1
Consideriamo la seguente equazione logaritmica
log (x−2)+log 5=log x
(I) Determinare le condizioni di esistenza.
(II) Risolvere l'equazione.
Per il primo logaritmo deve essere x>2 , mentre per il secondo basta che x>0 . Dunque la condizione di esistenza per la disequazione è che deve essere x>2 .
Per risolvere la disequazione utilizzo le proprietà dei logaritmi:
log 5( x−2)=log x
Rispettando le condizioni di esistenza è equivalente all'equazione:
5( x−2)= x
Che risolviamo facilmente:
5 x−10= x
ovvero
4 x=10
ovvero
x= 5
2
che rispetta la condizione di esistenza.2
Consideriamo la seguente equazione logaritmica
log
2x−2 log x=−1
(I) Determinare le condizioni di esistenza.
(II) Risolvere l'equazione.
I logaritmi possono essere calcolati se
x>0
e quindi questa è la condizione di esistenza.Si osservi che la soluzione dell'equazione è facilmente intuibile: infatti se fosse
log x=1
l'uguaglianza sarebbe soddisfatta. Dunque
x=10
è la soluzione.Risposta alternativa:
Però non sempre le intuizioni arrivano facilmente, specialmente in situazioni di stress come un compito in classe. Possiamo comunque fare a meno dell'intuizione utilizzando questa tattica:
risolviamo prima l'equazione nell'incognita
y=log x
:y
2−2 y=−1
è un'equazione di secondo grado.Una volta messa in forma standard
y
2−2 y+1=0
posso risolverla con la formula risolutiva
y= 2± √ 4−4
2 =1
.Il discriminante è nullo, quindi soltanto il valore
y=1
risolve l'equazione.A questo punto mi ricordo che
y=log x
e cerco di risolvere l'equazionelog x=1
che hacome soluzione
x=10
.Variante della risposta alternativa:
Una volta messa in forma standard y2
−2 y+1=0
mi accorgo che il trinomio è lo sviluppo del quadrato di un binomio
( y−1)
2=0
quindi ho soltanto la soluzione
y=1
.Come sopra, da
log x=1
deduco chex=10
.3
Consideriamo la seguente tabella:
Giorni di assenza per malattia (novembre 2018) 0 1 2 3 4 5
Numero dipendenti 9 4 7 5 4 3
• Aggiungere le frequenze relative;
• Dare una rappresentazione grafica con un istogramma;
• calcolare la media aritmetica dei giorni di malattia per dipendente;
• determinare moda e mediana.
Per calcolare le frequenze relative mi occorre prima di tutto il totale degli operai:
9+4+7+5+4+3=32
Le frequenze relative da aggiungere sono dunque
9 32 ; 4
32 ; 7 32 ; 5
32 ; 4 32 ; 3
32
La tabella diventa:
Questo che segue è l'istogramma realizzato con il foglio di calcolo di OpenOffice.org
Per calcolare la media aritmetica dei giorni di malattia per dipendente ci occorre il totale dei giorni
di malattia:
1×4+2×7+3×5+4×4+5×3=64
.Dunque la media aritmetica dei giorni di malattia per dipendente è
64 32 =2
.La moda è il dato più ricorrente: dalla tabella si evince facilmente che il dato più ricorrente è “0 giorni di malattia” con frequenza assoluta 9.
La mediana è il dato centrale, in questo caso la media aritmetica dei due dati centrali. Si osservi che facendo una classifica degli operai per giorni di malattia, ci rendiamo conto come sia il 16-simo che il 17-simo stiano nella fascia con “2 giorni di malattia”. Dunque la mediana è 2.
Giorni 0 1 2 3 4 5 TOTALI
dipendenti 9 4 7 5 4 3 32
freq.rel. 0,28125 0,125 0,21875 0,15625 0,125 0,09375 1
freq.rel.% 28,125 12,5 21,875 15,625 12,5 9,375 100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
4
Completa la tabella relativa all’età dei 300 abitanti di un piccolo paese. Rappresenta i dati con un areogramma.
Fascia di età Numero di persone Frequenza relativa
0-18 54 ?
18-30 84 ?
30-50 90 ?
50-70 48 ?
70-100 24 ?
Per calcolare le frequenze relative mi occorre il totale degli abitanti:
54+84+90+48+24=300
Dunque le frequenze relative richieste sono:
54 300
; 84300
; 90300
; 48300
; 24300
. La tabella completa è la seguente:Moltiplicando per 100 ottengo le frequenze relative in forma percentuale. Mi sono utili per
realizzare l'areogramma, noto anche come “grafico a torta”. Quello che segue è stato realizzato con il foglio di calcolo di OpenOffice.org
Fascia di età Numero di persone Frequenza relativa %
0-18 54 0,18 18
18-30 84 0,28 28
30-50 90 0,3 30
50-70 48 0,16 16
70-100 24 0,08 8
TOTALE 300 1 100
0-18 18-30 30-50 50-70 70-100
5
Il gestore di un cinema d'essai conta i biglietti venduti nell'ultima settimana: lunedì 52; martedì 48; mercoledì 123; giovedì 37; venerdì 62; sabato 154; domenica 123. (I) Compilare una tabella che riepiloga la distribuzione delle presenze nei giorni della settimana indicando le frequenze relative e le frequenze cumulate.
(II) Rappresentare graficamente i dati e (III) calcolare la media di spettatori al giorno.
Mi occorre il totale dei biglietti staccati in tutta la settimana:
52+48+123+37+62+154+123=599
Le frequenze relative giorno per giorno sono
52 599
; 48599
; 123599
; 37599
; 62599
; 154599
; 123599
. Le frequenze cumulate si ottengono sommando alla frequenza assoluta di un certo giorno quelle dei giorni precedenti. Dunque la tabella richiesta è la seguente:Potremmo rappresentare i dati con un istogramma come questo, ottenuto col il foglio elettronico di OpenOffice.org
Per calcolare la media degli spettatori al giorno basta dividere il totale per 7:
599
7 ≈85
.Dato che si parla di spettatori, non divisibili, abbiamo approssimato per troncamento.
Giorno Biglietti Freq.rel. Freq rel.% Freq cum.
lunedì 52 0,0868 8,68 52
martedì 48 0,0801 8,01 100
mercoledì 123 0,2053 20,53 223
giovedì 37 0,0618 6,18 260
venerdì 62 0,1035 10,35 322
sabato 154 0,2571 25,71 476
domenica 123 0,2053 20,53 599
TOTALE 599 1 100
lunedì
martedì
mercoledì giovedì
venerdì
sabato
domenica 0
40 80 120 160
