Misura di Deformazione

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Misure Meccaniche e Termiche Misure di Deformazione pag. 1

Misure di Deformazione Estensimetri a Resistenza Elettrica

Nell’ambito delle applicazioni tecniche ed industriale spesso è necessario misurare la deformazione meccanica.

Le misure vengono eseguite principalmente perché:

• le deformazioni locali di strutture sono proporzionali agli sforzi locali.;

• la misura di deformazione permette di stimare gli sforzi, e quindi le sollecitazioni selle strutture;

• si posso usare le misure di deformazione per misurare altre grandezze.

La Misura della Deformazione Meccanica

Dal punto di vista ingegneristico la deformazione viene espressa come variazione di lunghezza per unità di lunghezza, cioè:

Deformazione Meccanica

𝜀 =Δ𝐿 𝐿

Essendo un rapporto fra grandezze omogenee non ha unità di misura.

La deformazione è legata allo stato di sollecitazione dalla legge di Hooke, ovvero 𝜎 = 𝐸 ⋅ 𝜖. Si consideri l’acciaio (modulo di young è pari a E=210000 MPa) sollecitato con un carico pari a 210 MPa, allora risulta che:

𝜀 = 210 𝑀𝑃𝑎

210000 𝑀𝑃𝑎= 0.001

Quindi il valore di e per materiali da costruzione è molto piccolo

Misure Meccaniche e Termiche Misure di Deformazione

L’unità di misura per e non esiste, tuttavia, essendo un numero piccolo viene indicata con

𝜇𝜖 =

Ovvero la deformazione di 1 me corrisponde all’allungamento di un micron di due punti distanti fra loro 1 metro.

In ambito ingegneristico l’unità di misura si chiama microstrain (o microepsilon) anche se questa non è un’unità di misura del sistema internazionale.

Deformazione Meccanica

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La misura di deformazione viene eseguita mediante dei trasduttori chiamati ESTENSIMETRI e sono di diverse tipologie:

• meccanici (principio della leva meccanica, seconda metà 1800)

• ottici(principio della leva ottica, seconda metà 1800 - oggi in fibra di vetro)

• acustici (sfruttano variazioni di frequenza propria di una corda con la tensione)

• a resistenza elettrica (RE) (variazioni di resistenza di un conduttore con la deformazione, anni ‘30)

Misura di Deformazione

Gliestensimetri meccanici(a leva meccanica) sono stati i primi ad essere sviluppati in ambito industriale, ma non avendo un accettabile rapporto tra livello di accuratezza e costi di realizzazione, sono stati soppiantati da altri tipi. Un ulteriore limite di questi sistemi di misura è costituito dal fatto che gli elementi meccanici presentano inevitabilmente inerzia e attriti che non consentono di fare misure di deformazioni accurate e dinamiche.

Estensimetri meccanici

Gli estensimetri ottici sono analoghi agli estensimetri meccanici a leva, solo che utilizzano leve ottiche e non meccaniche.

In questi estensimetri è presente uno specchio solidale al coltello mobile (braccio meccanico della leva) che per effetto della deformazione ruota attorno alla cerniera. Lo specchio riflette un raggio luminoso (braccio ottico della leva) che per la legge della riflessione ruota di un angolo doppio.

Estensimetri ottici

Le leve ottiche consentono rapporti di amplificazione più elevati delle leve meccaniche.

Gli estensimetri a resistenza elettrica si basano sulla misura della variazione di resistenza elettrica in funzione della deformazione di un conduttore.

La legge di Ohm afferma la resistenza vale 𝑅 = 𝜚𝐿 dove 𝐴

• ρ= resistività del materiale (Ω⋅m)

• L = lunghezza del conduttore (m)

• A = sezione del conduttore (m2)

Il principio di misura si basa sul fatto che la deformazione meccanica del conduttore varia i tre parametri

Estensimetri a Resistenza Elettrica

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Se il conduttore viene deformato di una quantità e si avrà che:

• la lunghezza L varierà di una quantità pari a DL

• L’area A varierà di una quantità pari a DA per effetto della strizione del materiale

• La resistività del materiale ρ cambierà per effetto piezoelettrico del materiale.

Si può dimostrare che Δ𝑅

𝑅 = 1 + 2 𝜐 + Δ𝜚 𝜌

𝜀 ⋅ 𝜖

Ovvero esiste una relazione di proporzionalità diretta fra la variazione dell’estensimetro e la sua deformazione meccanica e questa dipende dal materiale con cui viene realizzato l’estensimetro.

