ESERCIZI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
1) Un esperimento consiste nel lancio di due dadi equilibrati. Determinare la probabilità associata agli eventi:
A “la faccia con 6 punti non compare su nessun dado”
B “almeno una faccia presenta 6 punti”
C “i due dadi presentano facce diverse”
Soluzione
Cominciamo a considerare un singolo dado: se la faccia con 6 punti non deve comparire, significa che l’evento favorevole è una delle facce restanti. Essendo 5 le facce con un punteggio diverso da 6 la probabilità che, lanciando un dado, la faccia ottenuta non presenti la faccia 6 è 5/6.
I risultati associati al lancio dei due dadi sono ovviamente indipendenti fra loro, per cui la probabilità che non si abbia un 6 su nessuno dei due dadi è
𝑃(𝐴) = 5 6×5
6= 25 36
per la legge delle probabilità composte applicate ad eventi indipendenti L’evento B corrisponde all’unione dei seguenti eventi incompatibili:
- Il primo dado presenta la faccia 6 e il secondo dado una faccia diversa da 6 - Il primo dado presenta una faccia diversa da 6 e il secondo dado la faccia 6 - Entrambi i dadi presentano la faccia 6
Si può quindi effettuare la somma delle probabilità di questi tre eventi che, essendo fra loro incompatibili, corrisponde alla somma delle singole probabilità 𝑃(𝐵) = (1
6×5
6) + (5 6×1
6) + (1 6×1
6) =11 36
per la legge delle probabilità totali applicata a eventi incompatibili.
Esiste però un modo più rapido per risolvere il quesito, dato che 𝐵 ≡ 𝐴𝑐, per cui 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 −25
36 = 11 36
Per valutare la probabilità dell’evento C, si può ragionare considerando i lanci in sequenza: il primo dado può presentare una faccia qualsiasi, mentre il secondo deve presentare una faccia diversa da quella ottenuta sul primo dado. Quindi l’evento favorevole sul primo dado è una faccia qualsiasi e ha probabilità 1, mentre sul secondo dado ci sono solo 5 eventi favorevoli sui 6 possibili.
Risulta quindi 𝑃(𝐶) = 1 ×5
6= 5 6
2) Una prova consiste nel lancio di tre dadi equilibrati. Determinare la probabilità dell’evento A “il punteggio totale è superiore a 15”
Soluzione
Un punteggio pari a 16 si può ottenere
- con i numeri 6, 6 e 4 che possono presentarsi in 3 ordini diversi 6 6 4
6 4 6 4 6 6
- con i numeri 6, 5 e 5 che possono presentarsi in 3 ordini diversi 6 5 5
5 6 5 5 5 6
Un punteggio pari a 17 si può ottenere con i numeri 6, 6 e 5 che possono presentarsi in 3 ordini diversi
6 6 5 6 5 6 5 6 6
Un punteggio pari a 18 si può ottenere con 3 numeri 6 6 6 6
Quindi ci sono 10 casi favorevoli all’evento considerato, mentre sono 63=216 i casi possibili
La probabilità cercata è
𝑃(𝐴) = 10 216
3) Dato un esperimento che consiste nell’estrarre 3 palline con ripetizione da un’urna che contiene 50 palline di cui 20 bianche, 18 nere e 12 rosse, si determini la probabilità che si verifichino gli eventi A “tutte palline bianche” e B
“tre palline di diverso colore”
Soluzione
L’estrazione avviene con ripetizione: di conseguenza gli eventi risultano indipendenti, in quanto la composizione dell’urna resta sempre la stessa ad ogni estrazione.
