esercizio 8.3.6 e un esperimento che consiste nell’estrazione di una pallina in modo casuale, si indichi con A l’evento “uscita di una pallina contrassegnata da un numero dispari” e con B l’evento “uscita di una pallina contrassegnata da un multiplo di 3”. Indicare gli eventi elementari che costituiscono l’evento A  B.

Indicato con 

i il risultato “estrazione della pallina contrassegnata dal numero i” gli eventi A e B sono costituiti da A = {₁, ₃, ₅, ₇, ₉, ₁₁, ₁₃, ₁₅, ₁₇, ₁₉}

B = {₃, ₆, ₉, ₁₂, ₁₅, ₁₈} per cui risulta

A  B = {₁, ₅, ₇, ₁₁, ₁₃, ₁₇, ₁₉}

Considerati due eventi A e B appartenenti a  valgono, tra le altre, le seguenti regole, il cui significato è facilmente comprensibile

A  A = A A  A = A A  B = B  A A  B = B  A

A  B  C = (A  B)  C = A  (B  C) A  B  C = (A  B)  C = A  (B  C)

A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

 









8.4 Probabilità

Nelle pagine precedenti si è affermato che a ciascuno degli N eventi elementari {_i} dello spazio fondamentale  può essere associata una probabilità, il cui valore numerico misura il grado di fiducia che {_i} si verifichi in quella prova.

La probabilità è un concetto “primitivo”, ossia una nozione che in qualche modo è nota senza che ci sia bisogno di darne una definizione formale, tanto è vero che il termine “probabilità” è usato quotidianamente in espressioni del tipo: “è probabile che il tasso di occupazione giovanile non subisca grosse variazioni nei prossimi mesi”, “probabilmente sosterrò 2 esami nella prossima sessione”, “mi sembra improbabile che venga a piovere nelle prossime ore”.

I primi tentativi di definire la probabilità risalgono alla metà del XVII secolo, ma la sua prima formalizzazione rigorosa si deve a Laplace, all’inizio del 1800. La definizione data da questo studioso viene tuttora utilizzata in alcune situazioni reali come, per esempio, nel caso di estrazione di palline da un’urna quando il meccanismo di sorteggio non privilegia l'uscita di alcune palline rispetto alle altre (come per esempio nel gioco del lotto). In questo caso sembra ragionevole assegnare a ciascuna pallina contenuta nell’urna una stessa probabilità di essere estratta.

Nel caso dell'urna con le palline numerate da 1 a 5 potremo affermare quindi che i cinque eventi elementari associati all’esperimento che consiste nell’estrarre una pallina dall’urna sono equiprobabili.

Accettando l’idea che la probabilità possa assumere valori compresi fra 0 e 1 si può concludere che la probabilità di ogni evento elementare è uguale a

5 1.

Indicato con A = {₁} l’evento “estrazione della pallina contrassegnata dal numero 1”, la valutazione numerica della sua probabilità, indicata con P(A) =

5

1, è stata effettuata in base a considerazioni sul

meccanismo di sorteggio. Pertanto questa valutazione non costituisce una misura oggettiva della probabilità dell’evento A, ma è solo una valutazione numerica ragionevole.

Secondo la definizione classica, la probabilità di un evento è data dal rapporto fra il numero di casi favorevoli a quell'evento ed il numero di casi possibili, purché tutti equiprobabili.

Considerato un evento E sottoinsieme di  e indicata con card(E) la sua cardinalità, ossia il numero degli eventi elementari che lo compongono, la probabilità di E corrisponde al rapporto

   

N E E card P 

dove N indica il numero degli eventi elementari che compongono l’evento certo .

Ci sono molte situazioni in cui gli eventi elementari possono essere considerati equiprobabili come, per esempio, nel caso dell’estrazione di una carta da un mazzo, nel gioco della roulette, nel lancio di un dado equilibrato o di una moneta non truccata.

Esempio 8.4.1

Nell’estrazione di una pallina dall'urna contenente 5 palline bianche, 3 palline nere e 2 gialle, si determinino le probabilità da assegnare ai tre eventi elementari A "estrazione di una pallina bianca", B "estrazione di una pallina nera" e C "estrazione di una pallina gialla" in base alla definizione classica.

Dal rapporto fra numero di casi favorevoli e numero di casi possibili risulta P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(C) = 0.2.

La definizione classica di probabilità è in realtà tautologica, dato che richiede l’equiprobabilità di tutti i casi possibili, quando è proprio la probabilità a dover essere definita. Inoltre l’applicabilità di questa definizione è ristretta alle sole situazioni in cui la conoscenza preliminare del fenomeno (o dell’esperimento) consente di ritenere che tutti i risultati siano effettivamente equiprobabili.

