concentrazione di portatori intrinseci

PORTATORI ALL’EQUILIBRIO NEL SILICIO INTRINSECO.

Le proprietà elettriche dei semiconduttori dipendono in modo sostanziale dalla concentrazione di cariche mobili negative e positive presenti, dette portatori di corrente o semplicemente portatori.

In un semiconduttore i portatori sono sia gli “elettroni presenti nella banda di conduzione”, sia i buchi o lacune della banda di valenza;

♦ gli elettroni di conduzione si addensano verso i livelli inferiori della banda di conduzione;

♦ i buchi o lacune della banda di valenza si addensano verso i livelli superiori della banda di valenza.

In un semiconduttore in condizioni di equilibrio termico, la distribuzione di elettroni e lacune lungo l’asse delle energie è determinata dall’energia termica, quindi dalla temperatura del solido e da nessun’altra fonte esterna di energia.

SEMICONDUTTORE INTRINSECO: dicesi intrinseco un semiconduttore puro nel quale la generazione di un elettrone di conduzione implica la rottura di un legame covalente tra atomi del semiconduttore e quindi la creazione di un buco di valenza o lacuna.

In un semiconduttore intrinseco la concentrazione di elettroni di conduzione eguaglia la concentrazione di buchi di valenza detti lacune:

n = p =n

ove

n

concentrazione di portatori intrinseci

La concentrazione d’equilibrio ni è il risultato della compensazione di due meccanismi competitivi:

♦ uno di generazione di coppie elettrone di conduzione − buco di valenza, tanto più rapido quanto più elevata è la temperatura e l’energia termica fornita dal cristallo per attivare il processo di salto di un elettrone dalla banda di valenza a quella di conduzione;

♦ l’altro è un meccanismo di ricombinazione tanto più probabile quanto maggiore è il numero di elettroni di conduzione e buchi di valenza.

In condizione di equilibrio le velocità dei due processi sono uguali: tante coppie si creano nell’unità di tempo quante se ne ricombinano.

Se aumenta la temperatura, cresce il ritmo del processo di generazione e l’equilibrio si ristabilisce quando il numero di coppie è aumentato tanto da incrementare la probabilità di ricombinazione fino a compensare quella di generazione. Ci si aspetta perciò che la concentrazione di portatori intrinseci aumenti sensibilmente con la temperatura.

Il prodotto n·p all’equilibrio dipende solamente dalla temperatura T, espressa in gradi Kelvin, e dall’ampiezza EG del “gap”, espressa in eV (elettronvolt), fra la banda di valenza e la banda di conduzione ed è perciò una quantità caratteristica di ogni semiconduttore.

Riferendoci ad un semiconduttore intrinseco, si ottiene:

n·p =n

Questa relazione, di fondamentale importanza in tutta la teoria dei semiconduttori, definisce la condizione di equilibrio di un semiconduttore.

Il valore della concentrazione di portatori intrinseci alla temperatura ambiente è data da:

ni = 1,45·10¹⁰ cm^{− 3} per il silicio ( Si ) ni = 2,40·10¹³ cm^{− 3} per il germanio ( Ge )

Dalla relazione di equilibrio deriva che per il silicio, alla temperatura ambiente (27°C = 300°K), vale la posizione seguente:

n·p =n

= 2,1·10

cm

PORTATORI ALL’EQUILIBRIO NEL SILICIO DROGATO.

SEMICONDUTTORE ESTRINSECO: dicesi drogato o estrinseco un semiconduttore contenente certi tipi d’impurezze che ne alterano la struttura elettronica. In un campione di silicio o germanio

contaminato con impurezze pentavalenti come arsenico, fosforo o antimonio, si crea la situazione descritta in figura 1:

¾ l’atomo pentavalente sostituisce un atomo del semiconduttore in modo tale che uno dei cinque elettroni di valenza dell’impurezza, non trovandosi coinvolto in alcun legame covalente, resta pressoché libero di muoversi.

