Esame scritto di Geometria 2 Appello dell’ 8 settembre 2017

Esame scritto di Geometria 2

Appello dell’ 8 settembre 2017

Esercizio 1 Sia α : [0, M ) → R

una curva biregolare in parametro d’arco e sia T, N, B il riferimento di Frenet associato. Si consideri la curva ˆ α : (0, M ) → R

definita da ˆ α(t) = α(t) − tT (t).

1. Si dimostri che la curva ˆ α soddisfa le seguenti condizioni:

• ˆ α(t) giace sulla retta affine tangente ad α in α(t).

• ˙ˆ α(t) ` e un vettore ortogonale a ˙ α(t).

2. Si verifichi che ˆ α sull’intervallo aperto (0, M ) ` e una curva biregolare espli- citando la curvatura ˆ κ di ˆ α in termini della curvatura κ e della torsione τ della curva α.

3. Posto θ = arctan(τ /κ) si mostri che la normale alla curva ˆ α ` e data dal vettore N = cos θT + sin θB. ˆ

4. Si mostri che ˆ α ` e una curva piana se e solo se θ ` e costante.

Esercizio 2 Sia S la superficie in R

definita come grafico sul piano xy della funzione

f (x, y) = x

+ y

.

1. Si determini una parametrizzazione globale di S e la prima forma fondamen- tale nella parametrizzazione scelta.

2. Si calcolin la seconda forma fondamentale di S nella parametrizzazione scelta.

3. Si calcoli l’area della regione S

= {(x, y, f (x, y))|x

+ y

< r

}.

4. Si consideri la retta R = {x = y = 0} e P sia un piano contenente R. Si dimostri che P ∩ S ` e una geodetica di S passante per (0, 0, 0). ` E vero che tutte le geodetiche di S passanti per (0, 0, 0) sono di questa forma?

Esercizio 3 Siano

X = {(x, y, z) ∈ R

| x

+ y

− z

= 0, z > 0}, R = {(x, y, z) ∈ R

| y = z, x = 0} , P = (0, 1, 1).

1. Dimostrare che X ` e connesso per archi.

2. Determinare il gruppo fondamentale di X.

3. Determinare il gruppo fondamentale di X \ R.

4. Determinare il gruppo fondamentale di X \ P .

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