Il Matlab contiene le funzioni predefinite quad, quadl e quad8 che cal- colano l’integrale definito di una funzione f all’interno di un fissato intervallo.

(1)

Francesca Mazzia

Dipartimento Interuniversitario di Matematica Universit` a di Bari

MATLAB: Integrazione

Il Matlab contiene le funzioni predefinite quad, quadl e quad8 che cal- colano l’integrale definito di una funzione f all’interno di un fissato intervallo.

Tali funzioni accettano come dati in input:

f unz stringa contenente il nome del file in cui inserire la funzione integranda

a estremo sinistro dell’intervallo b estremo destro dell’intervallo tol tolleranza dell’errore desiderata.

Il parametro di tolleranza tol ha come valore di default 10 ⁻³ e quindi pu` o essere omesso. Hanno come dato di output:

q integrale della funzione f .

Nel caso la funzione non riescano a calcolare il valore dell’integrale con la precisione desiderata, verr` a posto q = ∞. Vengono richiamate mediante:

q = quad(’funz’, a, b, tol) q = quadl(’funz’, a, b, tol) q = quad8(’funz’, a, b, tol)

ESEMPIO: Risolvere il problema dell’approssimazione di

Z b a

(e ^√ ^x sin(x) + 2x + 6)dx

Per risolvere tale problema possiamo costruire la function fint1.m e

quindi utilizzare le function predefinite quad e quadl e quad8:

(2)

>> type fint1.m function y=fint1(x)

y = exp(sqrt(x)).sin(x)+2x+6;

>> I = quad(’fint1’,0,12,1e-5,1) I =

1.8835e+002

>> I = quadl(’fint1’,0,12,1e-5) I =

1.8835e+02

>> I = quad8(’fint1’,0,12,1e-5) I =

1.8835e+002

Possiamo fare un altro esempio:

I = quad(’sin’,0,pi,1e-3) I =

2.0000

>> I = quad8(’sin’,0,pi,1e-3) I =

2.0000e+00

>> I = quadl(’sin’,0,pi,1e-3)

(3)

I =

2.0000e+00

Ora vediamo come implementare la formula dei trapezi:

% FORMULA DEI TRAPEZI PER IL CALCOLO APPROSSIMATO DI INTEGRALI

%

% function I = trapezi(funz,a,b)

%

% DATI DI INPUT:

% funz = stringa contenente il nome della funzione integranda

% (definita in un omonimo file .m)

% a = estremo inferiore dell’intervallo di integrazione

% b = estremo superiore dell’intervallo di integrazione

%

% DATI DI OUTPUT:

% I = approssimazione dell’integrale

%

function I = trapezi(funz,a,b) h = (b-a);

fa = feval(funz,a);

fb = feval(funz,b);

I = (fa + fb) * h/2;

ESEMPI: Valutiamo gli integrali approssimati delle seguenti funzioni:

fint1(x) = exp(sqrt(x)).sin(x) + 2x + 6 nell’intervallo [0,12]

fint2(x) = sqrt(1-x.*x) nell’intervallo [-1,1]

sin(x) nell’intervallo [0,pi]

e confrontiamoli con i valori esatti di tali integrali, che sono rispettivamente

188.35, pi/2 e 2.

(4)

>> type fint1.m function y=fint1(x)

y = exp(sqrt(x)).sin(x)+2x+6;

>> I1 = trapezi(’fint1’,0,12) I1 =

1.1315e+002

>> type fint2.m function y=fint2(x) y = sqrt(1-x.*x) ;

>> I2 = trapezi(’fint2’,-1,1) I2 =

0 >> I3 = trapezi(’sin’,0,pi) I3 =

1.9237e-16

Implementiamo la formula di Simpson:

% FORMULA DI SIMPSON PER IL CALCOLO APPROSSIMATO DI INTEGRALI

%

% function I = simpson(funz,a,b)

(5)

%

% DATI DI INPUT:

% funz = stringa contenente il nome della funzione integranda

% (definita in un omonimo file .m)

% a = estremo inferiore dell’intervallo di integrazione

% b = estremo superiore dell’intervallo di integrazione

%

% DATI DI OUTPUT:

% I = approssimazione dell’integrale

%

function I = simpson(funz,a,b) h = (b-a)/2;

fa = feval(funz,a);

fb = feval(funz,b);

fc = feval(funz,(a+b)/2);

I = (fa + fb + 4fc) h/3;

ESEMPI:

>> I1 = simpson(’fint1’,0,12) I1 =

1.5582e+02

>> I2 = simpson(’fint2’,-1,1) I2 =

1.3333e+00

>> I3 = simpson(’sin’,0,pi)

(6)

I3 =

2.0944e+00

Formule composte.

