UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TRE Facoltà di Ingegneria

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TRE

Facoltà di Ingegneria

PROVA D’ESAME DI

COMPLEMENTI DI MATEMATICA

Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica - Dott. B. Palumbo - 20 dicembre 2004

Cognome e nome _____________________________ Numero di matricola ________________

Anno di corso _________ Data di nascita ___________ Firma ___________________________

ATTENZIONE: Scrivere le soluzioni solo sui fogli di questo fascicolo, riportando tutti i calcoli e motivando le risposte. NON SARANNO PRESI IN CONSIDERAZIONE PER NESSUN MOTIVO ALTRI FOGLI SPARSI. Firmare l'elaborato prima di consegnarlo.

1.

Calcolare



^_ _^ ^ _^ _^

) , , (

2

2 (2 4)

8 3 4 )

4 2

(

2

C B A

x dy y

x dx y

x y

y x

C , dove la curva

C

è costituita dall’arco di

parabola di equazione y = x² + 2x + 2 delimitato dal punto A di ascissa 1 e dal vertice B della curva, e dall’arco di parabola di equazione

9 34

2 8 

 x x

y delimitato da B e dal vertice C della curva.

2.

Calcolare











x z y y x z dydz yz xyz y xz y dzdx

xz arctg cosh( )) ( 2 arctg log( 1))

( ² ² ² ² ²

dxdy z x y

z cosh( ))

( ³  ² 

 ,

dove + è la faccia esterna della superficie sferica di centro O e raggio 2 1 .

3.

Risolvere il problema di Cauchy













 , 3 ) 0 (

5 ) 0 (

0 2 ) 2 ( y y

y y x y

sapendo che l’equazione differenziale ammette una soluzione polinomiale di secondo grado.

4.

Risolvere il sistema di equazioni differenziali















, 5 4

1 9 8

z u z

z u u

con le condizioni iniziali u(0) = 1, u’(0) = 8, z(0) = 3.

Durata della prova: 2 ore e 30 minuti. È consentito l'uso di libri, quaderni, appunti ed ogni altro materiale cartaceo, nonché di calcolatrici elettroniche non programmabili.

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PROVA D’ESAME DI

COMPLEMENTI DI MATEMATICA

Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica - Dott. B. Palumbo - 1° aprile 2005

Cognome e nome _____________________________ Numero di matricola ________________

1.

Calcolare



^

) , (AB

xdy ydx

C , dove

C

è l'arco della parabola di equazione 16x²  64xy + 64y² 

16x +

+ 24y + 3 = 0 delimitato dai punti ^



 



 

8

; 1 4

A 1 e ^



 



 ;6 4

B 57 .

2.

Calcolare il momento d'inerzia di un cubo omogeneo di lato a rispetto ad uno dei suoi vertici, esprimendo il risultato in termini della massa M del solido.

3.

Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale ^y ^^³^y^^²^y ^⁽³^x² ^⁴^x^²⁾^e^^x.

4.

Risolvere il sistema di equazioni differenziali







 





, 5

3

2 1 2

2 1 1

y y y

con le condizioni iniziali y1(0) = 1, y2(0) = 2.

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PROVA D’ESAME DI

COMPLEMENTI DI MATEMATICA

Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica - Dott. B. Palumbo - 14 giugno 2005 Cognome e nome _____________________________ Numero di matricola ________________

1.

(7 punti) Calcolare



_^













 

 















 

) ,

( 2 2 1 2 2 4

2 4

B A

y dy x dx y

y x

x

C , dove

C

è il minore dei due

archi della circonferenza di equazione x² + y²  4x  14y + 27 = 0 delimitati dai punti A (3 ; 2) e B (7 ; 6).

2.

(6 punti) Calcolare



^

D

dxdy x y

2 , dove D è il parallelogramma delimitato dalle rette x = 0, x = 3, 2y  x  4 = 0 e 2y  x = 0.

3.

(6 punti) Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale x

y e y y

y

x

2 2

8 12

6   



 nell'intervallo I = (0 , +).

4.

(11 punti) Risolvere il sistema di equazioni differenziali









 



 

, 2 2

3 1 3

2 2

2 1 1

y y y

y y

y y y

con le condizioni iniziali y1(0) = 0, y2(0) = 1, y3(0) = 1.