La definizione classica non consente infatti di calcolare la probabilità in caso di eventi non equiprobabili e presuppone un numero finito di risultati possibili.

In realtà, i risultati di un esperimento possono essere in numero infinito e in molte situazioni reali non si ha conoscenza di quale sia il meccanismo che genera l’esperimento o il fenomeno in esame, per cui non si può ipotizzare l’equiprobabilità a priori.

Per superare questi inconvenienti Richard von Mises propose una definizione diversa che può essere utilizzata per eventi ripetibili, ossia nelle situazioni in cui un determinato esperimento può essere ripetuto un numero qualsiasi di volte.

Dato l’esperimento che consiste nel lancio di una moneta, i due possibili risultati connessi con questa prova sono considerati equiprobabili quando si fa riferimento a una moneta “ideale” perfettamente bilanciata. Con riferimento ad una specifica moneta, però, le probabilità associate alle due facce non sono note, ma si può effettuare una valutazione delle corrispondenti probabilità sulla base dei risultati ottenuti in un numero elevato di lanci.

Si può constatare infatti che la frequenza relativa con cui si presenta un evento, al crescere del numero delle prove, si stabilizza in prossimità di un dato valore che viene considerato come un’approssimazione della probabilità di quell’evento.

In base alla definizione frequentista di von Mises, la probabilità di un evento è il limite a cui tende la frequenza relativa di quell’evento all’aumentare del numero delle prove, per cui il grado di precisione sarà tanto maggiore quanto maggiore è il numero di prove effettuate (dette repliche).

In base a questa definizione la quantificazione della probabilità viene effettuata sulla base dell’osservazione empirica, anziché sulla conoscenza a priori dell’esperimento, e l’esistenza del “limite”

citato non può essere dimostrata, per cui viene semplicemente postulata.

Anche questa definizione è stata però criticata dato che, secondo alcuni studiosi (come per esempio de Finetti e Savage), nessun fenomeno o esperimento può essere considerato esattamente ripetibile. Inoltre si effettuano abitualmente delle valutazioni di probabilità anche per eventi connessi con prove che sono per loro natura irripetibili, come nel caso dei risultati di una partita di calcio o di una corsa di cavalli. In queste occasioni sono però possibili delle valutazioni quantitative delle probabilità associate ai diversi risultati, in base alle quali si effettuano anche delle scommesse.

Altre valutazioni numeriche di probabilità associate ad eventi non ripetibili vengono effettuate abitualmente sul possibile futuro rialzo o ribasso del prezzo di un bene, di un titolo o di una valuta, e da queste valutazioni dipende la decisione di vendere o di acquistare.

Le probabilità associate ad eventi di questo tipo sono assegnate sulla base di tutte le informazioni che si hanno su quel fenomeno, sulle frequenze con cui le modalità di quel fenomeno o di fenomeni analoghi si sono manifestate in passato, così che individui diversi danno ad uno stesso evento valutazioni di probabilità che possono risultare diverse fra loro.

L’estensione della nozione di probabilità ad eventi che non possono essere considerati equiprobabili e che non sono ripetibili avviene attraverso la definizione soggettivista, secondo la quale la probabilità di un evento E è la misura del grado di fiducia che un individuo “coerente”² attribuisce, secondo le sue informazioni e opinioni, all’avverarsi di E.

Per evidenziare il fatto che una valutazione soggettiva della probabilità non è comunque una valutazione arbitraria, la probabilità viene anche definita come quel prezzo p che un individuo ritiene equo pagare per ricevere un importo unitario al verificarsi di E. Lo stesso individuo deve essere disposto a pagare un importo unitario al verificarsi di E contro il pagamento dello stesso prezzo p.

Anche questa definizione è stata oggetto di numerose critiche e i dibattiti sono tuttora aperti, ma agli inizi del XX secolo si avvertì l’esigenza di costruire una teoria unificata della probabilità, che stabilisse gli assiomi da porre a fondamento dell’intera teoria, quale che fosse la definizione prescelta.

Nel 1933 viene pubblicata l’opera “Foundation of the theory of probability” di Kolmogorov, in cui l’autore si pone volutamente al di sopra delle parti con l’obiettivo di costruire una teoria della probabilità prescindendo dalla sua definizione.

2 Il concetto di “coerenza” riveste un’importanza fondamentale nella definizione soggettivista della probabilità. Si veda, per esempio, de Finetti B.