Le formule precedenti usano un unico polinomio interpolatore su tutto l’intervallo [a, b]. Ci` o presenta talvolta degli inconvenienti dovuti essenzial- mente al fatto che per n grande il polinomio pu` o presentare delle oscillazioni.

Inoltre la formula diventa costosa.

Le formule composte sono ottenute dividendo l’intervallo [a, b] in un certo numero N di sottointervalli uguali, ed applicando in ognuno di questi una formula di quadratura di grado basso. Fissato h = b − a

N , e x _i = a + ih, per i = 0, 1, . . . , N , si ha:

Z b a

f (x)dx =

N −1

X

i=0

Z x

i+1

x

i

f (x)dx,

se nel sottointervallo [x _i , x _i+1 ] si usa la formula dei trapezi, si ha:

Z b a

f (x)dx =

=

N −1

X

i=0

x _i+1 − x i

2 (f (x _i ) + f (x _i+1 )) + E(f ) =

= b − a

2N f (a) + 2

N −1

X

i=1

f (x _i ) + f (b)

!

+ E(f ).

Nel caso in cui f ⁰⁰ (x) sia continua in [a, b], si ottiene:

E(f ) = − (b − a) ³

12N ² f ⁰⁰ (ξ), ξ ∈ [a, b].

Vediamo come costruire la function Matlab che implementa la formula dei trapezi composta. Chiameremo tale funzione ctrap.m:

% FORMULA DEI TRAPEZI COMPOSTA PER IL CALCOLO APPROSSIMATO DI INTEGRALI

(7)

%

% function I = ctrap(funz,a,b,n)

%

% DATI DI INPUT:

% funz = stringa contenente il nome della funzione integranda

% (definita in un omonimo file .m)

% a = estremo inferiore dell’intervallo di integrazione

% b = estremo superiore dell’intervallo di integrazione

% n = numero di sottointervalli a cui applicare la formula dei trapezi

%

% DATI DI OUTPUT:

% I = approssimazione dell’integrale

%

function I = ctrap(funz,a,b,n) h = (b-a)/n;

x = a + [0:n]*h;

I = (feval(funz,x(1)) + 2*sum(feval(funz,x(2:n)))...

+ feval(funz,x(n+1))) * h/2;

ESEMPIO:

>> I1c = ctrap(’fint1’,0,12,10) I1c =

191.1843

>> I2c = ctrap(’fint2’,-1,1,10) I2c =

1.5185

>> I3c = ctrap(’sin’,0,pi,10)

(8)

I3c = 1.9835

Aumentando n, il numero di suddivisioni dell’intervallo [a, b], si dovreb- be osservare un miglioramento dell’approssimazione. Verifichiamolo per la funzione fint1:

Il Matlab contiene le funzioni predefinite quad, quadl e quad8 che cal- colano l’integrale definito di una funzione f all’interno di un fissato intervallo.

Francesca Mazzia

Dipartimento Interuniversitario di Matematica Universit` a di Bari

MATLAB: Integrazione

Il Matlab contiene le funzioni predefinite quad, quadl e quad8 che cal- colano l’integrale definito di una funzione f all’interno di un fissato intervallo.

Tali funzioni accettano come dati in input:

f unz stringa contenente il nome del file in cui inserire la funzione integranda

a estremo sinistro dell’intervallo b estremo destro dell’intervallo tol tolleranza dell’errore desiderata.

Il parametro di tolleranza tol ha come valore di default 10 −3 e quindi pu` o essere omesso. Hanno come dato di output:

q integrale della funzione f .