L’evento A corrisponde all’estrazione di 3 palline bianche. Indicando con 𝐵𝑖 l’evento “pallina bianca alla i-esima estrazione”, si ha
𝐴 ≡ (𝐵1∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3) Data l’indipendenza fra gli eventi si ottiene
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵1∩ 𝐵2∩ 𝐵3) = 𝑃(𝐵1) × 𝑃(𝐵2) × 𝑃(𝐵3) per cui
𝑃(𝐴) =20 50×20
50×20 50 = (2
5)
3
= 0.064
Le palline di tre colori diversi si possono ordinare in 6 modi diversi. Utilizzando le iniziali dei colori si possono infatti ottenere i seguenti ordinamenti
B N R B R N N B R N R B R B N R N B
Nel caso della prima sequenza (B N R) la probabilità corrispondente è 20
50×18 50×12
50 = 0.03456
ma a tutte le sequenze è associata sempre la medesima probabilità (cambia solo l’ordine dei fattori). Pertanto
𝑃(𝐵) = 6 × 0.03456 = 0.20736
4) In una moneta la probabilità associata alla faccia contrassegnata con “Testa” è quattro volte la probabilità della faccia “Croce”. Determinare tutti i possibili risultati che si possono ottenere lanciando 2 volte la moneta e calcolare le probabilità corrispondenti
Soluzione
Il calcolo della probabilità associata ai due eventi, P(T) e P(C), si effettua mettendo a sistema le seguenti due equazioni
{ 𝑃(𝑇) = 4𝑃(𝐶) 𝑃(𝑇) + 𝑃(𝐶) = 1
dove la prima equazione deriva dalla relazione esistente fra le due probabilità, mentre la seconda deriva dal fatto che T e C sono gli unici due eventi elementari associati alla prova e sono quindi necessari e incompatibili
Sostituendo la prima uguaglianza nella seconda equazione si ottiene:
5P(C) = 1
P(C) = 1/5 = 0.2
per cui P(T) = 4/5 = 0.8
Una volta determinate le probabilità associate alle due facce della moneta, occorre trovare quanti e quali sono i possibili risultati. Dato che al primo lancio così come al secondo si può presentare una delle due teste, i possibili risultati sono 2×2=4.
Nella tabella successiva sono riportati i possibili risultati nella prima colonna e nella seconda la probabilità corrispondente
Risultato Probabilità CC 0.22=0.04 CT 0.2×0.8=0.16 TC 0.8×0.2=0.16 TT 0.82=0.64
1.00
5) Dati due eventi A e B indipendenti, determinare la probabilità di (𝐴 ∪ 𝐵) sapendo che P(B)=0.8 e 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)=0.3
Soluzione
L’informazione circa l’indipendenza dei due eventi consente di determinare la probabilità dell’evento A.
In caso di indipendenza fra due eventi A e B, infatti, la probabilità del loro prodotto è uguale al prodotto delle singole probabilità, per cui si ha
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) Tenendo presente che dal testo si sa che
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)=0.3 P(B)=0.8 si ottiene
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) =0.3
0.8 = 0.375
A questo punto si hanno tutti i dati necessari per calcolare 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵).
Tenendo presente che i due eventi sono indipendenti, ma non incompatibili, si ha
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.375 + 0.8 − 03 = 0.875
6) Dati due eventi A e B per i quali è noto che 𝑃(𝐴𝑐) = 𝑃(𝐴̅) = 0.4 e 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑐) = 0.1, verificare se A e B sono compatibili
Soluzione
Per verificare se gli eventi A e B sono compatibili si deve andare a calcolare la probabilità della loro intersezione 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) e verificare se risulta maggiore di zero, ma nel testo sono forniti solo i valori della probabilità 𝑃(𝐴𝑐) e di 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑐).
