2004-2005) Homework assignment #1 – Testo e Soluzione Esercizio 1 Di ciascuno dei seguenti segnali (a tempo continuo o a tempo discreto) dire se `e periodico e, in caso affermativo, trovare il periodo fondamentale: a

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SEGNALI E SISTEMI

Proff. L. Finesso, M. Pavon e S. Pinzoni (a.a. 2004-2005) Homework assignment #1 – Testo e Soluzione

Esercizio 1 Di ciascuno dei seguenti segnali (a tempo continuo o a tempo discreto) dire se `e periodico e, in caso affermativo, trovare il periodo fondamentale:

a. x₁(t) = e^j^π³ − e^−j4t sen 3t, t ∈ R, b. x₂(n) = cos^3π₅ n + e^j(^π³ⁿ⁻^π⁴⁾, n ∈ Z.

Svolgimento. a. Il segnale a tempo continuo x1(t) `e la somma di due addendi, il primo dei quali costante e quindi periodico di periodo qualunque, mentre il secondo `e il prodotto di due segnali pure periodici. Infatti, l’esponenziale (ad esponente) immaginario x₁₁(t) = e^−j4t ha pulsazione ω1 = −4 e periodo fondamentale T01= _|ω^2π₁_| = ^π₂, mentre il fattore sinusoidale x12(t) = sen 3t ha pulsazione ω₂ = 3 e periodo fondamentale T₀₂= _|ω^2π₂_| = ^2π₃ .

Ora, poiché il rapporto dei periodi ^T_T⁰¹₀₂ = ³₄ è un numero razionale, possiamo concludere che anche il prodotto x11(t)x12(t) e di conseguenza il segnale x1(t) sono periodici, e che un possibile loro periodo è il minimo comune multiplo T = mcm (T₀₁, T₀₂) = 4T₀₁ = 3T₀₂ = 2π. Questo risulta anche il periodo fondamentale di x₁(t).

b. Il segnale a tempo discreto x2(n) `e periodico, in quanto somma di due segnali periodici (con periodi necessariamente interi e quindi in rapporto razionale). Infatti, il primo addendo x₂₁(n) = cos^3π₅ n ha pulsazione normalizzata θ₁ = ^3π₅ = ₁₀³ 2π e periodo fondamentale N₀₁ = 10, mentre il secondo addendo x₂₂(n) = e^j(^π³ⁿ⁻^π⁴⁾ ha pulsazione normalizzata θ₂ = ^π₃ = ¹₆2π e periodo fondamentale N₀₂ = 6. Un possibile periodo per x₂(n) `e il minimo comune multiplo N = mcm (N01, N02) = 30. Questo risulta anche il periodo fondamentale.

Esercizio 2 Determinare E_∞ e P_∞ per i seguenti segnali:

a. x₁(t) = e^−2tu(t − 1), t ∈ R, b. x₂(n) = sen^π₃n, n ∈ Z.

Svolgimento. a. L’energia E_∞(x₁) del segnale x₁(t) su tutto l’asse reale si calcola come

E_∞(x₁) =

Z _∞

−∞|x₁(t)|²dt =

Z _∞

1 e^−4tdt = e⁻⁴ 4 . Risultando E_∞(x₁) finita, la corrispondente potenza P_∞(x₁) `e nulla.

b. Il segnale x₂(n), non identicamente nullo, `e periodico di pulsazione normalizzata θ₂ =

π

3 = ¹₆2π e periodo fondamentale N02 = 6. Perci`o, l’energia E∞(x2) `e infinita, mentre la potenza media P_∞(x₂), finita e diversa da zero, coincide con la potenza media calcolata su un periodo.

Dunque,

P_∞(x₂) = 1 N02

NX02−1

n=0

|x₂(n)|² = 1 6

X5

n=0

sen²(π

3n) = 1 6

·

0 + 3 4 +3

4 + 0 + 3 4+ 3

4

¸

= 1 2.

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E un risultato generale che la potenza media del segnale sinusoidale a tempo discreto x(n) =` sen(θn + φ) vale, qualunque siano la pulsazione normalizzata θ 6= 0 e lo sfasamento φ,

P∞(x) = lim

N →∞

1 2N + 1

XN

n=−N

|x(n)|² = lim

N →∞

1 2N + 1

XN

n=−N

sen²(θn + φ) = 1 2.

Esercizio 3 Calcolare la derivata generalizzata del segnale a tempo continuo x(t) = e^−(1+j)t sgn(t − 2), t ∈ R,

dove il segnale “segno” `e definito da:

sgn(t) =







1, se t > 0, 0, se t = 0,

−1, se t < 0.