Estensimetri a Resistenza Elettrica

Gli estensimetri sono realizzati in modo da massimizzare le prestazioni metrologiche e si presentano in questo modo:

Estensimetri a Resistenza Elettrica

Le caratteristiche generali per gli estensimetri commerciali sono:

Resistenza nominale = 120 – 350 W Lunghezza = 0.6 – 200 mm

Gage Factor 𝐺𝐹 = 1 + 2 𝜐 + ≅ 2 per estensimetri a lega metallica. Per altri materiali il valore della sensibilità (Gage Factor) può essere anche molto differente (GF=100 per semiconduttori).

La sensibilità è massimizzata nella direzione di misura e minimizzata nella direzione ortogonale

lunghezza supporto

griglia sensibile terminali segni di

riferimento

direzione di misura

Estensimetri singoli (di varie lunghezze)

Esempi di Estensimetri

Estensimetri doppi (direzioni ortogonali)

Rosette estensimetriche

Esempi di Estensimetri

Estensimetri per applicazioni particolari (sensore di pressione)

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La superficie viene preparata, pulita e viene depositata la colla

Applicazione degli Estensimetri

L’estensimetro viene e posizionato e incollato. Si procede quindi con la saldatura dei fili di collegamento e la protezione del tutto.

Applicazione degli Estensimetri

Per l’incollaggio vengono utilizzati adesivi che possono essere:

Adesivi ad azione rapida:

• cianoacrilati:

– polimerizzano in un tempo molto breve – utilizzati per prove di breve durata – utilizzati a temperatura ambiente

Adesivi ad azione lenta(utilizzati per prove di lunga durata):

• resine epossidiche:

– aggiunta di un catalizzatore

– sono termoindurenti (tempo di indurimento funzione della temperatura di utilizzo)

• resine fenoliche:

– utilizzate a temperatura e pressione elevate

Applicazione degli Estensimetri

Si consideri un estensimetro a resistenza elettrica posizionato su un componente di acciaio sollecitato con un carico dis=128 MPa (una barretta 25x25 sottoposta a trazione di 80 kN).

La deformazione attesa è dunquee=610 me.

Se l’estensimetro che misura tale deformazione ha sensibilità GF=2 e resistenza di 120 W si ha:

DR = 0.146 W

Si ha quindi il problema di valutare accuratamente tale variazione (attorno al valore nominale di 120W).

Estensimetri a Resistenza Elettrica

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R₂ V_out

R₄ R₃

R₁ E₀

Ponte di Wheatstone

Il ponte di Wheatstone è un particolare circuito elettrico formato da 4 resistenze.

Se la tensione V_out viene valutata con un voltmetro con impendenza d’ingresso molto elevata R_M>>R_circuito, per questa configurazione si ha:

𝑉 = 𝐸 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝑅 − 𝑅 ⋅ 𝑅 𝑅 + 𝑅 ⋅ 𝑅 + 𝑅

Il ponte è bilanciato, ovveroV = 0seR ⋅ R = R ⋅ R . Partendo da questa condizione si possono eseguire sia misure per azzeramento^(*)che per deflessione.

(*) nel caso di misure per azzeramento la resistenza di misura è molto piccola (galvanometro)

R₂ V_out

R₄ R₃

R₁ E₀

Ponte di Wheatstone

Nel caso degli estensimetri solitamente si utilizza il ponte di Wheatstone con 4 resistenze del medesimo valore nominale R.

Nel caso di piccole variazioni di resistenze si ha:

𝑉 =𝐸

4𝑅⋅ ∆𝑅 − ∆𝑅 − ∆𝑅 + ∆𝑅

Questa relazione illustra come l’utilizzo del ponte di Wheastone porti alcuni vantaggi nel caso di misure effettuate con estensimetri a resistenza elettrica.

R₂=R+DR V_out

R4 R3

R₁=R+DR E0

Ponte di Wheatstone

Analizzando la regola di uscita del ponte si hanno le seguenti proprietà:

𝑉 =𝐸

4𝑅⋅ ∆𝑅 − ∆𝑅 − ∆𝑅 + ∆𝑅 Variazioni di resistenza uguali su lati contigui si elidono.

