(1) Fornire la definizione di integrale improprio per una funzione continua in un intervallo illimitato della forma [a, +∞). Enunciare i criteri del confronto e del confronto asintotico per tale integrale. Provare che R +∞

Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 10 gennaio 2018

(1) Fornire la definizione di integrale improprio per una funzione continua in un intervallo illimitato della forma [a, +∞). Enunciare i criteri del confronto e del confronto asintotico per tale integrale. Provare che R +∞

1 1

x

dx converge se e solo se p > 1.

(2) Enunciare e dimostrare Teorema di esistenza degli zeri.

(3) Provare, utilizzando i limiti notevoli, che la funzione sin x ` e derivabile in ogni x ₀ ∈ R e determinarne la derivata.

(4) Sia

+∞

X

n=0

a _n una serie a termini positivi convergente e sia (b _n ) _n∈N successione divergente a +∞. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se ` e vera o falsa.

A. La serie

+∞

X

n=1

a _n

b _n ` e convergente. Vero

B. La serie

+∞

X

n=1

a _n b _n ` e convergente. Falso

C. La serie di potenze

+∞

X a _n x ⁿ ha raggio di convergenza ρ ≥ 1. Vero

Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 31 gennaio 2018

(1) Fornire la definizione di funzione integrabile secondo Riemann, partendo dalla definizione di partizione, di somme integrali inferiore e superiore, di integrale inferi- ore e superiore. Fornire un esempio di funzione limitata non integrabile.

(2) Enunciare e dimostrare il Criterio di convessit` a per funzioni derivabili.

(3) Provare che se una successione ammette limite questo ` e unico.

(4) Sia

+∞

X

n=0

a _n x ⁿ serie di potenze di raggio di convergenza ρ = +∞. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se ` e vera o falsa.

A.

+∞

X

n=0

a n e ⁿ converge. Vero

B. lim

n→+∞ a _n b ⁿ = 0 per ogni b > 0. Vero

C.

+∞

X

n=0

a n n ⁿ converge. Falso

Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 21 febbraio 2018 – A

(1) Fornire la definizione di funzione convessa e l’interpretazione geometrica. Enun- ciare i criteri di convessit` a. Provare, utilizzando la definizione, che f (x) = x <sup>2</sup> ` e funzione convessa nel suo dominio.

(2) Enunciare e dimostrare il Teorema di regolarit` a delle successioni monotone.

(3) Provare che R +∞

1 1

x

dx converge se e solo se p > 1.

(3) Sia

+∞

X

n=0

a _n x ⁿ serie di potenze di raggio di convergenza ρ = 1. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se ` e vera o falsa.

A.

+∞

X

n=0

na _n x ⁿ⁻¹ converge per ogni |x| < 1. Vero

B.

+∞

X

n=0

a _n 2 ⁿ non converge. Vero

C.

+∞

X a _n converge. Falso

Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 21 febbraio 2018 – B

(1) Fornire la definizione di funzione derivabile e l’interpretazione geometrica. Uti- lizzando i limiti notevoli provare che f (x) = log x ` e derivabile in ogni x 0 > 0.

(2) Enunciare e dimostrare il criterio del rapporto per successioni a termini positivi.

(3) Provare che R 1 0

1

x

dx converge se e solo se p < 1.

(4) Sia

+∞

X

n=0

(−1) ⁿ a _n serie a termini di segno alterno convergente. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se ` e vera o falsa.

A.

+∞

X

n=0

a _n ` e convergente. Falso

B. a _n → 0 per n → +∞. Vero

C. La serie di potenze

+∞

X

n=0

a _n x ⁿ ha raggio di convergenza ρ ≥ 1. Vero

Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 20 giugno 2018

(1) Fornire la definizione di funzione integrale di Riemann, partendo dalla definizione di partizione, somma integrale superiore e inferiore, integrale superiore e inferiore.

Fornire un esempio di funzione limitata ma non integrabile.

(2) Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.

(3) Utilizzando la definizione ed i limiti provare che la funzione f (x) = log x ` e derivabile in ogni x ₀ > 0 con f ⁰ (x ₀ ) = _x ¹

0

.

(4) Sia (a _n ) _n∈N una successione positiva e infinitesima per n → +∞. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se ` e vera o falsa.

A.

+∞

X

n=1

a _n ` e convergente. Vero Falso

B.

+∞

X

n=1

√ 1

a

` e divergente. Vero Falso

C.

+∞

X _a

n

n

` e convergente. Vero Falso

Per i quesiti (1), (2) e (3) consultare il libro di testo e/o gli appunti del corso.

