17 Marzo 2008 1. Nell’anello Z 11 [x] si considerino i polinomi

17 Marzo 2008 1. Nell’anello Z 11 [x] si considerino i polinomi

f (x) = x ³ − 2x e g(x) = 2x ³ − x ² − 4x + 2.

Posto I := hf (x)i e J := hg(x)i:

i) si calcoli l’ideale somma R := I +J e se ne determini il generatore monico;

ii) si dica se l’ideale R ` e massimale, motivando la risposta;

iii) si determini la cardinalit` a dell’anello quoziente ^Z

_R ^[x] ;

iv) si determini, se esiste, l’inverso moltiplicativo di R + x in ^Z

_R ^[x] .

2. Si consideri l’applicazione f : Z → Mat(2, Z) tale che, per ogni z ∈ Z:

z 7→

 0 z 0 0

 .

i) Si dica se f ` e un omomorfismo di anelli, motivando la risposta.

ii) f (Z) `e un ideale sinistro di Mat(2, Z)? E’ ideale destro?

3. Si considerino gli Z-moduli M = Z 25 ⊕ Z 4 e N = Z 25 ⊕ Z 4 ⊕ Z ⊕ Z.

i) Si determinino gli annullatori Ann(M ) e Ann(N ).

ii) Si determinino i sottomoduli di torsione di M e N rispettivamente.

iii) Si dica se M e Z 100 sono isomorfi, come Z-moduli. Si motivi la risposta.

4.

i) In Mat 2 (Q) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:

 0 −5

1 0

 ,

 1 12 0 1

 ,

 −21 0

0 7



; ii) per ciascuna delle seguenti matrici di Mat m,n (Q):

 1 −2 4

−3 0 2

 ,





−3 2 1

−2 1 2

1 4 −1



 ,

 5 10 2 4



si calcoli la dimensione del sottospazio generato dalle righe e del sottospazio generato dalle colonne, il rango e la forma normale in Mat _m,n (Q);

iii) per ciascuna delle matrici in ii) si calcoli la forma normale in Mat m,n (Z).

7 Aprile 2008 1. Nell’anello Z 11 [x], si considerino i polinomi

f (x) = x ² + 1 e g(x) = x ² + 4x − 1.

i) Si dica se gli ideali I[x] e J [x], generati rispettivamente da f (x) e da g(x), sono massimali oppure no, motivando la risposta;

ii) si determini l’ideale somma I[x] + J [x] e se ne determini il generatore monico;

iii) si dica se gli anelli A := ^Z _I[x]

^[x] e B := ^Z _{J [x]}

^[x] sono isomorfi, motivando la risposta;

iv) esistono divisori dello zero nell’anello A? E nell’anello B? In caso affer- mativo, se ne indichi qualcuno.

2. Si determinino tutte le soluzioni del seguente sistema di congruenze lineari in Q[x]:

 X ≡ (4x ³ − 1)(mod x − 1) X ≡ (2x − 7)(mod x ² + 1)

3. Siano R un anello commutativo e M e N due R-moduli sinistri. Sia poi f : M → N un R-omomorfismo.

Si provi che se H ` e un sottomodulo di M , allora:

i) f (H) ` e un sottomodulo di N ; ii) f ⁻¹ (f (H)) = H + Ker f .

4.

i) In Mat ₂ (Q) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:

 0 −10

5 0

 ,

 1 −2

0 1

 ,

 −15 0

0 3



; ii) per ciascuna delle seguenti matrici di Mat _m,n (Q):

 2 −2 4

−6 6 −12

 ,





−2 1 3

4 0 −5

1 4 −1



 ,

 4 −4 8 −7



si calcoli la dimensione del sottospazio generato dalle righe e del sottospazio generato dalle colonne, il rango e la forma normale in Mat _m,n (Q);

iii) per ciascuna delle matrici in ii) si calcoli la forma normale in Mat m,n (Z).

23 Giugno 2008

1. Siano a ∈ A, anello commutativo, e hai l’ideale principale generato da a. Si dimostri che hai = A se e solo se a ha inverso.