La probabilità associata all’evento A si ottiene immediatamente, dato che 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 0.4 = 0.6
Va inoltre ricordato che l’evento A può essere scomposto nella somma dei due eventi incompatibili (𝐴 ∩ 𝐵) e (𝐴 ∩ 𝐵𝑐), ossia vale sempre la seguente uguaglianza
𝐴 ≡ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵𝑐)
pertanto la probabilità 𝑃(𝐴) corrisponde alla somma delle probabilità associate ai due eventi indicati nelle parentesi tonde
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑐) da cui si ottiene
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑐) = 0.6 − 0.1 = 0.5 Dato che 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) > 0 si conclude che A e B sono compatibili
7) Data un’urna che contiene 12 palline nere e 8 palline bianche, determinare la probabilità che estraendo in modo casuale due palline si verifichi l’evento A
“palline dello stesso colore” se l’estrazione è effettuata: a) con ripetizione; b) senza ripetizione
Soluzione Indicati con:
𝐵1 l’evento “pallina bianca alla prima estrazione”
𝐵2 l’evento “pallina bianca alla seconda estrazione”
𝑁1 l’evento “pallina nera alla prima estrazione”
𝑁2 l’evento “pallina nera alla seconda estrazione”
l’evento A corrisponde alla somma dei due eventi composti incompatibili che sono contenuti nelle due parentesi tonde
𝐴 ≡ (𝐵1∩ 𝐵2) ∪ (𝑁1∩ 𝑁2)
La probabilità di questi eventi varia a seconda che l’estrazione sia effettuata con o senza ripetizione.
Il caso con ripetizione presenta meno difficoltà di calcolo, in quanto gli eventi sono indipendenti e la probabilità di un prodotto di eventi è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi. Risulta quindi
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵1∩ 𝐵2) + 𝑃(𝑁1∩ 𝑁2) = 𝑃(𝐵1) × 𝑃(𝐵2) + 𝑃(𝑁1) × 𝑃(𝑁2) per cui
𝑃(𝐴) = 8 20× 8
20+12 20×12
20 = 208
400= 0.52
Nel caso senza ripetizione gli eventi sono dipendenti, dato che alla seconda estrazione il numero complessivo di palline contenute nell’urna è pari a 19 e il numero di palline bianche e nere dipende da quale pallina è stata estratta alla prima estrazione. In questo caso si deve applicare la legge delle probabilità composte per eventi dipendenti. Risulta quindi
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵1∩ 𝐵2) + 𝑃(𝑁1∩ 𝑁2) = 𝑃(𝐵1) × 𝑃(𝐵2|𝐵1) + 𝑃(𝑁1) × 𝑃(𝑁2|𝑁1) per cui
𝑃(𝐴) = 8 20× 7
19+12 20×11
19 =188
380 ≈ 0.4947
8) Una popolazione è costituita da 20 donne e 80 uomini. Sapendo che gli individui occupati sono pari al 60% per le donne e al 75% per gli uomini, determinare la probabilità che un individuo estratto in modo casuale dalla popolazione risulti disoccupato.
Soluzione Indicati con
D l’evento “donna”
U l’evento “uomo”
O l’evento “occupato”
il testo fornisce le seguenti informazioni P(D) = 0.2
P(U) = 0.8 P(O|D) = 0.6 P(O|U) = 0.75
L’evento O si ottiene come somma degli eventi composti (OD) e (OU) 𝑂 ≡ (𝑂 ∩ 𝐷) ∪ (𝑂 ∩ 𝑈)
per cui, trattandosi di eventi incompatibili, si ha
𝑃(𝑂) = 𝑃(𝑂 ∩ 𝐷) + 𝑃(𝑂 ∩ 𝑈) Dalla legge delle probabilità composte risulta
𝑃(𝑂 ∩ 𝐷) = 𝑃(𝐷) × 𝑃(𝑂|𝐷) 𝑃(𝑂 ∩ 𝑈) = 𝑃(𝑈) × 𝑃(𝑂|𝑈) per cui
𝑃(𝑂) = 𝑃(𝐷) × 𝑃(𝑂|𝐷) + 𝑃(𝑈) × 𝑃(𝑂|𝑈)=0.2×0.6+0.8×0.75=0.72 Indicato con
𝑂𝑐 l’evento “disoccupato”
9) Un’urna contiene 10 palline rosse e 40 nere. Le palline rosse hanno tutte un punteggio pari, mentre solo metà delle palline nere ha un punteggio pari. Si consideri un esperimento che consiste nell’estrarre casualmente una pallina dall’urna e si considerino gli eventi A “estrazione di una pallina rossa” e B
“estrazione di una pallina con punteggio pari”. Si calcoli la probabilità degli eventi (AB) e (AB) e si verifichi se A e B sono indipendenti
Soluzione
L’evento A “estrazione di una pallina rossa” ha probabilità 𝑃(𝐴) = 10
50 = 0.2
mentre l’evento B “estrazione di una pallina con punteggio pari” ha probabilità 𝑃(𝐵) = 10 + 20
50 = 0.6
dato che le 10 palline rosse sono tutte pari, mentre solo metà delle 40 palline nere ha un punteggio pari.
