Appunti di Analisi Matematica Tre

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Appunti di Analisi Matematica Tre

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Francesca G. Alessio Dipartimento di Scienze Matematiche Universit`a Politecnica delle Marche

1Le presenti dispense costituiscono le note per l’insegnamento di Analisi Matematica 3 per il corso di Laurea in Ingegneria Elettronica dell’a.a. 2009/10. Si prega di segnalare all’autore eventuali errori presenti nel testo.

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Indice

Capitolo 1. Numeri Complessi e Serie di Potenze inC 5

1. Richiami sui numeri complessi 5

2. Successioni e serie in C 9

3. Serie di potenze 14

4. Sviluppi in serie di potenze di alcune funzioni elementari 17

Capitolo 2. Funzioni di variabile complessa 23

1. Limiti e continuit`a 23

2. Successioni e serie di funzioni complesse 24

3. Funzioni olomorfe 25

4. Integrazione lungo curve 33

Capitolo 3. Teoremi fondamentali sulle funzioni olomorfe 41

1. Esistenza di una primitiva 41

2. Teorema di Cauchy 43

3. Formula di Cauchy e rappresentazione in serie di potenze 46 4. Teorema di Cauchy generalizzato e Indice di una curva chiusa 49

5. Alcune conseguenze della Formula di Cauchy 52

6. Funzioni armoniche 57

Capitolo 4. Singolarit`a di Funzioni Olomorfe 59

1. Serie di Laurent 59

2. Classificazione delle Singolarit`a 62

3. Teorema dei residui 65

4. Applicazione al calcolo di integrali 69

5. Appendice: Residuo all’infinito 73

Capitolo 5. Misura e Integrale di Lebesgue 75

1. Costruzione della misura di Lebesgue in Rⁿ 75

2. Funzioni misurabili 81

3. Definizione dell’integrale di Lebesgue 82

4. Confronto tra l’integrale di Lebesgue e di Riemann 86

5. Principali Teoremi sull’integrale di Lebesgue 88

Capitolo 6. Proiezioni Ortogonali e Serie di Fourier 93

1. Spazi vettoriali normati e Spazi di Banach 93

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2. Spazi vettoriali con prodotto scalare e spazi di Hilbert 96

3. Gli spazi L^p 98

4. Vettori ortogonali e proiezioni ortogonali 99

5. Serie di Fourier in L²([ ⇡, ⇡],C) 102

6. Qualche applicazione 115

Capitolo 7. Trasformata di Fourier 121

1. Definizione e prime propriet`a 121

2. Antitrasformata e Teorema di dualit`a 130

3. Trasformata di Fourier in L² 131

4. Applicazione alle equazioni differenziali 133

Capitolo 8. Trasformata di Laplace 135

1. Definizione e prime propriet`a 135

2. Propriet`a elementari 140

3. Confronto con la Trasformata di Fourier e Formula di

Inversione 145

4. Risoluzione di equazioni differenziali lineari 149

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CAPITOLO 1

Numeri Complessi e Serie di Potenze in C

1. Richiami sui numeri complessi

Ricordiamo che l’insieme C dei numeri complessi `e l’insieme delle coppie ordinate (a, b) di numeri reali munito delle operazioni di somma e prodotto definite nel seguente modo

(a, b) + (c, d) := (a + b, c + d) e (a, b)· (c, d) := (ac bd, ad + bc)

Si può provare che tali operazioni soddisfano le proprietà caratteristiche di un campo algebrico (proprietà associativa, commutativa, distributiva, esistenza elemento neutro, di opposto e reciproco). In particolare, risulta elemento neutro della somma l’e- lemento (0, 0) mentre elemento neutro del prodotto risulta essere (1, 0). L’elemento opposto di (a, b) è l’elemento (a, b) := ( a, b) mentre il reciproco di (a, b)6= (0, 0)

`e invece

1

(a, b) := ( a

a²+ b², b a²+ b²).

Osserviamo che l’insieme dei numeri realiR pu`o essere identificato come sottoinsieme diC identificando ogni a 2 R con il numero complesso (a, 0) 2 C, scriveremo quindi a in luogo di (a, 0) e penseremoR ⇢ C. I numeri complessi della forma (0, b) vengono invece detti immaginari puri.

Usualmente un numero complesso (a, b)2 C viene rappresentato nella forma a + ib (forma algebrica) dove si conviene che 1 := (1, 0) mentre i := (0, 1) viene detta unit`a immaginaria:

(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + ib Usuale `e inoltre la notazione

a := a + i0 e ib := 0 + ib

Con tale notazione le operazioni di somma e prodotto risultano definite da

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) e (a + ib)· (c + id) = (ac bd) + i(ad + bc) Tali operazioni risultano formalmente immediate osservato che l’unit`a immaginaria i soddisfa la propriet`a

i²:= i· i = (0, 1) · (0, 1) = 1, da cui, utilizzando le usuali regole algebriche, vediamo che

(a + ib)· (c + id) = ac + iad + ibc + i²bd = ac + iad + ibc bd = (ac bd) + i(ad + bc).

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Se z = a + ib2 C il numero reale a viene detto parte reale del numero complesso z e viene denotato con Re(z), mentre il numero reale b viene detto parte immaginaria del numero complesso z e viene denotato con Im(z):

Re(z) = Re(a + ib) := a e Im(z) = Im(a + ib) := b Dato z = a + ib2 C, la quantit`ap

a²+ b²viene detta modulo del numero complesso z e viene denotata con|z|:

|z| = |a + ib| :=p a²+ b². Valgono le seguenti propriet`a:

1. |z| 0 per ogni z2 C e |z| = 0 se e solo se z = 0.

2. |Re z|  |z|, |Im z|  |z| e |z|  |Re z| + |Im z| per ogni z 2 C.

3. Diseguaglianza triangolare: |z + w|  |z| + |w|, per ogni z, w 2 C.

5. |zw| = |z||w|, per ogni z, w 2 R.

Dato un numero complesso z = a + ib2 C, diremo numero complesso coniugato il numero ¯z := a ib. Osserviamo che risulta

z· ¯z = (a + ib) · (a ib) = a²+ b²=|z|², da cui in particolare

1 z = z¯

|z|².

Se pensiamo, come naturale, di rappresentare i numeri complessi sul piano cartesiano (che chiameremo in questo contesto piano complesso), il modulo|a+ib| rappresenta la distanza del punto (a, b) dall’origine del piano (0, 0). Osserviamo che mediante tale rappresentazione i numeri reali, della forma (a, 0) saranno rappresentati dai punti dell’asse delle ascisse, che chiameremo asse reale, mentre i numeri immaginari, ovvero della forma (0, b), saranno rappresentati dall’asse delle ordinate, che chiameremo asse immaginario:

a+ib

a ib

|a+ib|

0 ^{asse reale}

asse immaginario

Possiamo rappresentare inoltre un numero complesso z utilizzando le coordinate polari del corrispondente punto del piano complesso. Infatti, se z 2 C e z 6= 0

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1. RICHIAMI SUI NUMERI COMPLESSI 7

avremo che, posto ⇢ = |z| il modulo di z, esiste ✓ 2 R tale che z potr`a essere rappresentato dalla forma

z = ⇢(cos ✓ + i sin ✓) detta forma trigonometrica del numero complesso z.