Svolgimento. Formalmente, ricordando la regola di derivazione del prodotto e la propriet`a dell’impulso δ secondo cui f (t)δ(t) = f (0)δ(t) per ogni funzione f continua in t = 0,

d

dtx(t) =

"

d

dte^−(1+j)t

#

sgn(t − 2) + e^−(1+j)t

"

d

dt sgn(t − 2)

#

= −(1 + j)e^−(1+j)tsgn(t − 2) + 2e^−(1+j)tδ(t − 2)

= −(1 + j)e^−(1+j)tsgn(t − 2) + 2e^−2(1+j)δ(t − 2),

dato che il segnale sgn(t − 2) `e costante, salvo avere una discontinuit`a di ampiezza 2 in t = 2.

In particolare, si ottiene d

dtRe x(t) = Re d

dtx(t) = −(sen t + cos t)e^−tsgn(t − 2) + 2e⁻²cos 2 δ(t − 2), d

dtIm x(t) = Im d

dtx(t) = (sen t − cos t)e^−tsgn(t − 2) − 2e⁻²sen 2 δ(t − 2).

Esercizio 4 Per i sistemi descritti dalle relazioni 1. y(n) = min{|x(n)|, |n|}, n ∈ Z,

2. y(t) =

Z _t+1

t−1 |t − τ | x(τ ) dτ, t ∈ R,

si discutano le proprietà di: a. causalità, b. linearità, c. tempo-invarianza, d. BIBO-stabilità.

Svolgimento. 1.a. Il sistema `e causale perch´e statico, dato che ad ogni istante n ∈ Z l’uscita y(n) dipende da n e dal solo campione x(n) dell’ingresso.

b. Il sistema non è lineare, in quanto non sono soddisfatte né la proprietà di omogeneità né quella additiva. Ad esempio, si nota che y(n) è anche l’uscita corrispondente a −x(n), la quale coincide con −y(n) solo se nulla, cioè solo se n = 0 od x(n) = 0.

c. Il sistema non `e nemmeno tempo-invariante. Infatti, se x(n) ≡ 1, allora x(n) = x(n − N) per ogni N ∈ Z, mentre l’uscita y(n) = 1 − δ(n) `e uguale a y(n − N) = 1 − δ(n − N) solo se N = 1.

(3)

d. Invece, il sistema è BIBO-stabile, perché risulta |y(n)| ≤ |x(n)| per ogni n ∈ Z, cosicché l’uscita è limitata ogni qual volta sia tale l’ingresso.

2.a. Il sistema non `e causale, dato che ad ogni istante t ∈ R l’uscita y(t) dipende anche dai campioni futuri {x(τ ), t < τ < t + 1} dell’ingresso.

b. Il sistema invece `e lineare, in quanto si riconosce nella relazione ingresso-uscita l’integrale di convoluzione, con risposta impulsiva h(t) = |t| rect(₂^t).

c. Per lo stesso motivo, il sistema `e anche tempo-invariante.

d. Infine, il sistema è BIBO-stabile, perché la risposta impulsiva h(t) = |t| rect(₂^t) è assoluta- mente integrabile. Risulta infatti che ^R_−∞^∞ |h(t)| dt = 2^R₀¹t dt = 1.

Esercizio 5 Si tracci il grafico del segnale y(t) = x(−t + 3), dove

x(t) =







t + 3, se −3 < t < 0, t − 3, se 0 < t < 3, 0, altrimenti.

Svolgimento. Il grafico di x(t) `e il seguente:

- 6

t

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

x(t)

−3

−2

−1 1 2 3

Da questo si ottiene il grafico di y(t) = x(−t+3) prima operando una traslazione in anticipo di T = 3 e poi invertendo il tempo, oppure prima invertendo il tempo e poi traslando in ritardo di T = 3. Questo il risultato:

(4)

- 6

@@

@@@

@@

@@@

t

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

y(t)

−3

−2

−1 1 2 3

Si poteva anche direttamente tracciare il grafico di y(t) partendo da una sua espressione analitica. Sostituendo −t + 3 all’argomento t di x(t), ovunque esso compaia nell’espressione che lo definisce, si ottiene infatti:

y(t) =







−t, se 0 < t < 3,

−t + 6, se 3 < t < 6, 0, altrimenti.

Esercizio 6 Si calcoli la convoluzione a tempo discreto y = h ∗ x, dove h(n) = u(n) e

x(n) =

( 1, se 0 ≤ n ≤ 5, 0, altrimenti.

Svolgimento. Dalla definizione di convoluzione a tempo discreto, si ottiene

y(n) =

X∞

k=−∞

h(n − k)x(k) =

X5

k=0

u(n − k) =











0, se n < 0,

Xn

k=0

1 = n + 1, se 0 ≤ n ≤ 5,

X5

k=0

1 = 6, se 5 < n.

Come sempre, ci si pu`o aiutare nel calcolo della convoluzione tracciando i grafici di x(k) e h(n − k) in funzione di k, per vari valori di n.