UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TRE Facoltà di Ingegneria Soluzioni della prova d'esame di CALCOLO 1

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TRE

Facoltà di Ingegneria

Soluzioni della prova d'esame di CALCOLO 1

Ingegneria Informatica (canale A - K) - Prof. R. Spigler - A. A. 2005 - 2006

25 novembre 2005

TEMA n.

1a

^.

- 1) Determinare nel piano di Gauss tutti i numeri complessi z che soddisfano la disuguaglianza

1 ) Re(

3  

 z

z .

Posto z = x + iy, la disuguaglianza diventa ^{x3iy  x1}. Ricordando che il modulo di un numero complesso A + Bi è uguale a _A²_B² , si può scrivere

1 )

3

(x ² y²  x . Con la condizione x  1, si può elevare al quadrato ed ottenere

2 2

2 ( 1)

) 3

(x y  x , da cui ^{x26x9y2 x22x1}, cioè 1

8

2 

 y

x . Poiché l'equazione 1

8

2 

 y

x è quella di una parabola con asse x = 0, vertice (1 ; 0) e concavità rivolta verso destra, la regione richiesta è quella interna alla parabola (compresa la curva stessa). Si osservi che alla fine la condizione x  1 è implicita.

- 2) Calcolare ^lim_x0 ^cos_cos⁷₅^x_x^_^cos_cos³_x^x.

La soluzione più semplice consiste nella applicare a numeratore e a denominatore la formula di prostaferesi

cos 2 sen 2

2 cos

cos p q p q

q

p    . Si ha così:

 

 



 

 







2 sen5 2 sen5 2

2 3 sen7

2 3 sen7

2 cos lim

5 cos

3 cos 7

limcos

0

0 x x x x

x x x

x x

x

x x

x x

3 5 3 sen

5 lim sen

0 

 x

x

x ,

dove si è utilizzata la formula ^lim_x0 ^sen_sen^_x^{x } _^, valida per ,  reali non nulli. In alternativa, si consideri che dal limite notevole ^lim0 ¹^cos2  ₂¹

 x

x

x si ricava facilmente ^{lim1 cos} ₂

2

0 2

 





 x

x

x (basta

porre x = t). Perciò si può scrivere:

 









 







 (1 cos ) (1 cos5 )

) 7 cos 1 ( ) 3 cos 1 lim( cos

5 cos

3 cos 7

limcos

0

0 x x

x x

x x

x x

x x

3 5 12 20 2

5 2

1 2

7 2 3 5 cos 1 cos 1

7 cos 1 3 cos 1

lim ₂

2 2

2 2

2 2

0 



 



 

 



 



 

x x x

x x

x x

x

x

- 3) Verificare (applicando solo la definizione) che 3 7 2

1 lim6 







 n

n

n .

Sia  > 0 fissato. La disuguaglianza ₂⁶_nⁿ_^1₇^3 equivale a ₂^_n²²_7 ^, che ovviamente si può scrivere come _{ 7} ^

2 22

n . Questa è soddisfatta per

2 11 7

 

n . Perciò, supponendo 7

 22

 , si può scegliere  uguale alla parte intera di

2 11 7

 .

Osservazione: se invece fosse 7

 22

 , l'espressione

2 11 7

 sarebbe minore o uguale a zero, pertanto la disuguaglianza sarebbe soddisfatta per qualunque n naturale. In ogni caso, è noto che nella verifica di un limite finito, è lecito porre  minore di un certo 0, perché se la condizione del limiti è soddisfatta per un tale , a maggior ragione sarà soddisfatta per ogni  più grande.

- 4) Calcolare

x x x

x

x

2 8

lim 3

3 2

0









 .