L’angolo ✓ è detto argomento del numero z e viene denotato con arg z. Chiaramen- te se ✓ è argomento di z saranno argomenti di z anche ✓ + 2k⇡ per ogni k 2 Z (l’argomento è determinato a meno di multipli interi di 2⇡). Diremo argomento principale del numero complesso z quell’unico argomento di z appartenente all’intervallo ( ⇡, ⇡] e denoteremo tale argomento con Arg z.

Utilizzando la rappresentazione trigonometrica, osserviamo che dati due numeri complessi z₁= ⇢₁(cos ✓₁+ i sin ✓₁) e z₂= ⇢₂(cos ✓₂+ i sin ✓₂) risulta

z1z2= ⇢1⇢2(cos ✓1cos ✓2 sin ✓1sin ✓2+ i(sin ✓1cos ✓2+ cos ✓1sin ✓2)

= ⇢1⇢2(cos(✓1+ ✓2) + i sin(✓1+ ✓2))

Ne segue in particolare che arg (z1z2) = arg (z1) + arg (z2) + 2k⇡, k2 Z.

In particolare dalla precedente formula si ottiene che per ogni z = ⇢(cos ✓ + i sin ✓) risulta

z²= ⇢²(cos(2✓) + i sin(2✓)) da cui, per induzione, si ottiene la formula di De Moivre:

zⁿ= ⇢ⁿ(cos(n✓) + i sin(n✓)), n2 N.

Si ha dunque che

|zⁿ| = |z|ⁿ e arg (zⁿ) = narg (z) + 2k⇡, k2 Z.

Osserviamo che per ogni z = ⇢(cos ✓ + i sin ✓)6= 0 si ha 1

z = z¯

|z|² = 1

⇢²⇢(cos ✓ i sin ✓) = ⇢ ¹(cos( ✓) + i sin( ✓)) e dunque che la formula di De Moivre risulta valida per ogni n2 Z.

Dalla formula di De Moivre, preso w = ⇢(cos ✓ + i sin ✓)6= 0 e n 2 N, gli n numeri complessi

z_k= ⇢ⁿ¹(cos(✓ + 2k⇡

n ) + i sin(✓ + 2k⇡

n )), k = 0, 1, ..., n 1,

risultano tutte e sole le soluzioni dell’equazione zⁿ= w e vengono detti radici n-esime di w.

Dato z = a + ib2 C si definisce esponenziale di z il numero e^z = e^a+ib:= e^a(cos b + i sin b).

Osserviamo che il numero complesso a secondo membro `e rappresentato in forma trigonometrica, quindi risulta

|e^z| = e^a= e^Re(z) mentre arg (e^z) = b = Im(z).

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Si pu`o provare che e^z= 0 se e solo se z = 0 ed inoltre che per ogni z1, z22 C risulta e^z¹e^z²= e^z¹^+z²

da cui in particolare che

e^z+2k⇡i= e^z, 8z 2 C, k 2 Z.

Inoltre, dato z6= 0 si definisce logaritmo principale di z il numero complesso Log z := log|z| + iArg z

Osserviamo che dalla definizione, per ogni z2 C, z 6= 0, risulta

e^{Log z} = e^log|z|+iArg (z)= e^log^|z|(cos(Arg z) + i sin(Arg z))

=|z|(cos(Arg z) + i sin(Arg z)) = z.

mentre si ha Log (e^z) = log|e^z| + iArg (e^z) = Re(z) + i(Im(z) + 2k⇡) = e dunque Log (e^z) = z solo se Im(z)2 ( ⇡, ⇡].

Utilizzando il logaritmo principale, dato z 6= 0 e a 2 C si definisce la potenza principale z^aponendo

z^a:= e^{aLog z}.

Infine, poichè per ogni x2 R risulta eîx= cos x + i sin x e e îx = cos x i sin x, si ottengono le seguenti formule di Eulero:

cos x = e^ix e ^ix

2 e sin x =e^ix+ e ^ix

2i , x2 R

Viene allora naturale definire il seno e il coseno di un numero complesso z 2 C ponendo:

cos z := e^iz e ^iz

2 e sin z :=e^iz+ e ^iz 2i

Si definiscono inoltre le funzioni iperboliche senoiperbolico e cosenoiperbolico di un numero complesso z2 C mediante:

cosh z :=e^z+ e ^z

2 e sinh z := e^z e ^z 2

Si ha allora che cos(iz) = cosh z e cosh(iz) = cos z mentre sin(iz) = i sinh z e sinh(iz) = i sin z. Si pu`o provare che tali funzioni soddisfano le seguenti propriet`a

cos²z + sin²z = 1, 8z 2 C e per ogni z1, z22 C valgono le formule di addizione

cos(z1+ z2) = cos z1cos z2 sin z1sin z2 e sin(z1+ z2) = cos z1sin z2+ sin z1cos z2

Si ha invece che| cos z| e | sin z| non risultano limitate in C. Infatti dalle formule di addizione per ogni a + ib2 C si ha

cos(a + ib) = cos a cosh b i sin a sinh b e sin(a + ib) = sin a cosh b + i cos a sinh b da cui

| cos(a + ib)|²= cos²a + sinh²b e | sin(a + ib)|²= sin²a + sinh²b.

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2. SUCCESSIONI E SERIE INC 9

Concludiamo ricordando che, essendo C identificato con R², la struttura metrica dei numeri complessi C `e quella di R². Ricordiamo per completezza le principali definizioni. La distanza tra due numeri complessi z = a + ib e w = c + id viene definita ponendo

d(z, w) :=|z w| =p

(a c)²+ (b d)² Dato r > 0 e z₀2 C denoteremo nel seguito con

Br(z0) :={z 2 C | |z z0| < r} e Br(z0) :={z 2 C | |z z0|  r}

il disco, rispettivamente aperto e chiuso, di centro z0 e raggio r.

Un sottoinsieme A⇢ C verr`a detto aperto se per ogni z02 A esiste > 0 tale che B (z0)⇢ A. Diremo che un sottoinsieme A ⇢ C `e chiuso se il suo complementare C \ A risulta aperto.

Dato un sottoinsieme A⇢ C, un punto z02 C viene detto punto di accumulazione di A se per ogni > 0 l’insieme A\ B (z0) contiene elementi di A distinti da z0. Un punto z02 A viene detto punto isolato di A se non risulta punto di accumulazione per A. Un punto z02 A `e detto punto interno di A se esiste > 0 tale che B (z0)⇢ A.

Un punto z₀2 C verr`a detto punto di frontiera di A se per ogni > 0 il disco B (z0) contiene sia punti di A che punti non appartenenti ad A. Diremo frontiera di A l’insieme @A dei punti di frontiera di A. Ad esempio

@Br(z0) ={z 2 C | |z z0| = r}

Infine, diremo chiusura di un insieme A⇢ C il pi`u piccolo chiuso ¯A contenente A.

Si pu`o provare che

A = A¯ [ @A.

2. Successioni e serie inC

I concetti di successione, di successione convergente e i risultati visti in campo reale possono essere estesi ai numeri complessi ad eccezione dei risultati che sfruttano le propriet`a di ordinamento dei numeri reali. Riportiamo di seguito i principali risultati sulle successioni e sulle serie di numeri complessi.

