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3. Cosa si pu` o dire di una funzione intera f tale che per qualche R > 1 si ha |f (z)| ≤ log |z| per ogni |z| > R.

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Academic year: 2021

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(1)

Funzioni di Variabile complessa 29.9.2010

Si risolvano il maggior numero possibile fra i seguenti esercizi:

1. Se f (z) = 1 2 z + 1 z , al variare di R > 0, si determini l’immagine mediante f della circonferenza di raggio R centrata nell’origine.

2. Sia f una funzione olomorfa non costante su un aperto A ⊂ C e sia D ⊂ D ⊂ A un aperto connesso limitato tale che |f (z)| ` e costante su ∂D. Dimostrare che f ha uno zero in D.

3. Cosa si pu` o dire di una funzione intera f tale che per qualche R > 1 si ha |f (z)| ≤ log |z| per ogni |z| > R.

4. Sia f una funzione intera tale che per ogni x, y ∈ R si ha che f (x) ∈ R e f (iy) ∈ iR.

(i) Dimostrare che le funzioni definite da

g(z) = f (z) e h(z) = −f (−z)

sono funzioni intere

(ii) Dimostrare che g(z) = f (z) = h(z) per ogni z ∈ C e concludere che f `e dispari (ossia f (z) = −f (−z) per ogni z ∈ C).

5. Siano φ(z) una funzione intera f (z) una funzione meromorfa su C. Posto z n = 2n e w n = 2n − 1 per ogni intero n > 0, si supponga che gli zeri di f siano i punti z n esattamente con molteplicit` a n per ogni n e che i poli di f siano i punti w n esattamente di ordine n per ogni n. Calcolare

I r = 1 2πi

Z

|z|=

52

φ(z) f 0 (z)

f (z) dz.

Riferimenti

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