2. Nell’anello Z 2 [x] dei polinomi a coefficienti in Z 2 , si consideri l’ideale principale I = hf (x)i generato da f (x) = x ³ + x ² + x + 1.

i) Si scrivano gli elementi dell’anello quoziente A = ^Z

_I ^[x] e si dica se A ` e un campo, motivando la risposta.

ii) Esiste, in A, l’inverso di I + x ² + x + 1 ? Se s`ı , lo si determini.

iii) Esistono in A divisori dello zero ? Se s`ı , se ne indichi qualcuno.

3. Si consideri l’applicazione ϕ : R ³ → R ² tale che per ogni (a, b, c) ∈ R ³ (a, b, c) 7→ (a + b, a + b + 2c).

i) Si dimostri che ϕ ` e un R-omomorfismo;

ii) si determinino Ker ϕ ed una sua base;

iii) posto H := {(0, b, c) | b, c ∈ R}, si dica se R ³ = Ker ϕ ˙ +H.

4. In Mat ₃ (Q) si considerino le matrici:

A =





−1 2 0

−2 1 −3

0 −1 −1



 e B =





3 1 0

0 −2 1

0 2 −5



 .

i) Si calcolino le aggiunte ad A, ad B e, se esistono, A ⁻¹ e B ⁻¹ ; ii) si determinino la forma normale di A e quella di B.

iii) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 5 0 0 1 0 0 0 1



 ,





1 0 0

0 1 0

0 −3 1



 ,





1 0 0 0 2 0 0 0 3



 ,





0 1 0 0 0 1 1 0 0



 ,





0 1 0 1 0 0 0 0 1



 .

iv) Dette A 1 , A 2 , A 3 le colonne di A, si scriva una matrice P tale che le

colonne di AP siano A 1 , 2A 1 + A 2 , A 3 .

10 Luglio 2008

1. Nell’anello Z 3 [x] dei polinomi a coefficienti in Z 3 , si dica se l’ideale generato da 2x ² + 2x − 2 coincide con l’ideale I generato da x ² + x − 1.

i) Si scrivano gli elementi dell’anello quoziente A = Z 3 [x]

I

e si dica se A ` e un campo, motivando la risposta.

ii) Esiste, in A, l’inverso di I + 2x + 1 ? Se s`ı , lo si determini.

iii) Esistono in A divisori dello zero ? Si motivi la risposta.

2. Si consideri la funzione f : Z → Z 3 ⊕ Z 13 tale che, per ogni z ∈ Z, z 7→ ([z] 3 , [z] 13 ).

i) Si provi che f ` e un omomorfismo di anelli;

ii) si deduca, dal punto precedente, che l’anello Z 39 ` e isomorfo a Z 3 ⊕ Z 13 . 3. Si risolva, se possibile, il seguente sistema di congruenze lineari in Z:

 7x ≡ 3(mod 10) 3x ≡ −1(mod 7).

4. Siano M un modulo sull’anello A, e M ₁ , M ₂ due suoi sottomoduli tali che M = M ₁ + M ₂ . Sia inoltre N un sottomodulo di M e si supponga M 1 ≤ N . Si dimostri che N = M ₁ + (N ∩ M 2 ).

5. In Mat ₃ (Q) si considerino le matrici:

A =





3 −2 1

0 3 −1

1 0 2



 e B =





1 −2 2

0 5 1

3 −1 7



 . i) Si determinino la forma normale di A e quella di B.

ii) Si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 −4 0

0 1 0

0 0 1



 ,





1 0 0 0 1 0 0 5 1



 ,





1 0 0

0 6 0

0 0 −4



 ,





0 1 0 1 0 0 0 0 1



 .

iii) Dette A 1 , A 2 , A 3 le colonne di A, si scriva una matrice P tale che le

colonne di AP siano 5A ₁ + A ₂ − 3A ₃ , A ₂ , A ₃ .

11 Settembre 2008

1. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti razionali si considerino gli ideali

I = {f (x) ∈ Q[x] | f (−5) = 0} e J = {f (x) ∈ Q[x] | f (2) = 0} . i) Si indichi il generatore monico di ciascuno dei seguenti ideali: I, J, I ∩ J ; ii) si dica se gli ideali I e I ∩ J sono massimali, motivando le risposte;

iii) posto R := I∩J si determini, se esiste, l’inverso moltiplicativo di R+x−1 nell’anello ^Q[x] _R .