Consideriamo una successione di numeri complessi (zn)n2N, zn2 C per ogni n 2 N.

Diremo che `2 C `e il limite della successione per n ! +1 e scriveremo

n!+1lim zn= `,

se per ogni " > 0 esiste ⌫ 2 N tale che per ogni n ⌫ risulta |zn `| < " ovvero per ogni n ⌫ risulta z_n 2 B"(`). Diremo in tal caso che la successione (z_n)_n2N converge al limite ` per n! +1.

Osserviamo che una successione di numeri complessi (z_n)_n2N individua due successioni di numeri reali (an)n2N e (bn)n2N essendo zn = an+ ibn, an, bn 2 R, n 2 N.

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Per la definizione data, abbiamo che la successione (zn)n2N risulta convergente se e solo se risultano tali le successioni reali (a_n)_n2N e (b_n)_n2N e risulta

n!+1lim zn= lim

n!+1(an+ ibn) = ` = a + ib () lim_n

!+1an= a e lim

n!+1bn= b.

Potranno quindi estendersi alle successioni in C i Teoremi di unicit`a del limite, sull’algebra dei limiti, sulla limitatezza delle successioni convergenti mentre non potranno essere estesi i Teoremi di confronto ed i concetti di successione monotona in quanto utilizzano l’ordinamento dei numeri reali.

Introduciamo inoltre un concetto che risulter`a fondamentale nel seguito. Una successione (zn)n2N `e detta successioni di Cauchy se verifica la seguente condizione:

8 " > 0 9 ⌫ 2 N tale che |zn z_m| < " 8 n, m ⌫.

Osserviamo che ogni successione convergente risulta successione di Cauchy, ma risultato fondamentale `e che ogni successione di Cauchy inC (ed in particolare in R) risulta convergente. Si dice dunque cheC (ed R) sono spazi metrici completi. Vale difatti

Teorema 1.1. (Criterio di Cauchy)

Una successione (zn)n2N ⇢ C `e convergente se e solo se `e successione di Cauchy.

Data un successione (ak)k2N di numeri complessi, per ogni n 2 N consideriamo l’n-esima somma parziale o ridotta n-esima:

sn:= a1+ a2+ ... + an= Xn k=1

ak, n2 N.

La successione di tali somme parziali (sn)n2N viene detta serie associata alla successione (a_k)_k2N o anche serie di termine generale a_k. Si definisce allora la somma degli infiniti termini della successione (an)n2N come il limite per n ! +1 della successione delle somme parziali. Denoteremo tale limite con

+1

X

k=1

ak:= lim

n!+1sn= lim

n!+1

Xn k=1

ak

e, con un abuso di terminologia, chiameremo tale limite serie o somma per k che va da 1 a +1 di ak. Se il limite esiste finito inC diremo che la serie `e convergente, in tal caso

+1

X

k=1

ak= lim

n!+1sn= s2 C ed il valore s viene detto somma della serie.

Vediamo ora la seguente condizione necessaria alla convergenza di una serie Teorema 1.2. (condizione necessaria)

Se la serie P₊₁

k=1ak risulta convergente allora lim

n!+1an= 0.

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2. SUCCESSIONI E SERIE INC 11 Dim. Indicata con s2 C la somma della serie e con sⁿla ridotta n-esima della serie, dalla definizione per n! +1 risulta

an= sn sn 1! s s = 0

⇤ Come esempio notevole consideriamo la serie geometrica di ragione z2 C:

+1X

k=0

z^k

Si pu`o provare, per induzione, che per ogni n2 N risulta Xn

k=0

z^k= 1 zⁿ⁺¹

1 z

e poich`e

n!+1lim zⁿ= 0 se e solo se |z| < 1

avremo che la serie data risulta convergente se e solo se|z| < 1 ed in tal caso risulta

+1X

k=0

z^k= 1 1 z.

Osserviamo che dal Criterio di Cauchy per la convergenza di una serie abbiamo Teorema 1.3. (Criterio di Cauchy per le serie)

La serie P+1

k=1a_k risulta convergente se e solo se per ogni " > 0 esiste ⌫ 2 N tale che per ogni ⌫ < n m risulta

| Xm k=n

ak| < ".

Data una serieP+1

k=1a_k inC, diremo che tale serie converge assolutamente se risulta convergente la serie reale a termini non negativiP₊₁

k=1|ak|. La convergenza assoluta implica la convergenza semplice, infatti

Proposizione 1.1. Se la serieP+1

k=1ak inC converge assolutamente allora risulta convergente inC e vale:

|

+1

X

k=1

ak| 

+1

X

k=1

|ak|.

Dim. Poich`e la serieP+1

k=1|ak| risulta convergente, dal Criterio di Cauchy abbiamo che la successione delle somme parziali

n= Xn k=1

|ak| risulta successione di Cauchy inR. Osservato inoltre che, posto

sn= Xn k=1

ak,

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risulta

|sn sp| = | Xn k=p+1

ak|  Xn k=p+1

|ak| = n p 8p  n 2 N,

avremo che anche la successione delle somme parziali (sn)n2Nrisulta successione di Cauchy inC e dunque convergente.

Essendo inoltre|sⁿ|  ⁿper ogni n, passando al limite per n! +1 otteniamo

| X1 k=0

ak|  X1 k=0

|a^k|

⇤ Ad esempio, osserviamo che la serie geometrica di ragione z 2 C risulta assolutamente convergente se|z| < 1.

Utilizzando il concetto di convergenza assoluta si ottengono i seguenti risultati che ci permetteranno di stabilire se una data serie risulta convergente. Abbiamo innanzitutto

Teorema 1.4. (Criterio del confronto)

Siano (an)n2N⇢ C e (bn)n2N ⇢ R successioni tali che |an|  bn per ogni n2 N. Se la serie

X+1 n=1

bn converge allora la serie

+1X

n=1

an converge (assolutamente).

Dim. La dimostrazione segue dal Teorema sulla convergenza assoluta di una serie e dal criterio del

confronto per successioni reali. ⇤

Ricordiamo alcune serie reali che potranno essere utilizzate come serie di confronto.

Abbiamo gi`a visto la serie geometrica di ragione x2 R X+1

k=0

x^k

che risulta convergente se e solo se|x| < 1, altra serie notevole `e la serie armonica generalizzata

+1

X

n=1

1 n^p che risulta convergente solo se p > 1.

Dal criterio del confronto si ottengono i seguenti criteri Teorema 1.5. (Criterio del rapporto)

Sia (an)_n2N una successione in C tale che esiste

n!+1lim

|an+1|

|an| = `.

Allora, se ` < 1 la serieP₊₁

n=1a_n converge (assolutamente) mentre se ` > 1 la serie P₊₁

n=1an non converge.

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2. SUCCESSIONI E SERIE INC 13 Dim. Dal criterio del rapporto per successioni reali positive abbiamo che se ` < 1 allora esistono

⌫2 N, A > 0 e 0 < b < 1 tali che |an|  Abⁿper ogni n ⌫. Dal criterio del confronto per le serie, osservato che la serie geometrica realeP+1

n=1bⁿconverge, otteniamo che la serieP+1

n=1anconverge (assolutamente).