(1970), Teoria delle probabilità, Einaudi, Torino.

Questa impostazione accetta qualunque approccio purché rispetti delle proprietà fondamentali, assunte come assiomi. Da questi assiomi si deducono poi altre proprietà, che costituiscono i teoremi.

Con la definizione assiomatica vengono stabiliti gli assiomi che devono essere rispettati dalla probabilità, a prescindere dalla definizione adottata. Non è quindi una definizione operativa e non fornisce indicazioni su come calcolare la probabilità.

Assiomi

Considerato lo spazio fondamentale  i tre assiomi della definizione assiomatica della probabilità sono:

- Positività: dato un evento E sottoinsieme di  la sua probabilità P(E) è un numero maggiore o uguale a zero

 

P per ogni E

- Certezza: la probabilità dell’evento certo è sempre uguale a 1

 

P

- Unione: Se A e B sono due eventi incompatibili, entrambi sottoinsiemi di , la probabilità della loro somma è pari alla somma delle singole probabilità



    

P   

Con i primi due assiomi si stabilisce che la probabilità assume un valore che non può mai essere negativo e che la scala di misura adottata attribuisce valore 1 allo spazio fondamentale .

Il terzo assioma, che costituisce la cosiddetta legge delle probabilità totali, consente di attribuire una probabilità all’unione di un numero finito di eventi incompatibili.

Nel caso dell'urna contenente 5 palline bianche, 3 palline nere e 2 gialle e di un esperimento che consiste nell’estrazione di una pallina in modo casuale, sia B l’evento “estrazione di una pallina bianca”, N l’evento “estrazione di una pallina nera” e G l’evento “estrazione di una pallina gialla”. In base alla legge delle probabilità totali, la probabilità di estrarre una pallina bianca oppure gialla è pari a

P(BG) = P(B) + P(G) = 0.5 + 0.2 = 0.7.

La legge delle probabilità totali può essere estesa a un numero finito di eventi a due a due incompatibili, per cui, per esempio, considerati 3 eventi A, B e C tutti incompatibili fra loro si ha

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C).

Allo stesso modo, considerato l’evento certo, risulta

  

    

 

P

     

In questo modo, a partire dalla probabilità degli eventi elementari, risulta definita anche la probabilità di tutti gli eventi corrispondenti ad un qualsiasi sottoinsieme di .

Se gli eventi A e B sono invece compatibili, la probabilità della loro unione è uguale alla somma delle probabilità associate ai due eventi meno la probabilità del loro prodotto, perché effettuando la somma P(A)+P(B), la probabilità del prodotto P(AB) verrebbe conteggiata due volte, come si osserva dalla figura 8.3.5.

Dati due eventi A e B sottoinsiemi di  la legge delle probabilità totali stabilisce che la probabilità della loro somma corrisponde a

P(AB) = P(A) + P(B)  P(AB) se A e B sono compatibili 8.4.1 P(AB) = P(A) + P(B) se A e B sono incompatibili

Sulla base della legge delle probabilità totali si determina anche la probabilità dell’evento impossibile  tenendo presente che un qualsiasi evento E, sottoinsieme di , può essere sempre scritto nella forma

E = E  ,

per cui, dalla legge delle probabilità totali, risulta

P(E) = P(E) + P()

da cui risulta che la probabilità dell’evento impossibile  è pari a zero

P() = 0.

Sempre in base alla legge delle probabilità totali, a partire dalla probabilità P(E) di un qualsiasi evento E sottoinsieme di , si ottiene immediatamente la probabilità dell’evento complementare E^c tenendo presente la seguente uguaglianza

 = E  E^c

dalla quale si ottiene

 

 

 

P 1 

e quindi

 

^{ }

P ^c 1 .

La probabilità dell’evento complementare è quindi uguale al complemento ad uno della probabilità dell’evento originale.

La legge delle probabilità totali risulta utile anche nel caso di un evento A che implica un evento B, per determinare la relazione esistente fra le probabilità associate ai due eventi considerati. Se A  B, l’evento B può essere scritto nella forma equivalente

B = A(BA)

come si vede dal diagramma di Venn riportato nella figura seguente in cui A corrisponde all’ellisse più piccolo e di colore grigio più scuro, mentre B  A corrisponde all’area colorata in grigio più chiaro.

Figura 8.4.1

Scomposizione dell’evento B

Come si nota facilmente dalla figura, i due eventi A e (B  A) sono incompatibili fra di loro, per cui

P(B) = P(A) + P(B  A). 8.4.2

Dato che P(B  A) ≥ 0, segue che P(B) ≥ P(A), ossia che la probabilità dell’evento B è maggiore o tutt’al più uguale alla probabilità dell’evento A.