2. Siano A = Z × Z e H := {(2a, 6b) | a, b ∈ Z}.

i) Si provi che H ` e un ideale bilatero di A;

ii) si scrivano gli elementi dell’anello quoziente _H ^A ;

iii) si provi che la funzione f : A → Mat(2, Z 2 ) tale che per ogni (x, y) ∈ A f (x, y) =

 [x] 2 [0] 2

[0] ₂ [y] ₂



` e un omomorfismo di anelli. Si determini poi il nucleo di f e si dica se si tratta di un epimorfismo, motivando la risposta.

3. Si provi che moduli isomorfi hanno lo stesso ideale annullatore.

4. Si considerino gli Z-moduli

M = Z 3 ⊕ Z 5 ⊕ Z 20 eN = Z 3 ⊕ Z 5 ⊕ Z 20 ⊕ Z.

i) Si determinino gli annullatori Ann(M ) e Ann(N );

ii) si determinino i sottomoduli di torsione di M e di N rispettivamente.

5. In Mat 3 (Z) si consideri la matrice:

A =





2 −3 5

−1 2 0

1 0 2



 . i) Si determini l’aggiunta di A;

ii) si stabilisca se A ` e invertibile, motivando la risposta;

iii) si determini una forma normale N di A e due matrici X, Y ∈ GL(3, Z)

tali che N = XAY .

25 Settembre 2008 1. Nell’anello Mat(2, Q) si consideri il sottoinsieme

A :=

 a 0 c d



| a, c, d ∈ Q

 .

i) Si provi che A ` e un sottoanello. ` E un ideale sinistro ? Si motivi la risposta.

ii) Si provi che l’applicazione f : A → A tale che

 a 0 c d

 7→

 a 0 0 d

 ,

` e un omomorfismo di anello. Si determinino il nucleo e l’immagine di f . 2. Nell’anello Z 3 [x] dei polinomi a coefficienti in Z 3 , si consideri il poli- nomio f (x) = x ² + x − 1 e l’ideale I da esso generato.

i) Si dica se I ` e un ideale massimale, motivando la risposta;

ii) posto K := ^Z

_I ^[x] , si determinino l’ordine e gli elementi di K;

iii) si calcolino gli elementi del gruppo moltiplicativo (K ^∗ , ·, 1 _K ) e si provi che tale gruppo ` e ciclico, indicandone un generatore.

3.

i) Siano A un anello, L e L ⁰ due A-moduli e ϕ : L → L ⁰ un isomorfismo di moduli. Sia inoltre B = {l 1 , l 2 } un sottoinsieme di L. Posto

B ⁰ := {ϕ(l ₁ ), ϕ(l ₂ )}

si dimostri che B ` e una base di L se e solo se B <sup>0</sup> ` e una base di L ⁰ . ii) Nello spazio vettoriale V = Z p 3

sul campo Z p , si considerino i vettori

v 1 =



 0 1 2



 , v 2 =



 3 2 5



 , v 3 =



 1 4 6



 . Si provi che v 1 , v 2 e v 3 sono indipendenti se e solo se p 6= 7.

4. In Mat ₃ (Q) si consideri una forma normale N della matrice

A =





−2 3 1

−1 5 4

0 4 −1





e due matrici X, Y ∈ GL(3, Q) tali che N = XAY .

11 Dicembre 2008

1. Nell’anello R[x] si considerino gli ideali I = hx ² + 1i e J = hx ² − 1i.

i) Si determini un generatore monico dell’ideale somma I + J ;

ii) si dica se gli anelli quoziente A := ^R[x] _I e B := ^R[x] _J sono isomorfi, moti- vando la risposta;

iii) si provi che A ` e isomorfo al campo complesso C.