Se invece ` > 1, preso 0 < " < ` 1, dalla definizione di limite avremo che esiste ⌫ 2 N tale che ^|a_|aⁿ⁺¹_n_|^| > ` " per ogni n ⌫. Essendo ` " > 1, otteniamo che |an+1| > |an| per ogni n ⌫ e dunque che la successione (|aⁿ|)ⁿ2Nrisulta strettamente crescente per n ⌫. In particolare otteniamo che la successione (an)_n2Nnon `e infinitesima e dunque, dalla condizione necessaria alla

convergenza, che la serie non converge. ⇤

Si ha inoltre

Teorema 1.6. (Criterio della radice) Sia (an)_n2N una successione in C tale che esiste

n!+1lim pn

|an| = ` < 1.

Allora, se ` < 1 la serieP₊₁

n=1an converge (assolutamente) mentre se ` > 1 la serie P+1

n=1an non converge.

Dim. Se ` < 1, sia 0 < " < ` 1. Dalla definizione di limite esiste allora ⌫ 2 N tale che 0 pⁿ

|an| < ` + " per ogni n ⌫. Posto b = ` + ", risulta b2 (0, 1) e 0  |an| < bⁿ per ogni n ⌫. Poich`e la serie geometrica realeP+1

n=0bⁿ`e convergente, dal criterio del confronto anche la serie data converge.

Se invece ` > 1, preso 0 < " < ` 1, dalla definizione di limite sia ⌫2 N tale che pⁿan> ` " per ogni n ⌫. Allora, essendo ` " > 1 avremo che|an| > 1 per ogni n ⌫ e la successione (an)n2N

non sar`a infinitesima. Per la condizione necessaria alla convergenza, la serie non converge. ⇤ Riguardo alle operazioni tra serie, si pu`o provare, utilizzando la definizione, che se P₊₁

k=1a_k eP₊₁

k=1b_ksono serie inC convergenti rispettivamente alle somme a, b 2 C, allora la serieP₊₁

k=1(ak+ bk) risulta convergente alla somma a + b. Possiamo inoltre provare

Teorema 1.7. (prodotto di serie) Se P₊₁

k=0ak e P₊₁

k=0bk sono serie in C convergenti assolutamente rispettivamente alle somme a, b2 C, allora la serie prodotto

X1 k=0

c_k, dove c_k= Xk n=0

anb_{k n} 8k 2 N^⇤, (1)

converge al prodotto ab.

Se le serie risultano convergenti scriveremo allora

+1

X

k=0

ak·

+1

X

k=0

bk:=

+1

X

k=0

ck

dove i termini ck sono definiti in (1).

(14)

Infine vediamo il concetto di riordinamento di una serie. Sia (kn)n2Nuna successione tale che l’applicazione n7! knrisulti biuonivoca daN ad N. Data una serieP₁

n=1a_n e posto ˜an= akn, n2 N, la serieP₁

n=1˜an`e detta riordinamento della serieP₁

n=1an. Vale allora il seguente risultato

Teorema 1.8. (Riordinamento di una serie) Se P₁

n=1a_n `e una serie assolutamente convergente, allora ogni suo riordinamento P₁

n=1a˜n converge e converge alla medesima somma.

3. Serie di potenze Consideriamo la serie geometrica di ragione z2 R:

+1

X

n=0

zⁿ

Da quanto visto, tale serie converge (assolutamente) per|z| < 1 e non converge per

|z| 1. Inoltre, per ogni |z| < 1 risulta

+1

X

n=0

zⁿ= 1 1 z

La precedente serie `e un esempio di serie di potenze secondo la seguente definizione.

Data una successione di numeri complessi (a_n)_n2N⇤ e z₀2 C, si dice serie di potenze di centro z0 e coefficienti an la serie

+1

X

n=0

an(z z0)ⁿ (2)

Chiaramente, una data serie di potenze risulta convergente a seconda della scelta di z2 C. Diremo insieme di convergenza della serie di potenze (2) l’insieme B ⇢ C costituito da tutti i valori z2 C per i quali la serie risulta convergente.

Riconosciamo la serie geometrica come particolare serie di potenze con an= 1 per ogni n2 N e z0= 0, per quanto visto l’insieme di convergenza di tale serie `e il disco apertoB1(0).

Nel seguito ci limiteremo a considerare serie di potenze della forma X+1

n=0

anzⁿ (3)

con centro in z0= 0. Difatti a tale situazione ci si potr`a sempre ricondurre mediante la sostituzione w = z z0.

Come primo risultato, notiamo che ogni serie di potenze della forma (3) risulta convergente nel suo centro, in quanto per z = 0 si haP₊₁

n=0a_nzⁿ= a₀. Vale poi il seguente risultato

(15)

3. SERIE DI POTENZE 15

Teorema 1.9. (di Abel) Se la serie di potenze P₊₁

n=0a_nzⁿ converge per z = z₀ 6= 0 allora la serie converge (assolutamente) in ogni z2 C con |z| < |z0|.

Dim. Per ipotesi la serie numericaP₊₁

n=0anz0ⁿrisulta convergente e quindi, dalla condizione necessaria per la convergenza di una serie, avremo che anz0ⁿ! 0 per n ! +1 da cui, in particolare, che la successione (|aⁿz0ⁿ|) risulta limitata in R.

Sia M > 0 tale che|anz0ⁿ|  M per ogni n 2 N e sia z 2 C tale che |z| < |z0|. Essendo z06= 0, otteniamo

0 |aⁿzⁿ| = |aⁿz0ⁿ||zⁿ|

|zⁿ0| =|aⁿzⁿ0|(|z|

|z0|)ⁿ Mbⁿ dove b = _|z^|z|

0|. La serieP₊₁

0 bⁿ`e serie geometrica (reale) di ragione b2 (0, 1), essendo |z| < |z0|, quindi convergente. Dal criterio del confronto deduciamo allora che la serieP+1

n=0anzⁿ converge

(assolutamente). ⇤

Data la serie di potenze (3), poniamo

⇢ := sup{|z| | z 2 C,

+1X

n=0

anzⁿconverge}

Tale valore, eventualmente pari a +1, `e detto raggio di convergenza della serie di potenze (3).

Dal precedente risultato otteniamo

Teorema 1.10. (sul raggio di convergenza) Data la serie di potenze P+1

n=0anzⁿ, sia ⇢ 2 [0, +1] il suo raggio di convergenza.

Allora:

(i) se ⇢ = 0, la serie converge solo per z = 0;

(ii) se ⇢ = +1, la serie converge (assolutamente) in ogni z 2 C;

(iii) se ⇢2 (0, +1), la serie converge (assolutamente) per |z| < ⇢ e non converge per|z| > ⇢.

Dim. Poniamo

A ={|z| | z 2 C,

+1

X

n=0

anrⁿconverge} e ricordiamo che per definizione ⇢ = sup A.

(i) Per assurdo, supponiamo che esista z 2 C con z 6= 0 tale cheP+1

n=0anzⁿ risulti convergente.

Allora|z| 2 A e quindi, per definizione ⇢ |z| > 0, contro l’ipotesi ⇢ = 0.