Siano DR₁=DR₂=DR e DR₃=0 DR₄=0 allora 𝑉 =𝐸

4𝑅⋅ ∆𝑅 − ∆𝑅 − ∆𝑅 + ∆𝑅 =𝐸

4𝑅⋅ ∆𝑅 − ∆𝑅 = 0 Analogamente se DR₁=DR₃=DR e DR₂=0 DR₄=0 allora

𝑉 =𝐸

4𝑅⋅ ∆𝑅 − ∆𝑅 − ∆𝑅 + ∆𝑅 =𝐸

4𝑅⋅ ∆𝑅 − ∆𝑅 = 0

R₂ V_out

R₄=R+DR R₃ R₁=R+DR E0

Ponte di Wheatstone

Oppure si ha che variazioni di resistenza su lati opposti si sommano.

Cioè siano DR₁=DR₄=DR e DR₂=0 DR₃=0 allora

𝑉 =𝐸

4𝑅⋅ ∆𝑅 − ∆𝑅 − ∆𝑅 + ∆𝑅 =𝐸

4𝑅⋅ ∆𝑅 + ∆𝑅 =𝐸 2𝑅∆𝑅 Se invece le variazioni di resistenza su lati opposti sono di segno opposto DR₁=-DR₄=DR e DR₂=0 DR₃=0 si elidono

𝑉 =𝐸

4𝑅⋅ ∆𝑅 − ∆𝑅 − ∆𝑅 + ∆𝑅 =𝐸

4𝑅⋅ ∆𝑅 − ∆𝑅 = 0

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Bilanciamento del Ponte di Wheatstone

Nominalmente le quattro R₁R₂R₃R₄ resistenze hanno il medesimo valore R, tuttavia non saranno esattamente uguali.

Si bilancia dunque il ponte con un apposito circuito di bilanciamento.

Sono presenti dunque tre resistenze di bilanciamento R_B1 R_B2 R_B3 con valori molto più elevati di R.

Regolando opportunamente il valore di R_B1 e R_B2 si ottiene il bilanciamento del ponte.

E₀

R₂

R₁ V_out

R₄ R₃

R_B3

R_B2 R_B1

Misure per azzeramento

Per effettuare misure per azzeramento si opera leggendo con un galvanometro la corrette che circola nella diagonale di misura e secondo la seguente procedura:

R2

I_misura

R₄ R₃

R₁ E₀

R_M

• l’estensimetro è in posizione R₁ non sollecitato;

• azzero il ponte con la procedura di bilanciamento;

• sollecito l’estensimetro e leggo una corrente sulla diagonale di misura;

• modifico una resistenza in posizione R₂in modo da annullare la corrente circolante.

• la variazione di resistenza applicata è pari alla variazione subita dall’estensimetro.

A causa del doppio azzeramento (anche se fosse automatizzato) il metodo si presta solo misure statiche

R₂ V_out

R₄ R₃

R₁ E₀

R_M

Misure per deflessione

Per effettuare misure per deflessione si opera leggendo con un voltmetro la tensione sulla diagonale di misura (l’impedenza di ingresso R_M>>R) e secondo la seguente procedura:

• l’estensimetro è in posizione R₁ non sollecitato;

• azzero il ponte con la procedura di bilanciamento;

• sollecito l’estensimetro e leggo la tensione sulla diagonale di misura;

• poiché la corrente che circola nella diagonale di misura è praticamente nulla si ha:

𝑉 =𝐸

4 ⋅∆𝑅

𝑅 = 𝑘 ⋅ 𝜀 Questo metodo si presta anche a misure dinamiche

Misure per deflessione

Riprendendo l’esempio di un estensimetro (GF=2 – R=120 W) applicato su un pezzo meccanico con una sollecitazione s=128 MPaa cui corrisponde una deformazionee=610me(acciaio) si ha:

DR = 0.146 W

Se il circuito a ponte è alimentato con una tensioneE₀=5 Vallora si avrà:

𝑉 =𝐸 4 ⋅∆𝑅

𝑅 = 1.52 𝑚𝑉

L’uscita del ponte è molto piccola ed è necessario amplificarla.

Poiché la sensibilità complessiva del ponte dipende linearmente da E₀ sarebbe necessario aumentarne il valore, tuttavia questo non è possibile per non surriscaldare l’estensimetro.Valori tipici di E₀sono 1-5 V.

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R₂ V_out

R4 R₃

R₁ E₀

R_M

Collegamento a quarto di ponte

Comunemente il circuito di misura utilizzato per la valutazione della deformazione meccanica e il collegamento a quarto di ponte, ovvero dove solo uno dei quattro lati del ponte è un estensimetro attivo che varia la sua resistenza.

Per questo tipo di collegamento (il più utilizzato per misure di deformazione) si ha:

𝑉 =𝐸

4 ⋅∆𝑅

𝑅 = 𝑘 ⋅ 𝜀

Collegamento a mezzo ponte

In alcuni casi lo stato di sollecitazione del componente da analizzare presenta simmetrie per cui esistono due punti la cui deformazione meccanica è uguale in modulo ma opposta in segno.