2. Si determinino tutte le soluzioni del seguente sistema di congruenze lineari in Q[x]:

 X ≡ (2x ³ − 1)(mod x − 2) X ≡ (3x + 5)(mod x ² + 4)

3. Si considerino gli Z-moduli M = Z 16 ⊕ Z 9 e N = Z 16 ⊕ Z 9 ⊕ Z ⊕ Z.

i) Si determinino gli annullatori Ann(M ) e Ann(N ).

ii) Si determinino i sottomoduli di torsione di M e N rispettivamente.

iii) Si dica se M e Z 144 sono isomorfi, come Z-moduli. Si motivi la risposta.

4. Si consideri Q[x] come spazio vettoriale su Q. Dato il sottoinsieme V := a ₀ + a 1 x + a 2 x ² + a 3 x ³ | a ₀ , a 1 , a 2 , a 3 ∈ Q ,

i) si provi che V ` e un sottospazio di Q[x] e se ne determini una base;

ii) si provi che l’applicazione α : V → V tale che

a 0 + a 1 x + a 2 x ² + a 3 x ³ 7→ a ₁ x + a 2 x ² + a 3 x ³

` e un omomorfismo di spazi vettoriali;

iii) si determinino Ker α e Im α e si dica se V = Ker α ˙ +Im α.

5. In Mat ₃ (Q) si consideri la matrice:

A =





−2 1 4

−1 3 2

1 2 −4



 .

Si determini una forma normale N di A e due matrici X, Y ∈ GL(3, Q) tali

che N = XAY .

8 Gennaio 2009 1. Nell’anello Z 13 [x], si considerino i polinomi

f (x) = x ² + 4 e g(x) = x ² + 3x + 1.

i) Si dica se gli ideali I[x] e J [x], generati rispettivamente da f (x) e da g(x), sono massimali oppure no, motivando la risposta;

ii) si determinino l’ideale somma I[x] + J [x] e il suo generatore monico;

iii) si dica se gli anelli A := ^Z _I[x]

^[x] e B := ^Z _{J [x]}

^[x] sono isomorfi, motivando la risposta;

iv) esistono divisori dello zero nell’anello A? In caso affermativo, se ne indichi qualcuno.

2. Si risolva, se possibile, il seguente sistema di congruenze lineari in Z:

 11x ≡ −4 (mod 10) 3x ≡ 2 (mod 7).

3. Si dimostri che ogni dominio euclideo ` e a ideali principali.

4. Si consideri l’applicazione θ : R ² → R ² tale che

 a b

 7→

 a + b 0

 . Si dimostri che ` e lineare. Si determinino:

• il nucleo di θ ed una sua base;

• l’immagine di θ ed una sua base.

5. In Mat ₃ (Z) si consideri la matrice:

A =





2 3 0

−1 1 2

0 1 −2



 . i) Si determini l’aggiunta di A;

ii) si stabilisca se A ` e invertibile, motivando la risposta;

iii) si determini una forma normale N di A e due matrici X, Y ∈ GL(3, Z)

tali che N = XAY .

19 Marzo 2009 1. Nell’anello Z 11 [x], si considerino i polinomi

f (x) = x ² + 3 e g(x) = x ² − 3x + 1.

i) Si dica se gli ideali I[x] e J [x], generati rispettivamente da f (x) e da g(x), sono massimali oppure no, motivando la risposta;

ii) si determinino l’ideale somma I[x] + J [x] e il suo generatore monico;

iii) motivando la risposta, si dica se sono isomorfi gli anelli A := Z 11 [x]

I[x] , B := Z 11 [x]

J [x] ;

iv) esistono divisori dello zero nell’anello B? In caso affermativo, se ne indichi qualcuno.

2. Si risolva, se possibile, il seguente sistema di congruenze lineari in Z:

 7x ≡ −4 (mod 9) 5x ≡ −2 (mod 13).

3. Si considerino gli Z-moduli

M = Z 16 ⊕ Z 9 , N = Z 16 ⊕ Z 9 ⊕ Z ⊕ Z.

. i) Si determinino gli annullatori Ann(M ) e Ann(N ).

ii) Si determinino i sottomoduli di torsione di M e N rispettivamente.

iii) Si dica se M e Z 144 sono isomorfi, come Z-moduli. Si motivi la risposta.