L’uguaglianza precedente consente anche di determinare la probabilità da assegnare ad una differenza propria fra eventi, dove per differenza propria si intende l’evento B  A considerato sotto la condizione A  B.

Dalla 8.4.2 si ottiene

P(B  A) = P(B)  P(A)

per cui la probabilità di una differenza propria fra eventi corrisponde alla differenza fra le probabilità dei singoli eventi considerati.

Come conseguenza di quanto si è visto finora, per ogni evento E che sia un sottoinsieme di  risulta

0  P(E)  1 per ogni E  A

dato che E  e che P() = 1.

Resta così dimostrato che la probabilità di un qualsiasi evento assume un valore che è sempre compreso nell’intervallo [0, 1].

La terna costituita dagli elementi (, A, P), costituita dallo spazio fondamentale , dalla classe degli eventi A e dalla misura di probabilità P, è chiamata spazio di probabilità.

Uno spazio di probabilità (, A, P) è uno spazio di misura tale che P(E) ≥ 0 per ogni evento E appartenente ad A e P() = 1. Da questa definizione segue che uno spazio di probabilità è sempre uno spazio di misura finita.

8.5 Eventi condizionati

Dati due eventi qualsiasi A e B, sottoinsiemi di , si può definire l'evento A condizionato a B, indicato con il simbolo A|B, che corrisponde all’evento A considerato sotto la condizione che sia vero l'evento B.

Con riferimento all'urna contenente le 5 palline numerate da 1 a 5, si consideri l’esperimento che consiste nell’estrazione di una singola pallina e sia A l'evento "estrazione di una pallina con un numero superiore a 2". Data l’equiprobabilità degli eventi elementari, la probabilità P(A) è pari a 3/5.

Supponiamo ora che venga fornita l’informazione che nella prova si è verificato l’evento B "pallina con un numero dispari". In questo caso è noto che nella prova è stata estratta una delle palline contrassegnate con i numeri 1, 3 e 5 e fra questi tre eventi elementari solo due (la pallina numero 3 e la pallina numero 5) sono favorevoli ad A. In questa situazione P(A|B), ossia la probabilità di A una volta noto che si è verificato B, è uguale a 2/3, per cui l’informazione supplementare sul verificarsi di B ha fatto aumentare la probabilità dell’evento A.

Se invece fosse noto che nella prova è stata estratta una pallina contrassegnata da un numero pari, gli eventi elementari possibili sarebbero solo due (la pallina numero 2 o la pallina numero 4) e fra questi solo la pallina numero 2 risulta un evento favorevole ad A. Indicato con C l’evento “estrazione di una pallina pari”, P(A|C) = 1/2, per cui l’informazione sul verificarsi di C ha fatto diminuire la probabilità di A.

In generale, per determinare la probabilità di un evento A una volta che è noto che nella prova si è verificato un evento B, sia {₁, ₂, , _h} il sottoinsieme di eventi elementari di  che costituiscono l’evento B e siano P{₁}, P{₂}, , P{_h} le corrispondenti probabilità iniziali.

Se è noto che si è verificato l'evento B, gli eventi elementari possibili non sono più tutti gli N eventi elementari che costituiscono , ma solo gli h eventi {₁} (con i = 1, 2, ..., h) che costituiscono B. Di conseguenza le loro probabilità iniziali vanno aggiornate tenendo presente l’informazione supplementare.

Occorre quindi modificare proporzionalmente le P{_i} iniziali in modo che la somma delle nuove probabilità P’{_i} risulti uguale ad 1.

Questo risultato si ottiene in modo semplice, dividendo le probabilità iniziali P{_i} per la probabilità P(B) dell’evento B, ossia per P{₁₂…_h}. Le nuove probabilità da assegnare agli eventi elementari che costituiscono B sono quindi pari a

   

 

dato che

   

   

     

1 1









 



B P P B P

ω ω P

P'

h i

i h

i h i

i

i

Una volta ottenute queste nuove probabilità, si può calcolare anche la probabilità associata ad un qualsiasi evento A|B, ossia di un evento A una volta noto che si è verificato B. Questa probabilità corrisponde semplicemente alla somma delle probabilità degli eventi elementari che costituiscono A calcolate sotto la condizione che si è verificato B.