(ii) Sia z2 C, z 6= 0. Essendo sup A = +1, avremo che |z| non `e maggiorante di tale insieme e quindi che esiste z02 C con |z| < |z0| tale che |z0| 2 A e quindi tale cheP+1

n=0anzⁿ0 converge. Dal Teorema di Abel avremo allora che la serie converge (assolutamente) in z.

(iii) Sia z2 C con |z| < ⇢. Dalla definizione del raggio di convergenza, avremo allora che |z| non `e maggiorante dell’insieme A, e quindi che esiste z02 R con |z| < |z0| tale che |z0| 2 A e dunque tale cheP+1

n=0anz0ⁿconverge. Dal Teorema di Abel avremo allora che la serie converge (assolutamente) in z. Infine, sia z2 C con |z| > ⇢. Dalla definizione del raggio di convergenza, avremo che |z| 62 A

e quindi che la serie non converge in z. ⇤

Quindi, riguardo all’insieme di convergenzaB di una serie di potenzeP₊₁

n=0a_nzⁿdi raggio di convergenza ⇢2 [0, +1] avremo:

(16)

i) se ⇢ = 0 alloraB = {0};

ii) se ⇢ = +1 allora B = C;

iii) se ⇢2 (0, +1) allora B⇢(0)⇢ B ⇢ B⇢(0). Rimane dubbio il comportamento della serie nei punti della frontiera @B⇢(0) ={z 2 C | |z| = ⇢}.

Esempi

• La serie

+1

X

n=0

zⁿha raggio di convergenza ⇢ = 1 e non converge per|z| = 1 e quindi il disco apertoB1(0) `e il suo insieme di convergenza.

• La serie

+1

X

n=0

xⁿ

n2ⁿ, x2 R, ha raggio di convergenza ⇢ = 2, converge per x = 2 e non converge per x = 2. L’intervallo I = [ 2, 2) `e il suo insieme di convergenza.

• La serie X+1 n=0

zⁿ

n² ha raggio di convergenza ⇢ = 1 e converge (assolutamente) per

|z| = 1, essendo tale la serie P₁

n=1 1

n². Il disco chiuso B1(0) `e il suo insieme di convergenza.

I prossimi risultati ci permetteranno di determinare il raggio di convergenza di una data serie di potenze.

Teorema 1.11. (Metodo del rapporto o di D’Alembert) Data la serie di potenze P₊₁

n=0a_nzⁿ con a_n6= 0 per ogni n 2 N. Se esiste

n!+1lim

|an+1|

|an| = `2 [0, +1]

allora il raggio di convergenza della serie `e

⇢ = 8>

><

>>

:

+1 se ` = 0 1/` se `2 (0, +1) 0 se ` = +1 Dim. Per z6= 0 si ha

n!+1lim |an+1zⁿ⁺¹ anzⁿ | = `|z|

Se ` = 0 allora, dal criterio del rapporto la serie converge (assolutamente) per ogni z2 C e dunque

⇢ = +1.

Se ` = +1 allora la serie non converge in ogni z 6= 0 e quindi ⇢ = 0.

Se `2 (0, +1), dal criterio del rapporto la serie converge (assolutamente) per `|z| < 1, ovvero per

|z| < 1/`, e non converge per `|z| > 1, ovvero per |z| > 1/`. Dal Teorema di Abel ne deduciamo

che in questo caso ⇢ = 1/`. ⇤

(17)

4. SVILUPPI IN SERIE DI POTENZE DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI 17

Ad esempio, data la serie X+1 n=0

zⁿ

3ⁿn² risulta

n!+1lim |an+1

an | = lim

n!+1

3ⁿn²

3ⁿ⁺¹(n + 1)² = 1 3

quindi, dal precedente teorema, la serie ha raggio di convergenza ⇢ = 3.

Utilizzando il criterio della radice si pu`o provare, in modo analogo, il seguente risultato.

Teorema 1.12. (Metodo della radice o di Cauchy-Hadamard) Data la serie di potenze P+1

n=0anxⁿ, se esiste

n!+1lim pn

|an| = ` 2 [0, +1]

allora il raggio di convergenza della serie `e

⇢ = 8>

><

>>

:

+1 se ` = 0 1/` se `2 (0, +1) 0 se ` = +1

Ad esempio, data la serie X+1 n=0

zⁿ

3ⁿ² risulta

n!+1lim pn

|an| = lim_n

!+1

1 3ⁿ = 0

quindi, dal precedente teorema, la serie ha raggio di convergenza ⇢ = +1.

4. Sviluppi in serie di potenze di alcune funzioni elementari Ricordiamo che data una funzione reale f (x) derivabile infinite volte in (a, b)⇢ R, per ogni x02 (a, b) possiamo considerarne la serie di Taylor associata

X1 k=0

f^(k)(x0)

k! (x x0)^k.

Osserviamo che una serie di Taylor `e un caso particolare di serie di potenze su cui possiamo testare la precedente teoria. Osserviamo inoltre che la serie di Taylor relativa a f (x) risulta convergente ad f (x) se e solo se il resto Rn(x) = f (x) Pn(x) tende a zero per n ! +1, dove Pn(x) `e il polinomio di Taylor di f (x) di ordine n e centro x0. Per quanto visto nel corso di Analisi Matematica 1, per qualche ⇠ compreso tra x e x0risulta

Rn(x) =f⁽ⁿ⁺¹⁾(⇠)

(n + 1)! (x x0)ⁿ⁺¹, Resto di Lagrange.

(18)

La funzione

f (x) =

(e ^x2¹ se x6= 0 0 se x = 0

`e un esempio di funzione derivabile infinite volte per la quale la corrispondente serie di Taylor con centro x0 = 0 non converge ad f (x) eccetto che in x0 = 0. Infatti risulta f^(k)(0) = 0 per ogni k2 N e dunque

X1 k=0

f^(k)(0)

k! x^k= 0, 8x 2 R.

Dalla formula di Taylor per funzioni di una variabile reale abbiamo i seguenti sviluppi in serie di Taylor centrati in x0= 0.

• Funzione esponenziale: per ogni x 2 R risulta e^x =

X1 k=0

x^k

k! = 1 + x +x² 2 +x³

3! + ...

Infatti, dalla formula di Taylor con resto di Lagrange, per ogni n 2 N esiste ⇠n

compreso tra 0 e x tale che

|e^x Xn k=0

x^k

k!| = | e^⇠ⁿ

(n + 1)!xⁿ⁺¹|  max{1, e^x} |x|ⁿ⁺¹ (n + 1)!

e poich`e _(n+1)!^|x|ⁿ⁺¹ ! 0 per n ! +1, per ogni x 2 R, avremo che la serie P₁

k=0x^k k!

converge a e^x per ogni x2 R. Osserviamo che il raggio di convergenza di tale serie

`e ⇢ = +1, infatti

n!+1lim

1 (n+1)!

1 n!

= lim

n!+1

1 n + 1 = 0

• Funzioni seno e coseno: come nel precedente caso, utilizzando la formula di Taylor con resto di Lagrange, si pu`o provare che per ogni x2 R si ha

sin x = X1 k=0

( 1)^k x^2k+1

(2k + 1)!= x x³

3! + ... e cos x = X1 k=0

( 1)^k x^2k

(2k)! = 1 x² 2 +x⁴

4!+ ...

dove nuovamente il raggio di convergenza delle serie `e ⇢ = +1.

