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Corso di Introduzione alla Topologia Algebrica - a.a. 2005-2006 Prova scritta del 13.2.2006 1. Siano D

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Corso di Introduzione alla Topologia Algebrica - a.a. 2005-2006 Prova scritta del 13.2.2006

1. Siano D 1 e D 2 due copie del disco unitario in C. Siano h 1 e h 2 interi positivi. Indichiamo con ϕ i : ∂D i → S 1 la mappa definita da ϕ i (ζ) = ζ h

i

. Sia X il CW-complesso ottenuto attaccando D 1 e D 2 a S 1 tramite ϕ 1 e ϕ 2 . Calcolare il gruppo fondamentale di X. Dire per quali valori di h 1 e h 2 lo spazio X ` e omeomorfo, o omotopicamente equivalente, a una superficie chiusa.

2. Sia X uno spazio topologico. Mostrare che H k (X × S 1 ) ` e isomorfo a H k (X) ⊕ H k−1 (X) per

ogni k. Generalizzare questo risultato a H k (X × S n ).

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