Ricordando la formula A³  B³ = (A  B)(A² + AB + B²), si può scrivere:

 







 x

x x

x

x

2 8

lim 3

3 2

0

 

^{ }

   ^



        



 

        







 _ 

2 3 2

3 2 2

3 2 2

3 2 2

3 2

0 3 8 ( 2) 3 8 ( 2)

) 2 ( 8 3 )

2 ( 8 3 2

8 3 lim

x x

x x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x

 

^



        







 

 3 2 2 3 2 2

3 2

0 3 8 ( 2) 3 8 ( 2)

) 2 ( 8 lim 3

x x

x x x

x x

x x

x

x

 

^



        





 

 3 2 2 3 2 2

2 3

0 3 8 ( 2) 3 8 ( 2)

9 lim 5

x x

x x x

x x

x x x

x



^{3 8}



^{( 2)5 9 3 8 ( 2) 64 298 2 129 34}

lim3 2 2 3 2 2 3 3 2

2

0  

 



 





















 

 x x x x x x

x x

x .

- 5) Determinare il carattere della serie



^

  







1 2 1

2 4

n n n

n

n .

A prima vista, può sembrare che il termine generico abbia ordine di infinitesimo 1/2, ma ciò non è vero, per la presenza di un segno meno al numeratore. Facciamo allora il confronto con _

n

1 , dove

 è da determinare:

    



^{  }



^















 









 



























 1 4 2

2 4

2 lim 4

1 2 lim 4

1 1 2 4

lim 2 2

2

n n

n n

n n

n n

n n

n

n n

n n

n n

n n

n n

n



^{4 2}



^.

1 lim 2

2    

 ^



 n n n n

n

n

Questo limite è finito e diverso da 0 se 2

 3

 ; infatti in tal caso si ha:



^{  }



^







 1 4 2

lim

2 2

2 3

n n

n n

n

n

2 1 4 1

1 1 1 1

lim 1 2 2

4 1

lim 1 2

2

2 







   







 



 



 









n n

n n n

n n

n n

n ⁿ

n .

Essendo l'ordine di infinitesimo uguale a ¹

23  , la serie data converge.

- 7) Sia {an} una successione divergente positivamente, e sia {bn} una successione limitata.

Dimostrare che {an + bn} è una successione divergente positivamente.

Intuitivamente è ovvio che "infinito più un numero dà più infinito", ma questa non è una dimostrazione. D'altra parte, non si può neanche applicare direttamente il teorema del limite di una somma, perché esso vale per limiti entrambi finiti. La dimostrazione può essere data come segue:

supponiamo che sia C < bn < D per ogni n, e sia M positivo fissato arbitrariamente. Per la definizione di limite infinito, esiste un  naturale tale che per ogni n >  risulta an > M  C. Dalle disuguaglianze

an > M  C (valida per n > ) bn > C (valida per ogni n)

ricaviamo an + bn > M per ogni n > , e da ciò la tesi.

TEMA n.

1b

^.

- 1) Determinare nel piano di Gauss tutti i numeri complessi z che soddisfano la disuguaglianza

3 ) Re(

1  

 z

z .

Posto z = x + iy, la disuguaglianza diventa ^{x1iy x3}. Ricordando che il modulo di un numero complesso A + Bi è uguale a A²B² , si può scrivere

3 )

1

(x ² y² x . Con la condizione x  3, si può elevare al quadrato ed ottenere

2 2

2 ( 3)

) 1

(x y  x , da cui ^{x22x1y2 x26x9}, cioè 2

4

2 

 y

x . Poiché l'equazione 2

4

2 

 y

x è quella di una parabola con asse x = 0, vertice (2 ; 0) e concavità rivolta verso destra, la regione richiesta è quella interna alla parabola (compresa la curva stessa). Si osservi che alla fine la condizione x  3 è implicita.

- 2) Calcolare ^lim_{x0 cos}^cos₇⁹_x^x_cos^cos3_5x^x .