• Funzione logaritmo: per ogni |x| < 1 risulta log(1 + x) =

X1 k=0

( 1)^kx^k+1

k + 1= x x² 2 +x³

3 ...

Infatti, ricordando che 1 1 x =

Xn k=0

x^k+ xⁿ⁺¹

1 x, x6= 1,

(19)

sostituendo x con x si ottiene 1

1 + x= Xn k=0

( 1)^kx^k+ ( 1)ⁿ⁺¹xⁿ⁺¹

1 + x, x6= 1, Integrando tra 0 e x, per x > 1, si ottiene

log(1 + x) = Z x

0

1 1 + tdt =

Xn k=0

( 1)^kx^k+1

k + 1+ ( 1)ⁿ⁺¹ Z x

0

tⁿ⁺¹ 1 + tdt Dunque

| log(1 + x) Xn k=0

( 1)^kx^k+1 k + 1| = |

Z x 0

tⁿ⁺¹

1 + tdt|  max{1, 1

1 + x}|x|ⁿ⁺² n + 2 Se 1 < x  1 avremo che ^|x|_n+2ⁿ⁺² ! 0 per n ! +1, e dunque che la serie P₁

k=0( 1)^{k x}_k+1^k+1 converge a log(1 + x) per ogni 1 < x  1. Osserviamo che il raggio di convergenza della serie `e pari a 1 essendo

n!+1lim

1 n+2

1 n+1

= lim

n!+1

n + 1 n + 2 = 1

• Funzione arcotangente: con ragionamento analogo al precedente esempio, osservato che

D(arctan x) = 1 1 + x² =

Xn k=0

( 1)^kx^2k+ ( 1)ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺²

1 + x, x2 R, integrando si ottiene che per ogni 1 < x 1 risulta

arctan x = X1 k=1

( 1)^kx^2k+1 2k + 1.

• Serie binomiale: per ogni ↵ 2 R e ogni |x| < 1 risulta (1 + x)^↵=

X1 k=0

✓↵ k

◆ x^k

dove ✓

↵ k

◆

= ↵(↵ 1)(↵ 2)...(↵ k + 1) k!

Vediamo ora come dai precedenti sviluppi seguono gli sviluppi di e^z, sin z e cos z, cosh z e sinh z con z2 C.

(20)

Dai precedenti sviluppi e dalla definizione di esponenziale complesso si ottiene che e^ib= cos b + i sin b =

X1 k=0

( 1)^k b^2k (2k)!+ i

X1 k=0

( 1)^k b^2k+1 (2k + 1)!

= X1 k=0

(ib)^2k (2k)! +

X1 k=0

(ib)^2k+1 (2k + 1)! =

X1 k=0

(ib)^k k!

inoltre, dal Teorema sul prodotto di serie si ha eâ+ib= eâeîb=

X1 k=0

a^k k!

X1 k=0

(ib)^k k! =

X1 k=0

c_k

dove

c_k= Xk n=0

aⁿ n!

(ib)^{k n} (k n)!= 1

k!

Xk n=0

✓k n

◆

aⁿ(ib)^{k n}= (a + ib)^k k! . Dunque per ogni z2 C risulta

e^z = X1 k=0

z^k k!

ed il raggio di convergenza della serie `e ⇢ = +1.

Dal precedente sviluppo e dalla definizione di seno e coseno complessi segue che cos z = e^iz+ e ^iz

2 = 1

2 X1 k=0

1

k!((iz)^k+ ( iz)^k)

ed osservato che (iz)^2k+ ( iz)^2k= 2( 1)^kz^2kmentre (iz)^2k+1+ ( iz)^2k+1= 0 per ogni k2 N, otteniamo

cos z = X1 k=0

( 1)^k z^2k

(2k)!, 8 z 2 C.

In modo analogo si ottiene sin z =

X1 k=0

( 1)^k z^2k+1

(2k + 1)!, 8 z 2 C.

Abbiamo inoltre

cosh z =e^z+ e ^z

2 = 1

2 X1 k=0

1

k!((z)^k+ ( z)^k)

ed osservato che (z)^2k+ ( z)^2k = 2z^2k mentre (z)^2k+1+ ( z)^2k+1 = 0 per ogni k2 N, otteniamo

cosh z = X1 k=0

z^2k

(2k)!, 8 z 2 C.

(21)

Analogalmente si prova che sinh z =

X1 k=0

z^2k+1

(2k + 1)!, 8 z 2 C.

Vediamo infine alcuni esempi di come, dai precedenti sviluppi e dalla propriet`a delle serie, `e possibile dedurre lo sviluppo in serie di potenze di alcune funzioni.

• Determiniamo lo sviluppo in potenze di z della funzione ^e^z2_z . Dallo sviluppo di e^z otteniamo

e^z² = X1 k=0

z^2k k!

da cui per z6= 0

e^z² z = 1

z X1 k=0

z^2k k! =

X1 k=0

z^{2k 1} k! .

• Determiniamo lo sviluppo in potenze di z della funzione ^{1 cos z}_z2 . Dallo sviluppo di cos z otteniamo

1 cos z = 1 X1 k=0

( 1)^k z^2k (2k)!=

X1 k=1

( 1)^k z^2k (2k)! =

X1 k=1

( 1)^{k 1} z^2k (2k)!

da cui per z6= 0 1 cos z

z² = 1 z²

X1 k=1

( 1)^{k 1} z^2k (2k)! =

X1 k=1

( 1)^{k 1}z^{2k 2} (2k)! =

X1 n=0

( 1)ⁿ z²ⁿ (n + 1)!.

• Determiniamo lo sviluppo in serie di potenze di centro z0= 2 della funzione ^{z 1}_z . Ricordando che

1 1 + z =

X1 k=0

( 1)^kz^k, 8|z| < 1, otteniamo

1 z = 1

2 1

1 +^{z 2}₂ = 1 2

X1 k=0

( 1)^k(z 2 2 )^k=

X1 k=0

( 1)^k

2^k+1 (z 2)^k

per ogni|^{z 2}₂ | < 1 ovvero per |z 2| < 2. Ne segue allora che per |z 2| < 2 si ha

z 1

z = z 2

z + 1

z = (z 2) X1 k=0

( 1)^k

2^k+1 (z 2)^k+ X1 k=0

( 1)^k

2^k+1 (z 2)^k

= X1 k=0

( 1)^k

2^k+1 (z 2)^k+1+ X1 k=0

( 1)^k

2^k+1 (z 2)^k

= 1 2+

X1 n=1

✓( 1)^{n 1}

2ⁿ + ( 1)ⁿ 2ⁿ⁺¹

◆

(z 2)ⁿ

(22)

e poich`e ^{( 1)}₂n^{n 1}+ ^{( 1)}₂n+1ⁿ = ^{( 1)}₂n+1ⁿ⁺¹, ne concludiamo

z 1

z = 1 2+

X1 n=1

( 1)ⁿ⁺¹

2ⁿ⁺¹ (z 2)ⁿ.