Va notato che l’evento A è incluso in B, per cui l’intersezione fra A e B corrisponde all’evento A.
Questo comporta che la probabilità dell’intersezione fra i due eventi A e B sia uguale a P(A), ossia
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) = 0.2
La probabilità dell’unione degli eventi A e B è quindi pari a
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴) = 0.6
Per verificare se i due eventi sono indipendenti è sufficiente verificare se risulta 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵)
Nel caso in esame si ha
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.2 ≠ 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) = 0.2 × 0.3 per cui A e B non sono indipendenti
10) Dato un esperimento che consiste nell’estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte, determinare la probabilità dell’evento A “carta di picche o di cuori” e B “figura”. Calcolare le probabilità di (𝐴 ∪ 𝐵) e (𝐴 ∩ 𝐵) e verificare se A e B sono indipendenti
Soluzione
In un mazzo di carte francesi ci sono 13 carte per ciascun seme e 3 figure (fante, re e regina) per ciascun seme, per cui
P(A) = 26/52 P(B) = 12/52
Le carte corrispondenti all’intersezione fra A e B sono le 3 figure di picche e le tre figure di cuori, per cui
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 6/52
Dato che la probabilità 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) risulta uguale al prodotto P(A)×P(B) gli eventi A e B risultano indipendenti
La probabilità dell’evento (𝐴 ∪ 𝐵) si ottiene applicando il teorema delle probabilità totali applicato a eventi compatibili, per cui
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 26/52 + 12/52 − 6/52 = 32/52
11) Dati due eventi compatibili A e B determinare la probabilità di (𝐴 ∪ 𝐵) sapendo che 𝑃(𝐴𝑐) = 𝑃(𝐴̅)= 0.39, P(B) = 0.3 e P(A|B) = 0.7.
Soluzione
La probabilità dell’unione degli eventi A e B corrisponde a 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
La probabilità dell’evento A si ottiene dalla probabilità 𝑃(𝐴𝑐) e risulta 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴𝑐) = 0.61
mentre 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) si ottiene dalla legge delle probabilità composte e risulta
12) Dato un mazzo di 40 carte si consideri l’esperimento che consiste nell’estrarre contemporaneamente due carte dal mazzo. Si determini la probabilità che si verifichino gli eventi: A “entrambe le carte sono del seme di coppe”, B “le due carte sono dello stesso seme”, C “le due carte non sono entrambe degli assi”.
Soluzione
Il mazzo da 40 carte è composto da 10 carte (dall’asso al 7, più fante, cavallo e re) per ciascuno dei 4 semi.
L’estrazione contemporanea di due carte corrisponde all’esperimento che consiste nell’estrazione di due carte senza ripetizione (ossia senza reinserire la prima carta estratta nel mazzo).
La probabilità di A corrisponde quindi alla probabilità di estrarre una prima carta di coppe e una seconda carta sempre di coppe (senza aver reinserito la prima carta nel mazzo prima di estrarre la seconda carta)
Risulta quindi
𝑃(𝐴) = 10 40× 9
39 = 90
1560= 3
52 ≈ 0.0577
La probabilità di B corrisponde alla probabilità di estrarre due carte di coppe oppure due carte di bastoni oppure due carte di spade o due carte di denari, per cui è pari alla probabilità di A moltiplicata per il numero dei semi possibili
𝑃(𝐵) = 4𝑃(𝐴) = 12
52 ≈ 0.2308
Per calcolare la probabilità di C è conveniente calcolare la probabilità dell’evento contrario 𝐶𝑐 “entrambe le carte sono assi”
𝑃(𝐶𝑐) = 4 40× 3
39 = 12
1560 = 1 130 e farne il complemento a 1
𝑃(𝐶) = 1 − 𝑃(𝐶𝑐) = 1 − 1
130 =129
130 ≈ 0.9923
13) Un’urna contiene 5 palline bianche e 3 nere. Effettuata un’estrazione si osserva il colore della pallina estratta:
- se è nera, la pallina viene rimessa nell’urna insieme ad altre due dello stesso colore,
- se è bianca, la pallina viene tenuta da parte e non viene inserita alcuna pallina nell’urna.