Nell’esempio dell'urna contenente le 5 palline numerate da 1 a 5, per determinare la probabilità dell’evento A "pallina con un numero superiore a 2" una volta che è noto che si è verificato l’evento B

"pallina con un numero dispari", occorre innanzitutto aggiornare le probabilità iniziali dei 3 eventi elementari che costituiscono l’evento B, ossia degli eventi {₁} “uscita della pallina 1”, {₃} “uscita della pallina 3” e {₅} “uscita della pallina 5”.

Le probabilità iniziali, pari a 1/5, vengono aggiornate dividendole per la probabilità dell’evento B

     

5 1 



 PB

P'_i Pⁱ i = 1, 3, 5

e, tenuto presente che l’evento A|B si verifica se si verifica l’evento {₃} oppure l’evento {₅}, la sua probabilità è data da

     

3 2 3 1 3 1

5

3    

P'





P .

L'evento A|B è costituito dai soli eventi elementari che risultano in comune fra A e B, ossia dagli eventi elementari che costituiscono (AB), per cui P(A|B) corrisponde alla somma delle probabilità degli eventi elementari in comune fra A e B calcolate sotto la condizione che si è verificato B.

La probabilità dell'evento condizionato P(A|B) è perciò uguale alla probabilità iniziale del prodotto divisa per la probabilità inziale dell’evento condizionante

   

 

B A B P

A

P |   . 8.5.1

Con riferimento all’esempio dell'estrazione di una pallina da un’urna contenente 5 palline numerate da 1 a 5, indicati con A l’evento "pallina con un numero superiore a 2" e con B l’evento "pallina con un numero dispari" la probabilità dell’evento A|B calcolata in base alla 8.5.1 corrisponde a

   

     

     

P

5 3

1

5

3  





 

 

ω ω P

ω P P

ω ω P

P B

P B A

A|B P .

Dati i due eventi A e B, entrambi sottoinsiemi di , oltre all’evento l’evento A|B può essere considerato l’evento B|A la cui probabilità, in analogia alla 8.5.1, corrisponde a

   

 

B A B|A P

P   8.5.2

Dalle uguaglianze 8.5.1 e 8.5.2 si ottiene anche



        

P    8.5.3

che costituisce la legge delle probabilità composte, secondo cui la probabilità del prodotto di due eventi è uguale alla probabilità di uno dei due eventi per la probabilità dell'altro condizionato al primo.

In generale la probabilità dell’evento A|B risulta diversa dalla probabilità di A, ma può anche accadere che P(A|B) risulti uguale a P(A), per cui l’informazione su B non modifica la probabilità iniziale di A.

In queste circostanze l'evento A è indipendente da B e l’uguaglianza 8.5.3 assume la forma seguente



    

P   8.5.4

dalla quale risulta anche se A è indipendente da B, anche B deve essere indipendente da A perché vale l’uguaglianza

   

P  .

Se due eventi sono indipendenti, quindi, la probabilità del loro prodotto è uguale al prodotto delle loro probabilità e questa uguaglianza costituisce la condizione necessaria e sufficiente per l’indipendenza3 di A e B.

Dati due eventi A e B sottoinsiemi di  la legge delle probabilità composte stabilisce che la probabilità della loro intersezione corrisponde a

P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) se A e B sono dipendenti

P(AB) = P(A)P(B) se A e B sono indipendenti 8.5.5

Considerata per esempio un’urna che contiene 6 palline numerate da 1 a 6, l’evento A “pallina con un numero inferiore o uguale a 2” e l’evento B “pallina con un numero dispari” risultano indipendenti fra di loro, dato che P(A)=1/3, P(B)=1/2 e P(AB) =1/6=P(A)P(B).

Anche la legge delle probabilità composte può essere estesa a un numero finito di eventi per cui, per esempio, la probabilità del prodotto di tre eventi qualsiasi A1, A2, A3 corrisponde a





)P

|A )P(A P(A ) A A

P(A₁ ₂ ₃  _{1 2 1 3 1} ₂

mentre se gli eventi sono indipendenti, risulta

3)

2 1 3

2

1 A A ) P(A)P(A)P(A

P(A  

In generale, considerati h eventi Ai (i = 1, 2, …, h) qualsiasi, la probabilità del loro prodotto è data da





1 2 1 2

1 A ... A ) P(A)P(A|A)...PA|(A A ... A )

P(A   _h  _h    _h 8.5.6

mentre se gli eventi sono indipendenti si ha

) P(A ...

) P(A ) P(A ) A ...

A

P(A₁ ₂  _h  _{1 2 h} 8.5.7

3Questa condizione è analoga a quella di indipendenza assoluta per le variabili statistiche.