4. In Mat 3 (Q) si consideri la matrice:

A =





1 5 −2

−1 2 0

3 1 −2



 . i) Si determini l’aggiunta di A;

ii) si stabilisca se A ` e invertibile, motivando la risposta;

iii) si determini una forma normale N di A e due matrici X, Y ∈ GL(3, Q) tali che N = XAY .

5. Sia M un D-modulo, dove D ` e un dominio di integrit` a . Si provi che:

i) L’insieme T degli elementi di torsione di M ` e un sottomodulo di M ;

ii) il modulo quoziente ^M _T ` e privo di torsione.

18 Giugno 2009 1. Si dia un esempio di campo.

i) Si dimostri che gli unici ideali di un campo K sono {0 _K } e K.

ii) Si dia un esempio di ideale massimale di Z.

2. Nell’anello Z 3 [x] si consideri l’ideale principale I := hx ² + x + 1i.

i) Si scrivano gli elementi dell’anello quoziente A := Z 3 [x]

I

e si dica se si tratta di un campo, motivando la risposta;

ii) se esiste, si calcoli l’inverso di I + 2x − 1 in A;

iii) nel caso in cui A possieda divisori dello zero, se ne indichi qualcuno.

3. Dati gli Z-moduli

M = Z 3 ⊕ Z 15 , N = Z 45 , si determinino:

• gli annullatori Ann(M ) e Ann(N );

• un elemento di N il cui annullatore sia 5Z.

M ` e isomorfo a N ? 4.

i) In Mat ₃ (Q) si calcolino l’aggiunta, l’inversa e il rango di A =





−5 2 1

2 −2 0

3 −4 3



.

ii) In Mat ₂ (Q), si dimostri che le matrici:

A =

 a ₁₁ a ₁₂ a 21 a 22



, A ⁰ =

 a ₁₁ 7a ₁₁ + a ₁₂ a 21 7a 21 + a 22



sono equivalenti, qualunque siano a ₁₁ , a ₁₂ , a ₂₁ , a ₂₂ ∈ Q.

5. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e siano v 1 e v 2 due vettori

non nulli di V . Si dimostri che v 1 e v 2 sono linearmente indipendenti se e

solo se i sottospazi hv ₁ i e hv ₂ i da essi generati hanno intersezione nulla.

9 Luglio 2009

1. Nell’anello Z 5 [x], siano f (x) = x ³ − 2 e g(x) = x ² + 2.

i) Si dica se gli ideali I e J , generati rispettivamente da f (x) e da g(x), sono massimali oppure no, motivando la risposta;

ii) si determinino l’ideale somma I + J ed il suo generatore monico;

iii) si determini l’ideale I ∩ J ;

iv) motivando la risposta, si dica se sono isomorfi gli anelli A := Z 5 [x]

I e B := Z 5 [x]

J .

2. Sia A un anello e sia Z := {z ∈ A | za = az per ogni a ∈ A} . i) Si dimostri che Z ` e un sottoanello di A;

ii) fissato un elemento ¯ z ∈ Z, si provi che l’insieme I z ¯ := {¯ zx | x ∈ A} ` e un ideale bilatero di A.

3. Si considerino gli Z-moduli M = Z 8 ⊕ Z 9 , N = Z 8 ⊕ Z 9 ⊕ Z.

i) Si determinino gli annullatori Ann(M ) e Ann(N );

ii) si determinino i sottomoduli di torsione di M e N rispettivamente;

iii) esistono, in M , elementi di periodo 2? In caso affermativo, si deter- minino;

iv) si provi che la funzione ϕ : Z → Z 8 ⊕ Z 9 tale che per ogni z ∈ Z z 7→ ([z] ₈ ; [z] ₉ )

` e un epimorfismo di Z-moduli;

v) si deduca dal punto precedente che Z 72 ` e isomorfo, come Z-modulo, a Z 8 ⊕ Z 9 .

4. In Mat ₃ (Z) si consideri la matrice:

A =





−2 1 3

4 0 −2

1 −1 −5



 . i) Si determini l’aggiunta di A;

ii) si stabilisca se A ` e invertibile, motivando la risposta;

iii) si determini una forma normale N di A;

iv) si determinino il rango di A e di A ^t .