Si calcoli la probabilità che alla seconda estrazione si estragga una pallina bianca.
Soluzione
Indicato con B2 l’evento che interessa, “pallina bianca alla seconda estrazione”, la sua probabilità corrisponderà alla somma delle probabilità calcolate in corrispondenza dei due diversi eventi che si possono presentare alla prima estrazione:
- N1 “pallina nera alla prima estrazione”
- B1 “pallina bianca alla prima estrazione”
in quanto questi due eventi sono necessari e incompatibili Risulta infatti
𝐵2 ≡ (𝐵1∩ 𝐵2) ∪ (𝑁1∩ 𝐵2) per cui
𝑃(𝐵2) = 𝑃(𝐵1∩ 𝐵2) + 𝑃(𝑁1∩ 𝐵2)
Tenendo presente la legge delle probabilità composte per eventi dipendenti 𝑃(𝐵1 ∩ 𝐵2) = 𝑃(𝐵1) × 𝑃(𝐵2|𝐵1)
𝑃(𝑁1∩ 𝐵2) = 𝑃(𝑁1) × 𝑃(𝐵2|𝑁1)
Se alla prima estrazione viene estratta una pallina bianca, nell’estrazione successiva l’urna è composta da 7 palline, di cui 4 bianche e 3 nere, per cui
𝑃(𝐵1∩ 𝐵2) = 𝑃(𝐵1) × 𝑃(𝐵2|𝐵1) = 5 8×4
7= 20 56 = 5
14
Se alla prima estrazione viene estratta una pallina nera, nell’estrazione successiva l’urna è composta da 10 palline, di cui 5 bianche e 5 nere, per cui 𝑃(𝑁1 ∩ 𝐵2) = 𝑃(𝑁1) × 𝑃(𝐵2|𝑁1) = 3
8× 5
10 = 15 80 = 3
16
14) Un’urna contiene 3 palline nere e 2 rosse. Si consideri un esperimento che consiste nell’estrarre due palline senza ripetizione e si determini la probabilità associata agli eventi:
A “la seconda pallina estratta è rossa”, B “entrambe le palline estratte sono rosse”
C “le due palline sono di colore diverso”.
Soluzione Si indichi con
R1 l’evento “estrazione di una pallina rossa alla prima prova”, R2 l’evento “estrazione di una pallina rossa alla seconda prova”, N1 l’evento “estrazione di una pallina nera alla prima prova”
N2 l’evento “estrazione di una pallina nera alla seconda prova”
L’evento A è dato da
𝐴 ≡ (𝑅1 ∩ 𝑅2) ∪ (𝑁1 ∩ 𝑅2)
corrisponde cioè all’unione dei due eventi composti, incompatibili, riportati nelle parentesi, per cui la sua probabilità è
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝑅1∩ 𝑅2) + 𝑃(𝑁1∩ 𝑅2)
L’estrazione avviene senza ripetizione, per cui l’evento che si verifica alla seconda estrazione dipende dall’evento che si è verificato alla prima. Di conseguenza le probabilità risultano
𝑃(𝑅1∩ 𝑅2) = 𝑃(𝑅1) × 𝑃(𝑅2|𝑅1) = 2 5×1
4= 0.1 𝑃(𝑁1 ∩ 𝑅2) = 𝑃(𝑁1) × 𝑃(𝑅2|𝑁1) = 3
5×2
4= 0.3
La probabilità dell’evento A è quindi pari alla somma 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝑅1∩ 𝑅2) + 𝑃(𝑁1∩ 𝑅2) = 0.1 + 0.3 = 0.4 L’evento B è invece dato da
𝐵 ≡ (𝑅1∩ 𝑅2)
per cui la sua probabilità è già stata calcolata e risulta pari a 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝑅1∩ 𝑅2) = 0.1
L’evento C, infine, corrisponde a
𝐶 ≡ (𝑅1∩ 𝑁2) ∪ (𝑁1∩ 𝑅2) per cui la sua probabilità è
𝑃(𝐶) = 𝑃(𝑅1∩ 𝑁2) + 𝑃(𝑁1 ∩ 𝑅2) dove
𝑃(𝑅1∩ 𝑁2) = 𝑃(𝑅1) × 𝑃(𝑁2|𝑅1) = 2 5×3
4= 0.3
mentre la seconda probabilità è stata calcolata in precedenza Si ottiene quindi
𝑃(𝐶) = 𝑃(𝑅1∩ 𝑁2) + 𝑃(𝑁1∩ 𝑅2) = 0.3 + 0.3 = 0.6
15) Si considerino due eventi indipendenti A e B. Si determinino le loro probabilità sapendo che P(A) < P(B), 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)=0.8, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)=0.3.