La soluzione più semplice consiste nella applicare a numeratore e a denominatore la formula di prostaferesi

cos 2 sen 2

2 cos

cos p q p q

q

p    . Si ha così:

 

 



 

 







2 5 sen7

2 5 sen7

2

2 3 sen9

2 3 sen9

2 5 lim

cos 7

cos

3 cos 9

limcos

0

0 x x x x

x x x

x x

x

x x

x x

sen 3 3 lim sen

0 

 x

x

x ,

dove si è utilizzata la formula ^lim_x0 ^sen_sen^_x^{x } _^, valida per ,  reali non nulli. In alternativa, si consideri che dal limite notevole ^lim0 ¹^cos2  ₂¹

 x

x

x si ricava facilmente ^{lim1 cos} ₂

2

0 2

 





 x

x

x (basta

porre x = t). Perciò si può scrivere:

 









 







 (1 cos5 ) (1 cos7 )

) 9 cos 1 ( ) 3 cos 1 lim( 5

cos 7

cos

3 cos 9

limcos

0

0 x x

x x

x x

x x

x x

12 3 36 2

7 2

5 2

9 2 3 7 cos 1 5 cos 1

9 cos 1 3 cos 1

lim _{2 2}

2 2

2 2

2 2

0 



 



 

 



 



 

x x x

x x

x x

x

x .

- 3) Verificare (applicando solo la definizione) che ² 1 3

5 lim6 







 n

n

n .

Sia  > 0 fissato. La disuguaglianza ⁶₃ⁿ_n^_1^{52 } equivale a _3n^_⁷₁ ^, che ovviamente si può scrivere come ^

1 3

7

n . Questa è soddisfatta per

3 1 37 

 

n . Perciò, supponendo  < 7, si può scegliere  uguale alla parte intera di

3 1 37 

 .

Vedi osservazione all'analogo problema del tema 1a.

- 4) Calcolare

1 2 ) 1 lim (

3 2

0   

 x x

x

x .

Ricordando la formula A³  B³ = (A  B)(A² + AB + B²), si può scrivere:

 





 ( 1) 2 1

lim0 3 x 2 x x

x

 

 

3 2

3 2 2

3 4

0 ( 1) (2 1)

) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 2 ( lim 1

















 

 x x

x x

x x

x

x =

 

 

_























 

 2 1 (8 12 6 1)

) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 2 (

lim ₂ 1 _{3 2}

3 2 2

3 4

0 x x x x x

x x

x x

x

x

 

 

_

















 

 x x x

x x

x x

x

x 8 11 4

) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 2 (

lim 1 _{3 2}

3 2 2

3 4

0

 

4 3 4

1 1 1 4

11 8

) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 2 (

lim 1 ₂

3 2 2

3 4

0 





 

















 

 x x

x x

x x

x .

- 5) Determinare il carattere della serie



^

  







1 2 2

1 5

n n n

n

n .

A prima vista, può sembrare che il termine generico abbia ordine di infinitesimo 1/2, ma ciò non è vero, per la presenza di un segno meno al numeratore. Facciamo allora il confronto con _

n

1 , dove

 è da determinare:

    



^{  }



^















 









 



























 2 5 1

1 5

1 lim 5

2 1 lim 5

1 2 1 5

lim 2 2

2

n n

n n

n n

n n

n n

n

n n

n n

n n

n n

n n

n



^{5 1}



^.

2 lim 4

2    

 ^



 n n n n

n

n

Questo limite è finito e diverso da 0 se 2

 3

 ; infatti in tal caso si ha:



^{  }



^







 2 5 1

lim

4 2

2 3

n n

n n

n

n

1 2 5 1

2 1 1 1

lim 1 1 4

5 2

lim 1 4

2

2 







   







 



 



 





n n

n n n

n n

n n

n ⁿ

n .

Essendo l'ordine di infinitesimo uguale a ¹

23  , la serie data converge.

- 7) Sia {an} una successione infinitesima, e sia {bn} una successione limitata. Dimostrare che {anbn} è una successione infinitesima.

Sia |bn| < M, e sia  > 0 fissato. Esiste un  naturale tale che per ogni n >  si ha ^an _M

  . Dalle disuguaglianze

a_n  M (valida per n > )

|bn| < M (valida per ogni n)

ricaviamo |anbn| < M per ogni n > , e da ciò la tesi.