Questo corrisponde, in uno schema a bande, alla formazione di un livello localizzato nel “gap” e prossimo alla banda di conduzione. È sufficiente una piccola quantità di Energia E_j, detta energia di ionizzazione, per rompere il debole legame che lega l’elettrone in eccesso, al suo atomo ed eccitarlo dal livello localizzato originale, alla banda di conduzione.

Impurezze pentavalenti si chiamano donatori ed i livelli loro associati si chiamano livelli donatori.

In un campione di silicio o germanio contaminato con impurezze trivalenti come boro, alluminio o gallio, si crea invece la situazione descritta in figura 2:

¾ attorno all’atomo di impurità che ha sostituito l’atomo di semiconduttore, si forma un buco in eccesso (lacuna) o un elettrone in difetto. Tale buco, o lacuna, in eccesso può venire sostituito da un elettrone ed allontanato dalla sua posizione iniziale, partecipando alla conduzione.

Il fenomeno è perfettamente analogo a quello sopra descritto per i donatori; le impurezze trivalenti si dicono accettori e la loro presenza comporta la formazione di livelli accettori localizzati nel “gap” in prossimità della banda di valenza.

Un semiconduttore drogato con atomi donatori si dice di tipo n, poiché le impurità offrono un contributo di cariche negative alla conduzione; viceversa un semiconduttore drogato con atomi accettori è detto di tipo p,

L’energia di ionizzazione degli atomi trivalenti e pentavalenti nel silicio è così bassa che già a 300°K l’energia termica reticolare è sufficiente ad operare una quasi totale ionizzazione delle impurità. Si assumerà pertanto, d’ora in poi, che i droganti accettori e donatori siano, in condizioni normali, totalmente ionizzati alla temperatura ambiente.

Nel caso di completa ionizzazione dunque N

donatori per cm

cedono N

elettroni di conduzione per cm

(n = N

), mentre N

accettori per cm

cedono N

buchi o

lacune per cm

(p = N

).

Se la concentrazione di droganti è molto elevata, tipicamente maggiore di 10

− 10

cm

, allora la condizione di completa ionizzazione non è verificata alla

temperatura ambiente, ed il semiconduttore si dice degenere.

EC

EV

Neutri ionizzati

Banda di valenza Banda di conduzione

Ej

Banda di valenza EC

Neutri ionizzati EV

Banda di conduzione

Ej

Figura 1. Livelli donatori ionizzati e neutri Figura 2. Livelli donatori ionizzati e neutri Donatori ionizzati

sono ioni positivi

Accettori ionizzati sono ioni negativi

Gap

LA NEUTRALITÀ DI CARICA

La carica totale contenuta in ogni zona di un semiconduttore omogeneo è nulla in condizioni di equilibrio. Questa condizione di neutralità di carica è il risultato della compensazione tra cariche positive e negative che, in caso di completa ionizzazione può esprimersi nella forma seguente:

N

+ n = N

+ p

in cui il primo membro indica la concentrazione di cariche negative (N_A ioni ed “n” elettroni) mentre il secondo membro esprime la concentrazione di cariche positive (ND ioni e “p” buchi o lacune).

La relazione (1) si semplifica nel caso, verificato normalmente per il silicio alla temperatura ambiente, in cui sia ⏐ND − NA⏐>> ni; infatti, ricordando l’equazione di equilibrio, n·p = ni2

si può scrivere:

e per un semiconduttore n, in cui sia ⏐ND − NA⏐>> ni, la relazione precedente assume la forma:

n = N

− N

mentre per un semiconduttore p, in cui sia ⏐NA − ND⏐>> ni, si ha invece:

p = N

− N

Quando in un semiconduttore sono presenti ND donatori ed NA accettori ionizzati, si ha un effetto di compensazione definito dalle relazioni (2) e (3).