Soluzione
Dall’indipendenza degli eventi risulta
P(A)×P(B) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)=0.3 da cui si ottiene
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) = 0.3 𝑃(𝐵)
Dalla probabilità dell’unione degli eventi A e B si ottiene anche 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.8
Considerando solo gli ultimi due termini di questa uguaglianza e sostituendo a 𝑃(𝐴) il risultato riportato nel riquadro colorato in verde risulta
0.3
𝑃(𝐵)+ 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.8 ed anche
0.3
𝑃(𝐵)+ 𝑃(𝐵) − 0.3 = 0.8 0.3
𝑃(𝐵)+ 𝑃(𝐵) = 1.1
Posto 𝑃(𝐵) ≠ 0 si ottiene un’equazione di secondo grado 0.3 + [𝑃(𝐵)]2 = 1.1 × 𝑃(𝐵)
[𝑃(𝐵)]2− 1.1 × 𝑃(𝐵)+ 0.3=0 che fornisce le soluzioni
16) Una popolazione è costituita per l’80% da uomini e per il 20% da donne.
Sapendo che la proporzione di coloro che hanno conseguito un voto di laurea superiore a 100/110 è pari al 20% negli uomini ed al 35% nelle donne, si calcoli la probabilità che estraendo un individuo in modo casuale dalla popolazione risultino veri gli eventi: A “voto di laurea > 100”, B “voto di laurea ≤ 100”.
Soluzione
Indicato con D l’evento “donna”, con U l’evento “uomo” e con A l’evento “voto di laurea superiore a 100” le probabilità fornite dal testo sono
P(D)=0.2 P(U)=0.8 P(A|D) = 0.35 P(A|U) = 0.2
L’evento A corrisponde all’unione
A≡(AD)(AU) per cui
P(A)=P(AD) + P(AU)
Per la legge delle probabilità composte risulta anche
P(A) = P(D)×P(A|D) + P(U)×P(A|U) = 0.2×0.35 + 0.8×0.2 = 0.23 per cui
P(B) = 1−P(A) = 0.77
17) Data un’urna che contiene 100 palline numerate da 1 a 100, si consideri un esperimento che consiste nell’estrarre una pallina dall’urna. Determinare la probabilità che la pallina estratta sia dispari sapendo che il suo punteggio è superiore a 90.
Soluzione
Tenendo conto che la pallina estratta ha un punteggio superiore a 90, ci sono 10 risultati possibili e solo 5 di essi sono favorevoli all’evento, per cui la probabilità cercata è 0.5.