Si avrà dunqueDR₁=DReDR₂=-DR

In questi casi si opera concollegamento a mezzo ponte, ovvero due dei quattro lati del ponte sono estensimetri attivi.

Per questo tipo di collegamento si ha:

𝑉 =𝐸

4 ⋅∆𝑅 − ∆𝑅

𝑅 =𝐸

2 ⋅∆𝑅

𝑅 = 𝑘 ⋅ 𝜀

R₂ V_out

R4 R₃

R₁ E₀

R_M

Collegamento a ponte intero

Infine nei casi lo stato di sollecitazione del componente da analizzare presenta simmetrie per cui esistono due zone la cui deformazione meccanica è uguale in modulo ma opposta in segno si possono usare quattro estensimetri con DR₁=DR₄=DR e DR₂=DR₃=-DR

In questi casi si opera concollegamento a ponte intero, ovvero tutte e quattro lati del ponte sono estensimetri attivi.

Per questo tipo di collegamento si ha:

𝑉 =𝐸

4 ⋅∆𝑅 − ∆𝑅 − ∆𝑅 + ∆𝑅

𝑅 = 𝐸 ⋅∆𝑅

𝑅 = 𝑘 ⋅ 𝜀

R₂ V_out

R₄ R₃

R1

E₀

RM

Esempi

Se è necessario misurare la deformazione in un punto e non si hanno altre informazioni sullo stato di deformazione (simmetrie & C.) allora si opera con collegamento a quarto di ponte.

1

F

1 F

2

In altri casi è facile identificare due posizioni per gli estensimetri con sollecitazioni e deformazioni uguali in modulo e opposte in segno. Operando un collegamento a mezzo ponte si raddoppia la sensibilità del circuito di misura.

1

T 2 T

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Esempi

Infine è possibile, analogamente a quanto detto per il collegamento a mezzo ponte, collegare quattro estensimetri in modo da poter operare a ponte intero.

1 F

2

4

3

Questo tipo di collegamento è molto diffuso quando gli estensimetri vengono utilizzati come sensori primari in altri tipi di trasduttori.

1

T

2 T

4

3

Effetto della temperatura

La temperatura influenza il comportamento degli estensimetri per diversi motivi:

• la sensibilità dell’estensimetro (gagefactor) varia al variare della temperatura: 𝐺𝐹 = 𝐺𝐹 𝑇 ;

• la lunghezza della griglia dell’estensimetro varia in funzione della temperatura: ∆𝐿 = 𝐿 ⋅ 𝛼 ∆𝑇;

• la lunghezza della pezzo su cui è incollato l’estensimetro varia in funzione della temperatura: ∆𝐿 = 𝐿 ⋅ 𝛼 ∆𝑇;

• varia la resistenza elettrica dell’estensimetro (cambia la resistività)

Quindi tutte le volte che effettuiamo misure di deformazioni in presenza di variazioni di temperatura è necessario prestare particolare attenzione!

Effetto della temperatura

Coefficiente di temperatura

Si definisce il coefficiente di temperatura del fattore di taratura la variazione del GF in funzione della temperatura:

𝐺𝐹 𝑇 = 𝐺𝐹 ⋅ 1 + 𝛽 ⋅ Δ𝑇 Un valore tipico di b_GF= 80-100 ppm/K

Per l’estensimetro nasce dunque una variazione di resistenza Δ𝑅

𝑅 = 𝛽 ⋅ Δ𝑇

Effetto della temperatura

Allungamento relativo

Per effetto della temperatura sia l’estensimetro che il pezzo su cui questo è applicato si deformano termicamente rispettivamente di

∆𝐿 = 𝐿 ⋅ 𝛼 ∆𝑇

L’estensimetro dunque rileva solo la variazione di lunghezza differenza delle due e quindi

Δ𝐿 = 𝐿 ⋅ 𝛼 − 𝛼 ⋅ ∆𝑇

Che si traduce in una variazione di resistenza per l’estensimetro Δ𝑅

𝑅 = 𝐺𝐹 ⋅ 𝛼 − 𝛼 ⋅ Δ𝑇

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Effetto della temperatura

Estensimetri autocompensanti

Considerando le due variazioni di resistenza Δ𝑅

𝑅 = 𝛽 ⋅ Δ𝑇 Δ𝑅

𝑅 = 𝐺𝐹 ⋅ 𝛼 − 𝛼 ⋅ Δ𝑇 Si ha complessivamente

Δ𝑅

𝑅 = 𝐺𝐹 ⋅ 𝛼 − 𝛼 +𝛽

𝐺𝐹 ⋅ Δ𝑇

Gliestensimetri autocompensantisono realizzati per annullare gli effetti della temperatura (in un range limitato) combinando i tre effetti.

