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Esercizio Siano p, q naturali, 0 ≤ p < q. Calcolare Z
∞−∞
x
2p1 + x
2qdx.
Soluzione. Sia f (z) :=
1+zz2p2q, z ∈ C. Osserviamo che (i) |f (z)| = O(
|z|12) per z → ∞,
(ii) il denominatore 1 + z
2qsi annulla sulle radici 2q-esime di −1 che sono
z
j:= exp
iπ 2j + 1 2q
, j = 0, . . . 2q − 1.
(iii) Ogni z
j`e una radice semplice di z
2q+ 1.
Pertanto abbiamo Z
∞−∞
x
2p1 + x
2qdx = 2πi X
ℑzj>0
Res (f, z
j)
= 2πi
q−1
X
j=0
z
j2p2qz
j2q−1= −i π q
q−1
X
j=0
z
j2p+1.
Resta da calcolare P
q−1j=0
z
j2p+1. Per questo conviene porre α := π 2p + 1
2q e β := e
iα. Si calcola allora
q−1
X
j=0
z
j2p+1= β
q−1
X
j=0
β
2j= β β
2q− 1
β
2− 1 = −2
β −
β1= −2
e
iα− e
−iα= − 1 i
1 sin α .
In conclusione
Z
∞−∞