(4) A ` E falsa. Si consideri ad esempio la successione infinitesima e positiva a _n = _n ¹ , la corrispondente serie P +∞

n=1 a _n = P +∞

n=1 1

n ` e divergente.

B ` E vera, infatti la successione ^{√ 1} _a

n

diverge a +∞, dalla condizione necessaria alla convergenza di una serie otteniamo che la serie P +∞

n=1

√ 1

a

non ` e convergente e poich´ e

√ 1

a

` e positiva la serie corrispondente (essendo regolare) non pu` o che divergere.

B ` E vera. Abbiamo infatti che

n→+∞ lim

a

n

1 n

= lim

n→+∞ a _n = 0 e dato che la serie P +∞

n=1 1

n

` e convergente, dal criterio del confronto asintotico pos- siamo concludere che anche la serie P +∞

n=1 a

n

converge.

Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 11 luglio 2018

(1) Fornire la definizione di serie numerica convergente, divergente e indeterminata.

Provare, utilizzando la definizione, che la serie geometrica

+∞

X

n=0

x ⁿ converge se e solo se |x| < 1.

(2) Enunciare e dimostrare il criterio di convessit` a per funzioni derivabili.

(3) Fornire la regola di derivazione della funzione inversa ed utilizzarla per provare che la derivata di f (x) = arcsin x ` e f ⁰ (x) = ^{√ 1}

1−x

.

(4) Sia f (x) una funzione continua e crescente in [0, +∞) tale che f (0) = 0. Posto F (x) =

Z x 0

f (t) dt, provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se ` e vera o falsa.

A. F (x) ` e crescente in [0, +∞). Vero Falso

B. F (x) ` e convessa in (0, +∞). Vero Falso

C. lim F (x) = +∞. Vero Falso

Per i quesiti (1), (2) e (3) consultare il libro di testo e/o gli appunti del corso.

(4) A ` E vera, infatti poich´ e f (x) ` e crescente in [0, +∞) si ha che f (x) ≥ f (0) = 0 per ogni x > 0. Dal teorema fondamentale del calcolo integrale, essendo f (x) continua in [0, +∞), abbiamo che F (x) ` e derivabile in (0, +∞) con F <sup>0</sup> (x) = f (x) per ogni x > 0. Si ha allora che F <sup>0</sup> (x) ≥ 0 per ogni x > 0 e dal criterio di monotonia possiamo concludere che F (x) ` e crescente in [0, +∞).

B ` E vera, infatti dal teorema fondamentale del calcolo integrale, essendo f (x) continua in [0, +∞), abbiamo che F (x) ` e derivabile in (0, +∞) con F ⁰ (x) = f (x) per ogni x > 0. Si ha allora che F ⁰ (x) ` e crescente in (0, +∞) e dal primo criterio di convessit` a possiamo concludere che F (x) ` e convessa in (0, +∞).

C ` E falsa. La funzione f (x) = 0 per ogni x ≥ 0 ` e funzione continua e crescente in [0, +∞) ma F (x) = R x

0 f (t) dt = 0 per ogni x ≥ 0 non diverge a +∞ per x → +∞.

Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 4 settembre 2018

(1) Fornire la definizione di funzione continua in un punto e la classificazione dei punti di discontinuit` a, fornendo di ciascun caso un esempio

(2) Enunciare e dimostrare la formula fondamentale del calcolo integrale.

(3) Enunciare il Principio di Induzione ed utilizzarlo per provare che per ogni n ∈ N e x 6= 1 risulta

1 + x + ... + x ⁿ = ^1−x _1−x

.

(4) Sia f (x) funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se ` e vera o falsa.

A. f (x) ` e limitata in [a, b]. Vero Falso

B. f ⁰ (x) ` e limitata in (a, b). Vero Falso

C. Esiste x ₀ ∈ (a, b) tale che f ⁰ (x ₀ ) = 0. Vero Falso

Per i quesiti (1), (2) e (3) consultare il libro di testo e/o gli appunti del corso.

(4) A ` e vera, infatti, essendo f (x) continua in [a, b], dal Teorema di Weierstrass la funzione ammette massimo e minimo, in particolare esistono m, M ∈ R tali che m ≤ f (x) ≤ M per ogni x ∈ [a, b].

B e C sono false, si pensi difatti alla funzione f (x) = √

x nell’intervallo [0, 1].

La funzione risulta continua in [0, 1], derivabile in (0, 1) ma la derivata non risulta

limitata in (0, 1) dato che f ⁰ (x) = ₂ ^{√ 1} _x → +∞ per x → 0 ⁺ e non risulta nulla in

alcun punto di (0, 1).