I semiconduttori usati in pratica, contengono sia donatori, sia accettori, e vengono suddivisi nei seguenti tre tipi

Semiconduttori di tipo n Se N_D > N_A

Semiconduttori di tipo p Se N_A > N_D

Semiconduttori compensati o impropriamente intrinseci Se ND = NA

Si dicono portatori maggioritari le cariche mobili presenti in maggior numero e portatori minoritari le cariche mobili presenti in minoranza. Il teorema di equilibrio applicato alle relazioni (2) e (3) permette di ricavare la concentrazione di minoritari in funzione di quella dei maggioritari:

in un semiconduttore p:

in un semiconduttore n:

LA CONDUCIBILITÀ ELETTRICA

Le cariche mobili nei solidi sono soggette ad un moto disordinato di agitazione termica, con una velocità dell’ordine di 10⁷ cm·sec^-1 alla temperatura ambiente. Durante questo moto le particelle subiscono continue collisioni contro gli atomi del reticolo compiendo deviazioni in ogni direzione:

il risultato è quello di una velocità effettiva nulla.

Sotto l’influenza di un campo elettrico Ε la velocità V_th di agitazione termica si compone con la velocità di spostamento dovuta all’azione del campo, col risultato di uno spostamento effettivo non

n N n

N n p

N N

n

2

+

−

=

⇒ +

−

=

D A

i D

A i

D

A

N N

n n N

n N N n

N

p = − ⇒ = − ⇒ = −

2 2

A D

i A

D i

A

D

N N

p n N

p N N n

N

n = − ⇒ = − ⇒ = −

2 2

L

N elettroni

Sezione normale A

nullo nella direzione del campo elettrico. Il risultato è, quindi, espresso da una velocità di deriva vd, che risulta essere proporzionale al campo Ε secondo la relazione seguente:

v

= µ

·Ε

in cui la costante di proporzionalità “µ_e” è chiamata mobilità degli elettroni e risulta definita dalla relazione:

a) Densità di Corrente

N elettroni sono distribuiti uniformemente all’interno di un conduttore di lunghezza L e sezione normale A. Un elettrone, sotto l’influenza di un “campo elettrico” Ε si sposta di un tratto di lunghezza L (metri) in un tempo T (secondi) e questo avviene per effetto di una velocità di deriva v_d data dalla relazione:

La corrente I è, per definizione, la carica totale che attraversa ogni sezione del conduttore nell’unità di tempo ed è data dal prodotto della carica elettrica di ogni portatore per il numero di portatori che attraversano la sezione A in ogni secondo. Ciò premesso, si ha

La densità di corrente J, è la corrente per unità di area, ovvero J = I/A [A/m²]. Sostituendo, si ottiene:

è evidente che il prodotto A·L è il volume contenente gli N elettroni. La concentrazione volumetrica degli elettroni, o semplicemente la concentrazione degli elettroni è data da:

L’espressione della densità di corrente assume, allora, la forma seguente:

in cui δC = q·n è la densità di volume di carica espressa in Coulomb per metro cubo (C/m³).

La relazione ottenuta è indipendente dalla forma del conduttore. Ricordando, inoltre, che la velocità vd è proporzionale al campo elettrico Ε tramite la mobilità µn degli elettroni, tramite la relazione già ricordata: vd = µn·Ε. Pertanto, in riferimento alla densità di corrente J, si ottiene:

in cui: σ = q·n·µn è la conducibilità elettrica del materiale ed è espressa in (Ω·m)^-1 oppure in (mho·m^-1). Infatti la conducibilità elettrica è definita, dalla prima legge di Ohm, come coefficiente di proporzionalità tra densità di corrente J ed intensità del campo elettrico Ε.