Questi estensimetri possono essere usati in questo modo solo se applicati su pezzi realizzati con il materiale che possono compensare (solo acciaio, solo alluminio, ecc.).

Effetto della temperatura

Esempio

Consideriamo un estensimetro a resistenza elettrica con le seguenti caratteristiche:

𝛽 = 20 𝑝𝑝𝑚 𝐾 𝛼 = 15 𝑝𝑝𝑚

𝐺𝐹 = 2.055𝐾

L’estensimetro viene incollato su acciaio (con 𝛼 = 12 ) e rispetto alla temperatura di taratura la misura avviene ad una temperatura differente con Δ𝑇 = 5 𝐾

Effetto della temperatura

Esempio (continua)

L’effetto della temperaturasulla misura sarà:

= 69 10 e quindi

𝜀 = 33.6 10 = 33.6 𝜇𝑚 𝑚

Se l’estensimetro è applicato ad un pezzo realizzato in acciaio (E=210 GPa) si ha che:

𝜎 = 𝐸 𝜀 = 201 10 33.6 10 = 7.06 10 𝑃𝑎 𝜎 = 7.06 𝑀𝑃𝑎

Effetto della temperatura

Un modo alternativo per limitare e/o compensare gli effetti della temperatura sfruttano le proprietà del ponte di Wheatstone e sono basati sull’utilizzo di un estensimetro compensatore.

sollecitazione meccanica

estensimetro attivo

estensimetro compensatore (dummy gage) stesso materiale

stessa temperatura

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Schemi di collegamento

Anche lo schema di collegamento degli estensimetri influenza l’eventuale compensazione della temperatura, infatti:

compensatore

R_L R_L

CAVO A 3 FILI + SCHERMATURA

compensatore

La resistenza dei cavi non è compensata e nemmeno gli effetti di temperatura su di essi.

Collegamento a 3 fili.

In questo modo è possibile compensare la resistenza dei cavi di collegamento

Schemi di collegamento

Se è necessario collegare un sistema di misura a ponte intero si deve procedere con un collegamento a 4 fili.

Questo schema di collegamento è possibile solo se la lunghezza dei cavi è ridotta.

Hai capi della diagonale di alimentazione si ha una resistenza equivalente pari a R e nel circuito circola una corrente 𝐼 =

Se i cavi di collegamento sono lunghi si ha una caduta di tensione su ciascun cavo pari a 𝑉 = 𝑅 ⋅ 𝐼 e ciò comporta una riduzione della tensione di alimentazione effettiva del ponte.

Alimentazione V+

Alimentazione V- Lettura

S+

Lettura S-

Schemi di collegamento

Nel caso il cui i cavi di collegamento siano lunghi si opera con un collegamento a 6 fili. Due fili (indicati in rosso) alimentano il ponte.

Hai capi della diagonale di alimentazione si ha una resistenza equivalente pari a R e nel circuito circola una corrente 𝐼 = e dunque l’effettiva alimentazione del ponte vale 𝐸 = 𝐸 − Δ𝑉 Questa viene valutata dalla lettura dei due cavi supplementari, indicati

in viola, sui quali non si ha caduta di tensione essendo la corrente che circola in essi nulla (impedenza del sistema di misura molto grande).

R_M>>R

Alimentazione V+

Alimentazione V- Lettura

S+

Lettura S-

Lettura Alimentazione A+

Lettura Alimentazione A-

Stato di Sollecitazione Piano

Se lo stato di sollecitazione non è semplice (unidirezionale) si ha che su una superficie dell’oggetto di cui si vuole conoscere il livello di deformazione/sollecitazione si hanno contemporaneamente deformazioni in diverse direzioni (stato di sollecitazione piano)

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Stato di Sollecitazione Piano

Comunemente si utilizzano le rosette estensimetriche per effettuare contemporaneamente più misure di deformazione in direzioni diverse per risalire poi ai valori delle sollecitazioni principali e della loro direzione

Stato di Sollecitazione Piano

Esistono passaggi matematici (consultare testi specifici) che permettono attraverso tre misure indipendenti di deformazione di determinare gli assi principali di stress e deformazione e l'entità dello stress e della deformazione.