In termini più rigorosi, indicato con D l’evento “pallina dispari” e con M l’evento
“pallina con punteggio superiore a 90” si vuole calcolare la probabilità 𝑃(𝐷|𝑀) = 𝑃(𝐷 ∩ 𝑀)
𝑃(𝑀)
L’evento (𝐷 ∩ 𝑀) e costituito dai 5 numeri dispari 91, 93, 95, 97 e 99, per cui la sua probabilità è 𝑃(𝐷 ∩ 𝑀) =5/100
L’evento M è invece costituito dai 10 numeri interi compresi nell’intervallo (90, 100], per cui la sua probabilità è 𝑃(𝑀) = 10/100
Pertanto
𝑃(𝐷|𝑀) = 5/100
10/100= 0.5
18) In una scuola il 60% degli studenti frequentano il liceo scientifico ed il 40%
il liceo classico. Sapendo che tutti gli studenti del classico sono di sesso femminile, mentre solo la metà degli studenti dello scientifico è di sesso femminile, determinare la probabilità che una studentessa selezionata in modo casuale fra tutte quelle della scuola frequenti il liceo classico.
Soluzione
Indicato con C l’evento “liceo classico”, con S l’evento “liceo scientifico” e con F l’evento “femmina” le probabilità fornite dal testo sono
P(C) = 0.4 P(S) = 0.6 P(F|C) = 1.0 P(F|S) = 0.5
La probabilità richiesta si riferisce all’evento (C|F) per cui può essere calcolata mediante la formula di Bayes
𝑃(𝐶|𝐹) = 𝑃(𝐶)𝑃(𝐹|𝐶) 𝑃(𝐹)
Le probabilità che compaiono al numeratore del termine a destra del segno di uguaglianza sono fornite dal testo, mentre la probabilità che si tratti di una studentessa si ottiene considerando che l’evento F corrisponde all’unione degli eventi
𝐹 ≡ (𝐹 ∩ 𝐶) ∪ (𝐹 ∩ 𝑆) per cui la sua probabilità risulta
𝑃(𝐹) = 𝑃(𝐹 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐹 ∩ 𝑆) = 𝑃(𝐶) × 𝑃(𝐹|𝐶) + 𝑃(𝑆) × 𝑃(𝐹|𝑆) 𝑃(𝐹) = 0.4 × 1 + 0.6 × 0.5 = 0.7
Risulta quindi
𝑃(𝐶|𝐹) = 0.4 × 1 0.7 =4
7
19) Una ditta produce un componente per computer in tre diversi stabilimenti S1, S2 e S3. La ditta produce il 30% del totale dei componenti nello stabilimento S1, il 25% in S2, e il restante 45% in S3 ed è noto che il 2% dei componenti prodotti S1 è difettoso, in S2 il difetto si presenta con un’incidenza del 1.8%, mentre in S3 solo l’1.33% di componenti è difettoso.
Un cliente ordina un componente che risulta difettoso. Calcolare la probabilità che il componente provenga dal secondo stabilimento.
Soluzione
Le probabilità fornite dal testo sono P(S1) = 0.3
P(S2) = 0.25 P(S3) = 0.45
Indicato con D l’evento “l’articolo è difettoso” sono note anche le probabilità P(D|S1) = 0.02
P(D|S2) = 0.018 P(D|S3) = 0.0133
Si richiede il calcolo della probabilità P(S2|D) che, applicando la formula di Bayes, risulta pari a
𝑃(𝑆2|𝐷) = 𝑃(𝑆2)𝑃(𝐷|𝑆2) 𝑃(𝐷)
Come al solito, occorre calcolare la probabilità che compare al denominatore.
L’evento D corrisponde all’unione di tre eventi incompatibili:
- L’articolo è difettoso e proviene dal primo stabilimento - L’articolo è difettoso e proviene dal secondo stabilimento - L’articolo è difettoso e proviene dal terzo stabilimento
Ossia si ha
𝐷 ≡ (𝐷 ∩ 𝑆1) ∪ (𝐷 ∩ 𝑆2) ∪ (𝐷 ∩ 𝑆3) e la sua probabilità è pari a
𝑃(𝐷) = 0.3 × 0.02 + 0.25 × 0.018 + 0.45 × 0.0133 = 0.016485 Si ottiene quindi
𝑃(𝑆2|𝐷) = 0.25 × 0.018
0.016485 ≈ 0.272975
