6. Esercizi di Geometria
(Semestre Invernale 2018) Dr. Matteo Penegini
Esercizio 1. Siano X e Y due spazi topologici omeomorfi. Si dimostri che X `e Tk se e solo se Y `e Tk per k = 0, 1, 2, 3, 4.
Esercizio 2. [Manetti Ex. 5.9] Mostrare che, al variare di A tra i sottoinsiemi di [0, 1] formati da due punti distinti, lo spazio quoziente [0, 1]/A pu`o assumere tre diverse classi di omeomorfismo.
Esercizio 3. [Manetti Ex. 5.8]
Sullo spazio topologico R, dotato della topologia euclidea, consideriamo la re- lazione di equivalenza x ∼ y se x = y oppure se |x| = |y| > 1. Provare che il quoziente topologico R/ ∼ non `e di Hausdorff e che ogni suo punto possiede un intorno aperto omeomorfo all’intervallo (−1, 1).
Esercizio 4. Si consideri il sottospazio Q ⊂ R formato da tutti i numeri ra- zionali. Descrivere le componenti connesse di Q e dedurne che, in generale, le componenti connesse in uno spazio topologico non sono aperte.
Esercizio 5. [Manetti Ex. 4.15]
Dimostrare che i due sottospazi di R2
A = {(x, y) ∈ R2|y = 0} ∪ {(x, y) ∈ R2|x2+ y2 = 1 e y ≥ 0}, R = {(x, y) ∈ R2|y = 0} ∪ {(x, y) ∈ R2|x2+ (y − 1)2 = 1}, non sono omeomorfi.
Esercizio 6. Sia {An|n ∈ Z} una famiglia numerabile di sottospazi connessi di uno spazio topologico X tali che An∩ An+1 6= ∅ per ogni n. Dimostrare che A =S
n∈ZAn `e connesso.
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