III appello di Geometria II N.O - 8 Luglio 2002

III appello di Geometria II N.O - 8 Luglio 2002

Risolvere i seguenti esercizi dando brevi spiegazioni dei procedimenti e teoremi utilizzati.

Esercizio 1) Trovare polinomio caratteristico, polinomio minimo, autospazi, autospazi gene- ralizzati e forma di Jordan (se possibile senza trovare esplicitamente una base di Jordan) della seguente matrice

    

   

    

  







Esercizio 2) Trovare l’enunciato duale del seguente problema e risolverlo: “In ^ con coordi- nate omogenee ^ 



 !#" sia^$ la retta di equazioni&%'(%'



%)!*

,+

-.*/ . Sia⁰ il punto di coordinate ^{       "}. Determinare il piano¹ che contiene^$ e⁰ .”

Esercizio 3) Siano234*65 7/8 Mat9;:=<>:

+#?A@

B7DC*



7E eFGH*/5 7I8 Mat^{9J:K<L: +#?(@ B7MC-*}

7E .

1) Provare che² , ^F sono sottospazi vettoriali di Mat^{9;:N<O: +#?(@} .

2) Determinare la dimensione di² , trovare una sua base e una sua rappresentazione implicita.

3) Determinare la dimensione di^F , trovare una sua base e una sua rappresentazione implicita.

4) Provare che Mat^{9J:N<P: +#?Q@ *R2TS)F} .