Radiazione di una carica in moto Casi dell'accelerazione parallela e

Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Anno Accademico 2020/2021

Elettromagnetismo

Radiazione di una carica in moto Casi dell'accelerazione parallela e

perpendicolare alla velocità Stabilità dell'atomo classico

Acceleratori di particelle

Lezione n. 44 – 1.06.2021

Energia radiata dal dipolo oscillante

• Calcoliamo in vettore di Poynting

• L'intensità dell'onda si ottiene mediando su un ciclo

• L'intensità dipende dall'angolo polare

• A distanza L fissata dall'origine l'intensità ha l'andamento

• La lunghezza del vettore è proporzionale a <S>

Energia radiata dal dipolo oscillante

• La potenza radiata attraverso una superficie sferica di raggio r si trova calcolando il flusso del vettore di Poynting

• In definitiva

Cielo blu, sole al tramonto rosso

• La formula appena trovata ci permette una comprensione qualitativa dei seguenti fatti

• In una giornata di sole il cielo è blu

• Al tramonto il sole è rosso

• Per una spiegazione più rigorosa occorre studiare la diffusione della di un'onda elettromagnetica (scattering)

• Consideriamo un raggio luminoso

• Il campo elettrico oscilla in un piano perpendicolare al raggio

• Gli elettroni atomi dell'aria oscillano (dipoli)

• Emettono maggiormente a frequenza più alte

• Un osservatore vede luce diffusa blu

• Le oscillazioni lungo la linea di visione non emettono nella direzione dell'osservatore

• L'osservatore vede luce polarizzata

• Al tramonto la luce trasmessa percorre un tratto di atmosfera più spesso

• La luce trasmessa viene diffusa di più e perde gran parte della componente blu

• Diventa rossa

Filtri polarizzatori in fotografia

Radiazione di una carica puntiforme

• Nella diapositiva abbiamo calcolato i campi di una carica in movimento

• Abbiamo già notato che il campo ha due componenti

• Un campo di velocità che dipende da

1/r

• Un campo di accelerazione che dipende da

1/r

• Questa parte è quella che da luogo alla radiazione

• Concentriamoci pertanto sulla componente di accelerazione

• Studieremo il campo di radiazione in alcune situazioni interessanti ma semplici abbastanza da permettere di semplificare la formula

4871429

origine punto di

osservazione

Radiazione di una carica puntiforme

• Una prima condizione che studiamo è quella di un moto non relativistico

• Assumiamo che la velocità della particella sia trascurabile v  c, β  1

• Da ora in poi assumiamo che le quantità siano tutte ritardate ed eliminiamo la notazione

[ ]

• Ricordiamo che il campo magnetico è

• Calcoliamo il vettore di Poynting

• Osserviamo che il vettore di Poynting è parallelo al vettore

• "Punta" verso la posizione ritardata della particella

origine punto di osservazione

Radiazione di una carica puntiforme

• Calcoliamo

• Osserviamo che

• Inoltre (vedi diapositiva )

• Otteniamo

• Consideriamo la posizione ritardata

r

(t

)

• Consideriamo la radiazione che attraversa una sfera centrata in

r

(t

)

R(t

)

• Chiamiamo

θ

a

e la direzione ritardata 4801428

origine punto di

osservazione

Radiazione di una carica puntiforme

• La potenza che attraversa una superficie è

• Vista dalla superficie della sfera la carica irraggia in modo analogo al dipolo

• La figura a "ciambella" con asse l'accelerazione

• La potenza totale si calcola integrando

• L'integrale è elementare e conduce alla famosa formula di Larmor

• In accordo con l'espressione per il dipolo (vedi ) con

origine punto di osservazione

5131116

Radiazione nel caso di v e a parallele

• Consideriamo adesso il caso in cui

a

v

c

• Ricordiamo la formula per il campo elettrico di radiazione

• Poiché

a

v

• Osserviamo (e ricordiamo) che

• Sviluppiamo il prodotto triplo

• Ricordiamo che

• Pertanto

• Inseriamo nell'espressione per

E

Radiazione nel caso di v e a parallele

• Avevamo ricavato una formula per il vettore di Poynting (ricordiamo che era )