Ricordando che il campo elettrico Ε è il gradiente del potenziale elettrico V del campo, allora la relazione E·L = V definisce la tensione o differenza di potenziale applicata al conduttore. Si ottiene così la scrittura di seguito riportata, nota come legge di Ohm:

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

= ⋅

⋅

⋅

= Ε

−

sec

sec

1 1

V m m

V m v

µ

T L v

=

] [ Ampere L v

qN L

L T q N T q N

I = = ⋅ = ⋅

L A v N A q

L v qN A

J I

⋅ ⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

= 1

] [

= ⋅

= m

L A

N volume

elettroni numero

n

] / [ A m

v

v n L q

A v N A q

J I

= ⋅ ⋅

=

⋅

⋅ ⋅

⋅

=

= δ

] / [ A m

E

E n

q v n q

J = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ µ

⋅ = σ ⋅

in cui si definisce resistenza elettrica R del conduttore la grandezza individuata dalla relazione:

La grandezza fisica ρ = 1/σ, inverso della conducibilità elettrica definisce la resistività elettrica del materiale conduttore.

b) Conducibilità e Resistività di un semiconduttore.

Nel caso di un materiale semiconduttore con concentrazione n di elettroni e p di buchi o lacune, la conducibilità σ sarà data dalla somma dei contributi relativi alla conducibilità dei singoli portatori, si ottiene, cioè, la relazione:

in cui µn e µp sono, rispettivamente, le mobilità degli elettroni e dei buchi o lacune. Si dimostra che la mobilità è inversamente proporzionale alla massa efficace di una particella; nel silicio, a causa delle diverse masse efficaci, la mobilità degli elettroni risulta circa tre volte maggiore della mobilità delle lacune.

Alla luce di quanto sopra affermato, si evince che la resistività di un semiconduttore è espressa dalla relazione seguente:

Ponendo n = p =ni nella relazione precedente, si ottiene l’espressione della resistività intrinseca ρi. Nel caso del germanio e del silicio, alla temperatura ambiente di 300°K, ricordando che:

ni = 1,45·10¹⁰ cm^{− 3} per il silicio ( Si ) n_i = 2,40·10¹³ cm^{− 3} per il germanio ( Ge ) si ottengono i valori seguenti di resistività:

ρi.= 47 Ω·cm per il Germanio ρi.= 214.000 Ω·cm per il Silicio

Si nota che la resistività intrinseca ρi del silicio è molto maggiore essendo ni molto maggiore nel germanio.

Introducendo le espressioni che forniscono le concentrazioni dei portatori per i semiconduttori drogati in condizione di completa ionizzazione, si ricavano le seguenti espressioni per la resistività:

Le espressioni, ora ricavate, descrivono con buona approssimazione la dipendenza sperimentale della resistività dalla concentrazione efficace di droganti, quale appare nel grafico di J. C. IRVIN.

che è riportato in figura 3. La resistività dipende dalla temperatura attraverso i parametri mobilità e concentrazione di portatori; la resistività del silicio si può, in prima approssimazione, considerare costante entro un ampio campo di temperatura attorno alla temperatura ambiente. Essa cresce invece rapidamente alle bassissime temperature e decresce alle temperature a cui il silicio diventa intrinseco.

R V V L A L E L A A E A

J

I = ⋅ = σ ⋅ ⋅ = σ ⋅ = σ ⋅ =

]

1 ⋅ = [ Ω

=

= A

L A

L A

R L ρ

σ σ

]

·

[

⋅

⋅ +

⋅

⋅

= q n µ

q p µ

mho cm σ

] ) [

( 1 1

1

m m m p

n q

p q n

q

Ω ⋅ = Ω ⋅

+

= ⋅

= +

= σ µ µ µ µ

ρ

) (

1

) (

1

D A

p p

A D

n n

N N

q

N N

q

= −

= − ρ µ

ρ µ

Per semiconduttori di tipo “p”

La figura 3 riporta, in funzione della concentrazione totale di droganti, la mobilità dei buchi o lacune e degli elettroni nel silicio, alla temperatura ambiente, ricavata da misure sperimentali secondo E. M. CONWELL.

La figura 4 mostra l’andamento della resistività del silicio, alla temperatura ambiente, in funzione della concentrazione delle impurità, di tipo n e di tipo p, così come segnalato nella pubblicazione di J.C. IRVIN.

Figura - 4

Figura - 3