Nel caso la funzione non riescano a calcolare il valore dell’integrale con la precisione desiderata, verr` a posto q = ∞. Vengono richiamate mediante:

q = quad(’funz’, a, b, tol) q = quadl(’funz’, a, b, tol) q = quad8(’funz’, a, b, tol)

ESEMPIO: Risolvere il problema dell’approssimazione di

Z b a

(e √ x sin(x) + 2x + 6)dx

Per risolvere tale problema possiamo costruire la function fint1.m e

quindi utilizzare le function predefinite quad e quadl e quad8:

>> type fint1.m function y=fint1(x)

y = exp(sqrt(x)).*sin(x)+2*x+6;

>> I = quad(’fint1’,0,12,1e-5,1) I =

1.8835e+002

>> I = quadl(’fint1’,0,12,1e-5) I =

1.8835e+02

>> I = quad8(’fint1’,0,12,1e-5) I =

1.8835e+002

Possiamo fare un altro esempio:

I = quad(’sin’,0,pi,1e-3) I =

2.0000

>> I = quad8(’sin’,0,pi,1e-3) I =

2.0000e+00

>> I = quadl(’sin’,0,pi,1e-3)

I =

2.0000e+00

Ora vediamo come implementare la formula dei trapezi:

% FORMULA DEI TRAPEZI PER IL CALCOLO APPROSSIMATO DI INTEGRALI

%

% function I = trapezi(funz,a,b)

%

% DATI DI INPUT:

% funz = stringa contenente il nome della funzione integranda

% (definita in un omonimo file .m)

% a = estremo inferiore dell’intervallo di integrazione

% b = estremo superiore dell’intervallo di integrazione

%

% DATI DI OUTPUT:

% I = approssimazione dell’integrale

%

function I = trapezi(funz,a,b) h = (b-a);

fa = feval(funz,a);

fb = feval(funz,b);

I = (fa + fb) * h/2;

ESEMPI: Valutiamo gli integrali approssimati delle seguenti funzioni:

fint1(x) = exp(sqrt(x)).*sin(x) + 2*x + 6 nell’intervallo [0,12]

fint2(x) = sqrt(1-x.*x) nell’intervallo [-1,1]

sin(x) nell’intervallo [0,pi]

e confrontiamoli con i valori esatti di tali integrali, che sono rispettivamente

188.35, pi/2 e 2.

>> type fint1.m function y=fint1(x)

y = exp(sqrt(x)).*sin(x)+2*x+6;

>> I1 = trapezi(’fint1’,0,12) I1 =

1.1315e+002

>> type fint2.m function y=fint2(x) y = sqrt(1-x.*x) ;

>> I2 = trapezi(’fint2’,-1,1) I2 =

0

>> I3 = trapezi(’sin’,0,pi) I3 =

1.9237e-16

Implementiamo la formula di Simpson:

% FORMULA DI SIMPSON PER IL CALCOLO APPROSSIMATO DI INTEGRALI

%

% function I = simpson(funz,a,b)

%

% DATI DI INPUT:

% funz = stringa contenente il nome della funzione integranda

% (definita in un omonimo file .m)

% a = estremo inferiore dell’intervallo di integrazione

% b = estremo superiore dell’intervallo di integrazione

%

% DATI DI OUTPUT:

% I = approssimazione dell’integrale

%

Il parametro di tolleranza tol ha come valore di default 10 ⁻³ e quindi pu` o essere omesso. Hanno come dato di output:

(e ^√ ^x sin(x) + 2x + 6)dx

y = exp(sqrt(x)).sin(x)+2x+6;

fint1(x) = exp(sqrt(x)).sin(x) + 2x + 6 nell’intervallo [0,12]

y = exp(sqrt(x)).sin(x)+2x+6;

I = (fa + fb + 4fc) h/3;

N , e x _i = a + ih, per i = 0, 1, . . . , N , si ha:

se nel sottointervallo [x _i , x _i+1 ] si usa la formula dei trapezi, si ha:

x _i+1 − x i

2 (f (x _i ) + f (x _i+1 )) + E(f ) =

f (x _i ) + f (b)

Nel caso in cui f ⁰⁰ (x) sia continua in [a, b], si ottiene:

E(f ) = − (b − a) ³

12N ² f ⁰⁰ (ξ), ξ ∈ [a, b].