5. Sia I un ideale di un anello commutativo R con 1 _R 6= 0 _R . Si provi

che I ` e primo se e solo se l’anello quoziente <sup>R</sup> <sub>I</sub> ` e un dominio di integrit` a.

10 Settembre 2009

1. Nell’anello Z 11 [x] si consideri l’ideale principale I, generato dal poli- nomio f (x) = x ⁴ − 5. Qualora esistano si determinino:

i) un ideale J di Z 11 [x] tale che I ⊂ J ⊂ Z 11 [x];

ii) l’inverso del laterale I + 2x − 1 nell’anello quoziente ^Z

_I ^[x] . 2.

i) Dati due ideali I, J di un anello A, si dimostri che la loro somma I + J := {i + j | i ∈ I, j ∈ J }

` e un ideale.

ii) Siano D un dominio a ideali principali, a, b ∈ D, e sia d un generatore dell’ideale Da + Db. Si dimostri che d = M.C.D.(a, b).

3. Si consideri l’applicazione ϕ : R ³ → R ² tale che per ogni (a, b, c) ∈ R ³ (a, b, c) 7→ (a − 2b, a + b + 3c).

i) Si dimostri che ϕ ` e un R-omomorfismo;

ii) si determinino Ker ϕ ed una sua base;

iii) si determini un complemento di Ker ϕ in R ³ .

4. Si considerino gli Z-moduli M = Z 5 ⊕ Z 6 , N = Z 5 ⊕ Z 6 ⊕ Z.

i) Si determinino gli annullatori Ann(M ) e Ann(N ).

ii) si indichi un elemento m ∈ M il cui annullatore ` e 3Z.

5. In Mat ₃ (Q) si considerino le matrici:

A =





1 −2 1

−3 −2 0

0 1 −1



 e B =





4 −1 0

0 3 −6

−2 −1 3



 . i) Si calcolino le aggiunte ad A, ad B e, se esistono, A ⁻¹ e B ⁻¹ ; ii) si determinino la forma normale di A e quella di B;

iii) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 3 0 0 1 0 0 0 1



 ,





1 0 0 0 1 0 0 5 1



 ,





4 0 0

0 3 0

0 0 −2



 ,





0 1 0 1 0 0 0 0 1



 ,





1 0 0 0 0 1 0 1 0



 .

iv) Dette A 1 , A 2 , A 3 le colonne di A, si scriva una matrice P tale che le

colonne di AP siano 2A ₁ , 3A ₁ − A ₂ , −A ₃ .

24 Settembre 2009

1. Nell’anello Q[x] si consideri l’ideale principale I, generato dal poli- nomio f (x) = x ⁴ − 3.

i) Si dica se I ` e un ideale massimale di Q[x];

ii) si calcoli l’inverso del laterale I + x ² − 1 nell’anello quoziente ^Q[x] _I . 2. Siano D un dominio a ideali principali, a, b ∈ D, e sia d un generatore dell’ideale Da + Db. Si dimostri che d = M.C.D.(a, b).

3. Si consideri l’applicazione ϕ : R ³ → R ² tale che per ogni (a, b, c) ∈ R ³ (a, b, c) 7→ (0, a + b).

i) Si dimostri che ϕ ` e un R-omomorfismo;

ii) si determinino Ker ϕ ed una sua base;

iii) si determini un complemento di Ker ϕ in R ³ . 4. In Mat 3 (Q) si considerino le matrici:

A =





1 −2 1

−4 −8 2

−3 −2 0



 e B =





4 −1 0

−4 1 0

8 −2 0



 .

i) Si calcolino le aggiunte ad A, ad B e, se esistono, A ⁻¹ e B ⁻¹ ; ii) si determinino la forma normale di A e quella di B;

iii) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 0 0 2 1 0 0 0 1



 ,





1 0 0 0 1 4 0 0 1



 ,





1 0 0

0 3 0

0 0 −2



 ,





0 1 0 0 0 1 1 0 0



 ,





1 0 0 0 0 1 0 1 0



 .

iv) Dette A ₁ , A ₂ , A ₃ le colonne di A, si scriva una matrice P tale che le

colonne di AP siano A 1 + A 2 , A 2 + A 3 , −2A 3 .

