determinarne l’integrale generale e risolvere il corrispondente problema di Cauchy con dato y(1) = 1, y 0 (1) = 0, y 00 (1) = 0.

FOGLIO DI ESERCIZI 3 1) Data l’equazione nonlineare

e ^y

^+3y

⁺⁴ = 1,

determinarne l’integrale generale e risolvere il corrispondente problema di Cauchy con dato y(1) = 1, y ⁰ (1) = 0, y ⁰⁰ (1) = 0.

Supponendo di conoscere una soluzione y di e ^y

^+3y

⁺⁴ = t,

scrivere l’integrale generale di tale equazione (in funzione di y). Se possibile, calcolare esplicitamente una siffatta soluzione y.

2) Determinare tutte le coppie di numeri reali c, d ∈ R tali che le soluzioni

di 

 



 



y ⁰⁰⁰ + 3y ⁰⁰ = 0, y ⁰⁰ (0) = 9c, y ⁰ (0) = −3c, y(0) = c,

e

 



y ⁰⁰ + 2y ⁰ − 3y = 0, y ⁰ (0) = −3d, y(0) = d,

coincidano.

3) Sia ˜ y la soluzione del problema di Cauchy

 



y ⁰ = − 2xy ³ 3x ² y ² + e ^y+3 , y(1) = −1.

Dire se esiste x ∈ R tale che ˜ y(x) = 1, ed eventualmente determinare tali x.

4) Determinare l’integrale generale dell’equazione (y ⁰⁰ + 6y ⁰ + 10y − sin x)(y ⁰ + y ³ ) = 0.

5) Determinare le eventuali soluzioni di µ

y ⁰ − x ³ y

¶ ₂

+ (y ⁰⁰⁰ − 4y ⁰⁰ ) ² = 0.

1

6) Determinare l’integrale generale di y ⁰ = t

y µ³ y

t

´ ₄ + ³y

t

´ ₂ + 1

¶ ,

e determinare la soluzione del problema di Cauchy con dato (t ₀ , x ₀ ) = (1, 1).

2

TRACCE DI SOLUZIONI.

1) ` E evidente che y `e soluzione della prima equazione data se soltanto se

`e soluzione dell’equazione lineare non omogenea y ⁰⁰⁰ + 3y ⁰ + 4 = 0,

ed `e soluzione della seconda se e soltanto se `e soluzione di

y ⁰⁰⁰ + 3y ⁰ + 4 = log t, t > 0. (1) In particolare, se I `e l’integrale generale di y <sup>000</sup> + 3y <sup>0</sup> = 0 (per t > 0), che `e facilmente calcolabile, allora l’integrale generale di (1) `e y + I. Per il calcolo esplicito di y applicare i metodi noti per determinare soluzioni particolari dell’equazioni lineari non omogenee (non ho controllato la fattibilit`a degli integrali...)

2) Le soluzioni del primo sistema e quelle del secondo sistema sono del tipo, rispettivamente

y(t) = α ₁ + α ₂ t + α ₃ e ^−3t , y(t) = β ₁ e ^t + β ₂ e ^−3t .

E evidente che esse coincidono se e soltanto se α ` ₁ = α ₂ = β ₁ = 0 e α ₃ = β ₂ . Sia quindi γ il valore comune α 3 = β 2 . Ci resta solo da verificare per quali c, d ∈ R esiste γ ∈ R tale che la funzione y(t) = γe ^−3t sia soluzione di entrambi i sistemi. Dobbiamo quindi verificare le condizioni iniziali:

y(0) = γ, y ⁰ (0) = −3γ, y ⁰⁰ (0) = 9γ.

Pertanto la risposta `e: tutte le coppie di numeri reali (c, d) con c = d (che risultano anche essere uguali a γ, ovviamente).

3) ` E un’equazione differenziale esatta, con un potenziale dato da ϕ(x, y) = x ² y ³ + e ^y+3 .

Non `e immediato come invertire la realzione ϕ ≡ c per ottenere y in funzione di x. Per`o, quando x = 1 e y = −1, si ha ϕ(1, −1) = −1 + e ² . Quindi la soluzione ˜ y del nostro problema di Cauchy `e tale che ϕ(x, ˜ y(x)) = −1+e ² per ogni x. Pertanto, per ciascuno degli x richiesti, deve essere ϕ(x, 1) = −1+e ² ,

3

ma questo `e impossibile perch´e ϕ(x, 1) = x ² + e ⁴ > −1 + e ² . Quindi non esiste alcun x del tipo di quelli richiesti (˜ y non raggiunge mai il valore 1).

4) Poich´e il prodotto di due fattori `e nullo se e soltanto se almeno uno dei due fattori `e nullo, l’integrale generale richiesto `e dato dall’unione degli integrali generali delle equazioni

y ⁰⁰ + 6y ⁰ + 10y = sin x, y ⁰ + y ³ = 0.

5) Poich´e la somma di due addendi non negativi `e nulla se soltanto se ambedue gli addendi sono nulli, l’integrale generale richiesto `e dato dall’inter- sezione (eventualmente vuota) degli integrali generali delle equazioni

y ⁰ − x ²

y = 0, y ⁰⁰⁰ − 4y ⁰⁰ = 0.

6) ` E un’equazione omogenea.

4