Moto in un campo di forze centrali

Moto in un campo di forze centrali

1. Moto in un campo di forze centrali

Planarità del moto

In un campo di forze centrali avremo sempre:

( )

^{|| ! = r"F = 0 ! L = cost.}

dt L r d

r

F ! ! ! !

!

! !

e quindi il moto è piano.

Si tratta di una delle caratteristiche principali dei campi di forze centrali. Più precisamente, in un campo di forze centrali, il momento angolare rispetto al centro di forza O si conserva.

Nota bene: non è vera, in generale, l’implicazione inversa. Se infatti il momento angolare è costante, avremo certamente che il momento della forza risultante si annulla, ma ciò può corrispondere a due situazioni differenti:

a) ^F!

( )

^{r! ||r! !} il punto materiale P si muove effettivamente in un campo di forze centrali di centro O.

b) il punto materiale P non è soggetto ad alcuna interazione e quindi si muove di moto rettilineo uniforme.

Energia potenziale centrifuga

L’energia di un punto materiale P di massa m che si muove con velocità scalare v in un campo di forze centrali e si trova a distanza r dal centro delle forze: E = E_p

( )

r ⁺¹

2m v²

Poiché siamo in un campo di forze centrali, il moto è piano (il momento angolare si conserva, ed in particolare la sua direzione resta costante); scriviamo allora la velocità vettoriale di P in un sistema di coordinate polari nel piano del moto: ! _!

dt u rd dtu

v! = dr ˆ +_r ˆ e dunque il quadrato della velocità scalare vale

2 2

2 2

2

2 !

"

$ #

%

&

! +

"

$ #

%

&

= +

= '

= dt

r d dt v dr

v v v

v _r (

(

!

!

Sostituendo questa espressione in quella dell’energia otteniamo:

E = E_p

( )

r ⁺¹ 2m dr

dt

!

"

# $

%&

2

+1

2m r² d' dt

!

"

# $

%&

2

Consideriamo, ancora, il momento angolare del punto materiale rispetto al centro delle forze:

(

r r

)

r uz

dt r d m u

u v r m u

v r u v r m v r m

L ˆ ˆ ˆ ˆ ² ! ˆ

!

!

!

! = " =

"

+

"

=

"

= ! ! ! !

!

e quindi l’ultimo termine nell’espressione dell’energia può essere scritto in termini di modulo del momento angolare, e prende il nome di energia potenziale centrifuga del punto materiale P nel campo di forze centrali: ² ₂ ^(centr)

2 2

2 2

1

Ep

r m

L dt

r d

m " = !

#

% $

&

' (

Il suo effetto è lo stesso che avrebbe una forza repulsiva (centrifuga, appunto) apparente (in un sistema non inerziale). Se infatti scegliamo un sistema di riferimento con l’asse z parallelo all’asse di rotazione di P e che ruota con la stessa velocità angolare (istantanea) di P, in tale sistema di riferimento abbiamo effettivamente una forza apparente centrifuga, e la sua energia potenziale ha proprio l’espressione introdotta sopra, e il moto di P, in questo sistema di riferimento, diventa monodimensionale, diretto lungo l’asse r. Per dimostrare l’asserto, calcoliamo l’energia potenziale della forza centrifuga:

( )

^r

r E m dr L

r m u L

r m u L

r m

F _p

r r

r r

(centr) 2

2 3

2 3

2 2 centr

ˆ 2

ˆ = ! = = =

=

"

#

#

L $

! %

Energia potenziale efficace

Di conseguenza definiamo un’energia potenziale efficace del campo di forze centrale come la somma dell’energia potenziale della forza del campo e dell’energia potenziale centrifuga:

E_p^{(eff )} ! E_p+ E_p^(centr) = E_p

( )

r ^{+ L}

2

2m r²

L’energia potenziale efficace rappresenta l’energia potenziale totale del punto materiale nel sistema non inerziale sopra definito.

In un campo di forze centrali attrattivo, l’energia potenziale del campo è sempre negativa, (come per il campo gravitazionale); l’energia potenziale efficace, invece, può essere negativa, positiva o nulla a seconda che predomini il termine dovuto alla forza del campo o il termine centrifugo (che è sempre positivo), o infine i due termini si bilancino esattamente.

Le condizioni iniziali del moto stabiliscono il valore del momento angolare, quindi l’andamento dell’energia potenziale efficace al variare della distanza r, e l’energia totale del punto materiale P, che si conserva durante il moto;

Il tipo di traiettoria che si ottiene dipende da queste due condizioni.

2. Caratteristiche del moto in un campo di tipo gravitazionale

Consideriamo ora il caso di un campo di forze centrali attrattivo la cui energia potenziale dipenda dall’inverso della distanza dal centro di forze, come nel caso del campo gravitazionale percepito da una massa m in presenza di una massa M >> m, o come nel caso del campo elettrostatico percepito da una particella carica leggera in presenza di una seconda particella di carica opposta molto più pesante: E_p

( )

r ^{= !k}

r . L’energia potenziale efficace sarà dunque

E_p^{(eff )}

( )

r ^{= !k} r + L²

2m r²

Osserviamo che l’energia potenziale efficace sarà positiva per valori bassi di r, poiché in questo caso predomina il contributo centrifugo, inversamente proporzionale al quadrato di r, e negativa per valori alti di r, dove predomina il contributo attrattivo, inversamente proporzionale ad r (per r"! tenderà a zero, poiché entrambi i contributi tendono ad annullarsi) (vedi figura).

Il valore limite che separa la zona a valori positivi da quella a valori negativi è: r_z = L²

2km. Nella zona a valori negativi è presente il punto di minima energia potenziale efficace, in corrispondenza della distanza

doppia di quella per cui l’energia si annulla: r_min = L²

km = 2rz. Il minimo di energia potenziale efficace vale: E_p,min^{(eff )} = !k²m

2L² .

