6. Esercizi di Geometria 1
(Semestre Invernale 2018/2019)
Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. [Manetti Ex. 5.9] Mostrare che, al variare di A tra i sottoinsiemi di [0, 1] formati da due punti distinti, lo spazio quoziente [0, 1]/A pu`o assumere tre diverse classi di omeomorfismo.
Esercizio 2. [Manetti Ex. 4.15]
Dimostrare che i due sottospazi di R2
A = {(x, y) ∈ R2|y = 0} ∪ {(x, y) ∈ R2|x2+ y2 = 1 e y ≥ 0}, R = {(x, y) ∈ R2|y = 0} ∪ {(x, y) ∈ R2|x2+ (y − 1)2 = 1}, non sono omeomorfi.
Esercizio 3. Si consideri il sottospazio Q ⊂ R formato da tutti i numeri ra- zionali. Descrivere le componenti connesse di Q e dedurne che, in generale, le componenti connesse in uno spazio topologico non sono aperte.
Esercizio 4. Sia X = S1× R, dotato della topologia prodotto delle topologie euclidee. Se possibile, definire su X delle relazioni di equivalenza ∼1, . . . ∼4 tali che
(1) X/ ∼1 sia connesso.
(2) X/ ∼2 non sia connesso.
(3) X/ ∼3 sia T2. (4) X/ ∼4 non sia T2.
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