• Determiniamo lo sviluppo in serie di potenze di centro z0 = ⇡i della funzione (z ⇡)e^z. Dallo sviluppo di e^z e dalle propriet`a dell’esponenziale, essendo e^⇡i = cos ⇡ + i sin ⇡ = 1, otteniamo

e^z = e^{z ⇡i}e^⇡i= X1 k=0

(z ⇡i)^k

k! , 8z 2 C.

Ne segue allora che per ogni z2 C risulta (z ⇡)e^z= (z ⇡)

X1 k=0

(z ⇡i)^k k!

= ⇡(1 i) X1 k=0

(z ⇡i)^k

k! (z ⇡i)

X1 k=0

(z ⇡i)^k k!

= ⇡(1 i) X1 k=0

(z ⇡i)^k k!

X1 k=0

(z ⇡i)^k+1 k!

= ⇡(1 i) + X1 n=1

✓⇡(1 i) n!

1 (n 1)!

◆

(z ⇡i)ⁿ

= ⇡(1 i) + X1 n=1

⇡(1 i) n

n! (z ⇡i)ⁿ.

(23)

CAPITOLO 2

Funzioni di variabile complessa

1. Limiti e continuit`a

Sia f (z) una funzione complessa definita in ⌦⇢ C e sia z02 C un punto di accumulazione per ⌦. Diciamo che f (z) ha per limite ` 2 C per z ! z0, e scriveremo

zlim!z0f (z) = `, se per ogni " > 0 esiste > 0 tale che |f(z) `| < " per ogni 0 <|z z0| < , z 2 ⌦.

Identificando C con R² e ponendo z = x + iy, x, y 2 R, potremo scrivere f(z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), dove u, v : ⌦⇢ R²! R rappresentano rispettivamente la parte reale e immaginaria di f (z). Allora posto z0= x0+ iy0, avremo

zlim!z0

f (z) = ` = a + ib () 8>

<

>:

(x,y)!(xlim0,y0)u(x, y) = a

(x,y)!(xlim0,y0)v(x, y) = b

ed i risultati sui limiti di funzioni di due variabili reali (unicit`a, algebra, ecc.) potranno estendersi ai limiti di funzioni di variabile complessa.

Inoltre, se f (z) `e funzione complessa definita in un insieme illimitato ⌦⇢ C, diremo che f (z) tende al limite `2 C per |z| ! +1, z 2 ⌦, e scriveremo lim

|z|!+1f (z) = `, se per ogni " > 0 esiste R > 0 tale che|f(z) `| < " per ogni |z| > R, z 2 ⌦.

Diremo che una funzione complessa f (z) definita in ⌦ ⇢ C `e continua in z0 2 ⌦ se per ogni " > 0 esiste > 0 tale che |f(z) f (z0)| < " per ogni |z z0| < . Osserviamo che dalla definizione di limite, se z02 ⌦ `e punto di accumulazione per

⌦ allora f (z) risulta continua in z₀se e solo se lim

z!z0

f (z) = f (z₀).

Riconosciamo nuovamente che, posto f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), avremo che f (z) risulta continua in z0 = x0+ iy0 se e solo se u(x, y) e v(x, y) risultano continue in (x0, y0).

Ad esempio, le funzioni f (z) = ¯z e f (z) = z² risultano continue in ogni z₀ 2 C essendo continue in R² rispettivamente le funzioni u(x, y) = x e v(x, y) = y e u(x, y) = x² y² e v(x, y) = 2xy. Risulta continua in C la funzione f(z) = e^z essendo

e^x+iy= e^x(cos y + i sin y)

e le funzioni u(x, y) = e^xcos y e v(x, y) = e^xsin y continue inR².

23

(24)

Poich`e si ha che somma, di↵erenza, composizione, prodotto e quoziente di funzioni continue risultano continue nel loro dominio avremo che risultano continue tutte le potenze f (z) = zⁿ, n 2 N, i polinomi, i rapporti di polinomi nel loro dominio, le funzioni seno e coseno.

La funzione f (z) = Arg z risulta continua inC eccetto nei punti del semiasse reale negativo in quanto se x < 0 per y ! 0^± risulta Arg (x + iy)! ±⇡. Ne segue che la funzione logaritmo principale risulta anch’essa continua inC \ {0} eccetto che nei punti del semiasse reale negativo.

2. Successioni e serie di funzioni complesse

Consideriamo una successione di funzioni (fn(z))n2Ndefinite in un sottoinsieme ⌦⇢ C. Si dice che la successione converge puntualmente o semplicemente alla funzione limite f (z) se per ogni z2 ⌦ risulta fn(z)! f(z) per n ! +1, ovvero se per ogni z2 ⌦ e ogni " > 0 esiste ⌫ 2 N (dipendente da z e ") tale che per ogni n ⌫ risulta

|fn(z) f (z)| < ". Ad esempio, abbiamo che la successione di funzioni fn(z) = zⁿ converge alla funzione nulla f (z) = 0 inB1(0).

Ci si chiede se le propriet`a delle funzioni fn(z) vengono ereditate dalla funzione limite f (z). Ad esempio consideriamo la successione di funzioni reali continue f_n(x) = xⁿ. Tale successione converge puntualmente nell’intervallo [0, 1] alla funzione

f (x) =

(0 se 0 x < 1 1 se x = 1

che non risulta continua in x₀ = 1. La condizione di convergenza puntuale non `e dunque sufficiente per garantire la continuit`a della funzione limite.

Introduciamo la seguente condizione di convergenza. Diremo che una successione di funzione (fn(z))n2N converge uniformemente alla funzione limite f (z) in ⌦ ⇢ C se la condizione fn(z)! f(z) per n ! +1 `e verificata “uniformemente” in ⌦, ovvero se per ogni " > 0 esiste ⌫ 2 N (dipendente solo da ") tale che per ogni z 2 ⌦ e ogni n ⌫ risulta|fn(z) f (z)| < ". Osserviamo che se una successione converge uniformemente in ⌦⇢ C allora la successione risulta convergente puntualmente in

⌦. Vale allora il seguente risultato

Teorema 2.1. (sulla continuit`a della funzione limite)

Sia (fn(z))n2N successione di funzioni continue uniformemente convergente alla funzione limite f (z) in ⌦⇢ C. Allora f(z) risulta continua in ⌦.

|f(z) f (z0)|  |f(z) f⌫(z)| + |f⌫(z) f⌫(z0)| + |f⌫(z0) f (z0)| < "

e dunque che f (z) risulta continua in z0. ⇤

(25)

3. FUNZIONI OLOMORFE 25

Introduciamo infine analoghi concetti di convergenza per serie di funzioniP₁

n=0fn(z).

Si dice che la serie di funzioniP₁

n=0f_n(z) converge puntualmente (risp. uniformemente) alla somma S(z) in ⌦ se la successione delle somme parziali s_k(z) =P_k

n=0f_n(z) converge puntualmente (risp. uniformemente) a S(z) in ⌦.

Osserviamo che una serie di potenzeP₁

n=0anzⁿ`e serie di funzioni continue fn(z) = a_nzⁿ, convergente puntualmente (e assolutamente) nel disco di convergenzaB⇢(0), essendo ⇢ > 0 il raggio di convergenza della serie. Vale inoltre il seguente risultato Teorema 2.2. (convergenza uniforme delle serie di potenze)

SiaP₁

n=0anzⁿuna serie di potenze e sia ⇢ > 0 il suo raggio di convergenza. Allora per ogni 0 < r < ⇢, la serie converge uniformemente inBr(0).