Caratteristiche del moto in un campo attrattivo di tipo gravitazionale

Applichiamo quando ricavato in precedenza per individuare le principali caratteristiche del moto. Le condizioni iniziali stabiliscono il momento angolare L!

e l’energia totale E, che si conservano; la direzione di L!

stabilisce il piano del moto, mentre dal suo modulo dipende l’entità dell’energia potenziale centrifuga, e quindi i valori r , _z r ed _min E⁽_p^eff_,min⁾ . Possiamo fare le seguenti osservazioni:

Oss.1 Poiché risulta E = 1 2m dr

dt

!

"

# $

%&

2

+ E_p^{(eff )}

( )

r ^{' E}p (eff )

( )

r , avremo anzitutto che, fissato il

valore di L, sarà certamente E ! E⁽_p^eff_,min⁾ , essendo sempre 1 2m dr

dt

!

"

# $

%&

2

una quantità positiva.

L’uguaglianza, poi, può valere solo nel caso in cui la velocità radiale sia nulla (in modo che l’energia totale coincida con l’energia potenziale efficace), ed al tempo stesso la distanza dal centro delle forze corrisponda proprio al minimo di energia potenziale efficace. Inoltre:

rz

O rmin r

rper

raf

) (

min , eff

Ep

E1

E2

r0

( )

^r

E_p

( )

^r

E_p^(centr)

( )

^r

E^(eff)_p

distanza dal centro delle forze varierà tra un valore minimo ed un valore massimo (vedi figura); la traiettoria, pertanto è una curva chiusa, che si dimostra essere una ellisse.

Il perielio e l’afelio si trovano alle distanze rper,af tali che sia:

E_p^{(eff )}

(

r_per,af

)

^{= !}_r ^k

per,af

+ L²

2m r_per,af² = ! E1 => E₁ 2m r_per,af² ! 2kmrper,af + L² = 0 =>

=> r_per = k

2 E₁ ! k 2E₁

"

#$ %

&

'

2

! L²

2m E₁ ; r_af = k

2 E₁ + k 2E₁

"

#$ %

&

'

2

! L² 2m E₁ con: E_p,min^{(eff )} = !k²m

2L² " E1 < 0

Se, in particolare, l’energia totale (negativa) coincide con l’energia potenziale efficace minima, la traiettoria è una circonferenza, ed infatti le distanze corrispondenti al perielio e all’afelio vanno a coincidere perché la radice si annulla, ed entrambe valgono proprio r . _min Oss.3 Se l’energia totale è positiva

(

_{E = E2 > 0}

)

, il punto materiale P è libero di sfuggire alle forze del campo (vedi figura), la traiettoria è aperta, e si dimostra essere un’iperbole; il massimo avvicinamento consentito al centro delle forze si determina imponendo velocità radiale nulla e quindi uguaglianza fra l’energia potenziale efficace e l’energia totale. Si ottiene il valore:

r₀ = k 2E₂

!

"

# $

%&

2

+ L²

2mE₂ ' k

2E₂ con E₂ > 0

(l’altra soluzione dell’equazione va scartata perché risulta negativa)

Oss.4 Se infine l’energia totale della particella è nulla, avremo che essa possiede l’energia minima necessaria per sfuggire al campo, e la sua traiettoria si dimostra essere una parabola.

Il punto di massimo avvicinamento è a distanza r , ove l’energia potenziale efficace si _z annulla, e quindi coincide con l’energia totale.

Velocità di fuga

La velocità minima che un corpo deve possedere sul suolo di un pianeta per poter sfuggire al campo gravitazionale del pianeta prende il nome di velocità di fuga.

Per calcolarla, in base a quanto visto sulla forma delle orbite, basta imporre che l’energia totale del corpo sia nulla.

Infatti, all’istante iniziale (corpo sulla superficie del pianeta), avremo:

2 2

,

, 2

1 2

; 1 _i

T T i

i i

c T

T i

p mv

R m E M

v m R E

m

E = !# M = " = !# +

All’istante finale (corpo all’infinito), avremo invece:

E_{p, f} = 0 ; Ec, f = 0 ! Ef = 0

Poichè il sistema di forze è conservativo, dovrà essere ! "M_Tm R_T +1

2m v_i² = Ei = Ef = 0 , equazione che fornisce la soluzione: v_i = vfuga = 2!M_T

R_T circa uguale ad 11.2 km/s per la Terra.

Oss. La velocità di fuga rappresenta la minima velocità iniziale che il punto materiale deve avere al suolo per poter sfuggire all’attrazione gravitazionale del pianeta.

Oss. La velocità di fuga è la stessa in tutte le direzioni, essendo stata ricavata da un’equazione scalare.

Oss. Notiamo infine che, per come è stata ricavata, la velocità di fuga è misurata rispetto ad un sistema di riferimento assoluto, fermo rispetto al pianeta, che invece è in rotazione su se stesso. Quindi la velocità di lancio rispetto alla superficie (SdR relativo) necessaria per la fuga è inferiore alla velocità di fuga sopra calcolata, perchè un corpo fermo sulla superficie del pianeta possiede già una velocità ben maggiore di zero nel SdR assoluto (fermo rispetto al pianeta), pari alla velocità di trascinamento del SdR relativo, che ha modulo !RTcos(") , direzione tangente al parallelo locale di latitudine ! e verso da ovest ad est. Poichè tale velocità di trascinamento è massima all’equatore ( ! = 0), pari a circa 0.465 km/s per la Terra, è più conveniente effettuare lanci spaziali da regioni equatoriali in direzione est (chiaramente lanciare in direzione ovest non conviene se si vuole raggiungere la velocità di fuga!).