• Calcoliamo il quadrato di

E

• Sviluppiamo il quadrato

• Il vettore di Poynting è pertanto

• Infine

La velocità β non è più trascurabile: è presente g

Radiazione nel caso di v e a parallele

• Esaminiamo la formula trovata

• Somiglia molto alla formula non relativistica

• C'è una fondamentale differenza

• Il denominatore

g

• Prima studiare l'effetto di questo termine notiamo una sottile circostanza

• L'espressione di

dP/dΩ

t

• Fornisce il tasso di emissione sulla sfera di raggio

R(t

)

• Se siamo interessati al tasso di emissione al tempo

t

("sulla carica") dobbiamo applicare una correzione

• Calcoliamo la derivata (vedi diapositiva )

• Otteniamo infine

origine

punto di osservazione

4791427

Radiazione nel caso di v e a parallele

• Il fattore

g

• Per velocità non relativistiche

(β → 0)

• Osserviamo che la direzione del moto e dell'accelerazione coincidono e costituiscono un asse di simmetria del problema

• La radiazione è emessa simmetricamente intorno alla traiettoria

• Vale anche nel caso relativistico

Radiazione nel caso di v e a parallele

• Quando la velocità non può essere trascurata il

denominatore concentra la radiazione a piccoli angoli

• Il numeratore comunque rende nulla la radiazione emessa in avanti

• La quantità totale di energia emessa dipende dalla velocita

• Per trovare la potenza totale occorre integrare su tutto l'angolo solido

posto

cosθ = x

Caso di v e a perpendicolari

• Il caso di velocità e accelerazione perpendicolari è un altro caso importante

• Ad esempio in un moto circolare come negli acceleratori

• In questo caso non esiste un asse di simmetria

• Assumiamo che

a

v

• In particolare

• Il punto di osservazione

r

• Ricordiamo la formula per la distribuzione della radiazione nel caso generale

• Un calcolo un po' lungo porta alla seguente espressione

Caso di v e a perpendicolari

• Consideriamo prima di tutto il limite non relativistico

(β → 0)

• Se chiamiamo

α

• Ritorniamo pertanto alla "ciambella" non relativistica

Caso di v e a perpendicolari

• Veniamo al caso relativistico

• La figura mostra la forma della distribuzione della radiazione

• Anche in questo caso per chiarezza è mostrata solo metà della distribuzione

•

•

(v || a)

γ

Stabilità dell'atomo di idrogeno

• Consideriamo il modello classico dell'atomo di idrogeno

• Un elettrone di massa

m

–e

r

• Al centro un nucleo di massa infinita che genera un campo coulombiano

• Dall'equazione del moto circolare uniforme

• Il moto è non relativistico

• L'energia dell'elettrone è

• Durante il suo moto l'elettrone irraggia e perde energia

• Il raggio diminuisce

• La variazione di energia dovuta alla diminuzione del raggio deve essere

Stabilità dell'atomo di idrogeno

• Ricordiamo la formula di Larmor

• Uguagliando (attenzione ai segni)

• Ricaviamo

dt

• Calcoliamo il tempo necessario perché il raggio passi da

r

0

• Nell'atomo classico l'elettrone "cade" nel nucleo in

13 ps !!

Acceleratori di particelle

• Per accelerare una particella carica occorre un campo elettrico

• Poco pratico:

• Per raggiungere elevate energie occorrono tensioni elevatissime

• 1 milione di volt per 1 MeV

• LHC raggiunge energie oltre i 6.5 TeV

• 1 TeV = 10¹² eV = 10⁶ MeV

− + − + − + − + − + − +

0 KV 100 KV 200 KV 300 KV 400 KV 500 KV 600 KV

Acceleratori di particelle

• Si fa in modo che il potenziale acceleratore viaggi con la particella

• Il potenziale che viaggia è un’onda elettromagnetica

• Il campo elettrico deve essere longitudinale

• La velocità dell’onda e della particella devono essere uguali

• Cavità risonanti: immagazzinano tanta energia ( ρ ~ |E|² )

• Limitato dall’emissione di elettroni dalle pareti

− +

−50 KV +50 KV

− +

−50 KV +50 KV

− +

−50 KV +50 KV

− +

−50 KV +50 KV

− +

−50 KV +50 KV

− +

−50 KV +50 KV

Cavità acceleratrici LEP

Acceleratori lineari

• Per costruire un acceleratore si possono disporre tante cavità acceleratrici in serie ( Acceleratore Lineare )

• L’Acceleratore Lineare PEP II di SLAC (Stanford, California): fino a 9 GeV

• L'acceleratore SLC, sempre a SLAC: fino a 45 GeV