Dim. Detta A(z) la somma della serie, ogni k2 N risulta A(z)

Xk n=0

anzⁿ= X1 n=k+1

anzⁿ e poich`e la serie converge avremo che il resto k-esimo,P₁

n=k+1anzⁿ, `e infinitesimo per k! +1.

Abbiamo inoltre che per ogni|z|  r e ogni k 2 N

|A(z) Xk n=0

anzⁿ| = | X1 n=k+1

anzⁿ|  X1 n=k+1

|aⁿ||z|ⁿ X1 n=k+1

|aⁿ|rⁿ. Essendo r < ⇢, la serieP₁

n=0anrⁿconverge assolutamente, quindiP₁

n=k+1|an|rⁿ! 0 per k ! +1 e dunque per ogni " > 0 esiste ⌫2 N tale che

X1 n=⌫+1

|an|rⁿ< "

Allora per ogni |z| < r e ogni k ⌫ risulta |A(z) Pk

n=0anzⁿ| < ", ovvero la serie converge

uniformemente ad A(z) inBr(0). ⇤

Dal precedente risultato e dal Teorema 2.1 si ha dunque che la somma di una serie di potenze risulta funzione continua nel disco di convergenza.

3. Funzioni olomorfe

Sia ⌦⇢ C un insieme aperto ed f(z) una funzione complessa definita in un insieme aperto ⌦⇢ C. Si dice che f(z) `e olomorfa o derivabile (in senso complesso) in z02 ⌦ se esiste finito il limite

z!zlim0

f (z) f (z0) z z0 .

Denoteremo tale limite con f⁰(z₀) e lo chiameremo derivata (complessa) di f (z) in z0. Se f (z) `e olomorfa in ogni z0 2 ⌦ diremo che f(z) `e funzione olomorfa in ⌦ e scriveremo f 2 H(⌦).

Ad esempio, la funzione costante f (z) = a per ogni z2 C risulta olomorfa in C con f⁰(z) = 0 per ogni z2 C in quanto risulta

z!zlim0

f (z) f (z0)

z z0 = 0, 8z02 C.

(26)

La funzione f (z) = zⁿ, n2 N, risulta anch’essa olomorfa in C con f⁰(z) = nz^{n 1}, infatti per ogni h2 C, dall’identit`a aⁿ bⁿ= (a b)(a^{n 1}+ba^{n 2}+...+b^{n 2}a+b^{n 1}), risulta

f (z + h) f (z)

h = (z + h)ⁿ zⁿ

h = (z + h)^{n 1}+ z(z + h)^{n 2}+ ... + z^{n 1} e passando al limite per h! 0 otteniamo

f (z + h) f (z)

h ! nz^{n 1}. Osserviamo ora che la condizione

f⁰(z0) = lim

z!z0

f (z) f (z0) z z0 = lim

w!0

f (z0+ w) f (z0)

w .

pu`o essere riscritta come

f (z0+ w) = f (z0) + f⁰(z0)w + o(|w|), per w ! 0.

Identificando C con R², e ponendo z = x + iy, x, y 2 R, potremo pensare alla funzione f (z) = f (x + iy) come funzione di due variabili reali (a valori complessi) che denoteremo, per semplicit`a, con f (x, y). La precedente relazione mostra che, come funzione delle due variabili reali x e y, la funzione olomorfa in z0 = x0+ iy0

risulta di↵erenziabile¹in (x0, y0) essendo

f (x0+ h, y0+ k) = f (x0, y0) + f⁰(z0)(h + ik) + o(p

h²+ k²)

= f (x0, y0) + f⁰(z0)h + if⁰(z0)k + o(p

h²+ k²).

Ne segue in particolare che f (x, y) risulta derivabile parzialmente in (x0, y0) con

@f

@x(x0, y0) = f⁰(z0) e @f

@y(x0, y0) = if⁰(z0) e dunque vale la relazione

@f

@x(x0, y0) + i@f

@y(x0, y0) = 0 (4)

1Ricordiamo che una funzione definita in un aperto ⌦⇢ R²a valori reali o complessi `e detta di↵erenziabile in (x0, y0)2 ⌦ se esistono due costanti A, B reali (o complesse) tali che

f (x0+ h, y0+ k) = f (x0, y0) + Ah + Bk + o(p

h²+ k²) per (h, k)! (0, 0) In tal caso f (x, y) risulta derivabile parzialmente in (x0, y0) con

A =@f

@x(x0, y0) e B =@f

@y(x0, y0)

(27)

3. FUNZIONI OLOMORFE 27

Viceversa, se f (x, y) `e funzione delle due variabili reali x e y di↵erenziabile in (x0, y0) per cui risulta verificata la condizione (4), posto z₀= x₀+ iy₀e w = h + ik, risulta

f (z0+ w) = f (x0+ h, y0+ k)

= f (x0, y0) +@f

@x(x0, y0)h +@f

@y(x0, y0)k + o(p

h²+ k²)

= f (x₀, y₀) +@f

@x(x₀, y₀)(h + ik) + o(p

h²+ k²)

= f (z0) +@f

@x(x0, y0)w + o(|w|).

e la funzione di variabile complessa f (z) = f (x + iy) = f (x, y) risulta olomorfa in z0= x0+ iy0 con

f⁰(z0) = @f

@x(x0, y0) = i@f

@y(x0, y0) Abbiamo dunque provato il seguente risultato

Proposizione 2.1. Una funzione f (z) risulta olomorfa in z0 = x0+ iy0 2 ⌦ ⇢ C se e solo se, considerata come funzione di due variabili reali f (x, y) = f (x + iy), risulta di↵erenziabile in (x0, y0) e vale (4).

Ad esempio, la funzione f (z) = e^z risulta olomorfa in C con f⁰(z) = e^z. Infatti, come funzione di due variabili reali f (z) = f (x + iy) = e^x(cos y + i sin y) risulta di↵erenziabile inR²e soddisfa la condizione (4):

@f

@x(x, y) + i@f

@y(x, y) = e^x(cos y + i sin y) + i[e^x( sin y + i cos y)] = 0 dunque

f⁰(z) =@f

@x(x, y) = e^x(cos y + i sin y) = e^z

La funzione f (z) = ¯z non risulta invece olomorfa inC in quanto f(z) = f(x + iy) = x iy risulta di↵erenziabile in R² ma non soddisfa la condizione (4):

@f

@x(x, y) + i@f

@y(x, y) = 1 + i[ i] = 26= 0

Osserviamo inoltre che denotate con u(x, y) e v(x, y) rispettivamente la parte reale e immaginaria di f (x + iy):

f (x + iy) = f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y),

tali funzioni risultano a valori reali e dal precedente risultato abbiamo che f (z) risulta olomorfa in z₀= x₀+ iy₀se e solo se u(x, y) e v(x, y) risultano di↵erenziabili in (x0, y0) e, dalla condizione (4), verificano

@u

@x(x0, y0) + i@v

@x(x0, y0) = i@u

@y(x0, y0) +@v

@y(x0, y0)