17 Dicembre 2009

1. Nell’anello Q[x] si consideri l’ideale principale I, generato dal poli- nomio f (x) = x ⁴ − 16.

i) Si dica se I ` e un ideale massimale di Q[x];

ii) si calcoli l’inverso del laterale I + x ² − 1 nell’anello quoziente ^Q[x] _I . 2. Siano D un dominio a ideali principali, a, b ∈ D, e sia m un generatore dell’ideale Da ∩ Db. Si dimostri che m = m.c.m.(a, b).

3. Si consideri l’applicazione ϕ : R ³ → R ² tale che per ogni (a, b, c) ∈ R ³ (a, b, c) 7→ (a − b, 0).

i) Si dimostri che ϕ ` e un R-omomorfismo;

ii) si determinino Ker ϕ ed una sua base;

iii) si determini un complemento di Ker ϕ in R ³ . 4. In Mat 3 (Q) si consideri la matrice:

A =





1 2 0

3 8 0

−3 −2 1



 .

i) Si calcolino la aggiunte ad A e, se esiste, l’inversa A ⁻¹ ; ii) si determinino la forma normale di A;

iii) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 0 0 2 1 0 0 0 1



 ,





1 0 0 0 1 4 0 0 1



 ,





1 0 0

0 3 0

0 0 −2



 ,





0 1 0 0 0 1 1 0 0



 ,





1 0 0 0 0 1 0 1 0



 .

iv) Dette A ₁ , A ₂ , A ₃ le colonne di A, si scriva una matrice P tale che le

colonne di AP siano A 1 − A ₂ , A 2 + A 3 , 5A 3 .

14 Gennaio 2010

1. Nell’anello Z 11 [x] si consideri l’ideale principale I, generato dal poli- nomio f (x) = x ⁴ − 5. Qualora esistano si determinino:

i) un ideale J di Z 11 [x] tale che I ⊂ J ⊂ Z 11 [x];

ii) l’inverso del laterale I + 2x − 1 nell’anello quoziente ^Z

_I ^[x] . 2.

i) Dati due ideali I, J di un anello A, si dimostri che la loro somma I + J := {i + j | i ∈ I, j ∈ J }

` e un ideale.

ii) Siano D un dominio a ideali principali, a, b ∈ D, e sia d un generatore dell’ideale Da + Db. Si dimostri che d = M.C.D.(a, b).

3. Si consideri l’applicazione ϕ : R ³ → R ² tale che per ogni (a, b, c) ∈ R ³ (a, b, c) 7→ (a − 2b, a + b + 3c).

i) Si dimostri che ϕ ` e un R-omomorfismo;

ii) si determinino Ker ϕ ed una sua base;

iii) si determini un complemento di Ker ϕ in R ³ .

4. Si considerino gli Z-moduli M = Z 5 ⊕ Z 6 , N = Z 5 ⊕ Z 6 ⊕ Z.

i) Si determinino gli annullatori Ann(M ) e Ann(N ).

ii) si indichi un elemento m ∈ M il cui annullatore ` e 3Z.

5. In Mat ₃ (Q) si considerino le matrici:

A =





1 −2 1

−3 −2 0

0 1 −1



 e B =





4 −1 0

0 3 −6

−2 −1 3



 . i) Si calcolino le aggiunte ad A, ad B e, se esistono, A ⁻¹ e B ⁻¹ ; ii) si determinino la forma normale di A e quella di B;

iii) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 3 0 0 1 0 0 0 1



 ,





1 0 0 0 1 0 0 5 1



 ,





4 0 0

0 3 0

0 0 −2



 ,





0 1 0 1 0 0 0 0 1



 ,





1 0 0 0 0 1 0 1 0



 .

iv) Dette A 1 , A 2 , A 3 le colonne di A, si scriva una matrice P tale che le

colonne di AP siano 2A ₁ , 3A ₁ − A ₂ , −A ₃ .

14 Gennaio 2010

1. Nell’anello Q[x] si consideri l’ideale principale I, generato dal poli- nomio f (x) = x ⁴ − 16.

i) Si dica se I ` e un ideale massimale di Q[x];

ii) si calcoli l’inverso del laterale I + x ² − 1 nell’anello quoziente ^Q[x] _I . 2. Siano D un dominio a ideali principali, a, b ∈ D, e sia m un generatore dell’ideale Da ∩ Db. Si dimostri che m = m.c.m.(a, b).

3. Si consideri l’applicazione ϕ : R ³ → R ² tale che per ogni (a, b, c) ∈ R ³ (a, b, c) 7→ (a − b, 0).

i) Si dimostri che ϕ ` e un R-omomorfismo;

ii) si determinino Ker ϕ ed una sua base;

iii) si determini un complemento di Ker ϕ in R ³ . 4. In Mat 3 (Q) si consideri la matrice:

A =





1 2 0

3 8 0

−3 −2 1



 .

i) Si calcolino la aggiunte ad A e, se esiste, l’inversa A ⁻¹ ; ii) si determinino la forma normale di A;

iii) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 0 0 2 1 0 0 0 1



 ,





1 0 0 0 1 4 0 0 1



 ,





1 0 0

0 3 0

0 0 −2



 ,





0 1 0 0 0 1 1 0 0



 ,





1 0 0 0 0 1 0 1 0



 .

iv) Dette A ₁ , A ₂ , A ₃ le colonne di A, si scriva una matrice P tale che le

colonne di AP siano A 1 − A ₂ , A 2 + A 3 , 5A 3 .

25 Marzo 2010

1. Nell’anello R[x] si considerino gli ideali I = hx ² +1i e J = hx ² −3x+2i.

i) Si determini un generatore monico dell’ideale somma I + J ; ii) di ciascuno degli anelli quoziente

A := R[x]

I , B := R[x]

J

si dica se ` e un campo e se ` e finito o infinito, motivando la risposta;

iii) si determini, se esiste, l’inverso di J + 2x − 1 in B.

2. Sia D un dominio a ideali principali e sia p ∈ D. Si dimostri che ` e primo se e solo se ` e irriducibile.

3. Siano M un A-modulo e m ₁ ,m ₂ due elementi di M . Si consideri l’insieme

N := {a 1 m 1 + a 2 m 2 | a ₁ , a 2 ∈ A}.

i) Si dimostri che N ` e un sottomodulo di M ; ii) si dica se m 1 ∈ N e se (m ₁ + 2m 2 ) ∈ N .

4. Si consideri Q[x] come spazio vettoriale su Q. Dato il sottoinsieme V := a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² | a ₀ , a ₁ , a ₂ ∈ Q ,

i) si provi che V ` e un sottospazio di Q[x] e se ne determini una base;

ii) si provi che l’applicazione α : V → V tale che a 0 + a 1 x + a 2 x ² 7→ a ₁ x + a 2 x ²

` e un omomorfismo di spazi vettoriali;

iii) si determinino Ker α e Im α e si dica se V = Ker α ˙ +Im α.

5. In Mat 3 (Z) si consideri la matrice:

A =





3 2 −1 0 1 −2 0 0 −1



 . i) Si determini l’aggiunta di A;

ii) si stabilisca se A ` e invertibile, motivando la risposta;

iii) si determini una forma normale N di A su Z;

ii) si determini il rango di A e quello di A ^t .

8 Aprile 2010

1. Nell’anello Z 3 [x] dei polinomi a coefficienti in Z 3 e nell’indeterminata x, si considerino il polinomio g(x) = x ² + 2 e l’ideale principale I = hg(x)i da esso generato.

i) Si determini l’ordine dell’anello A := ^Z

_I ^[x] e si dica se ` e un campo, moti- vando la risposta.

ii) Si scrivano gli elementi di A, distinguendo tra essi gli elementi unitari e i divisori dello zero, nel caso in cui ve ne siano. Si determini inoltre, per ciascun elemento unitario, il relativo inverso.

iii) Si determini, se esiste, un ideale J che sia contenuto propriamente in Z 3 [x] e che contenga propriamente I.

2. Sia D un dominio a ideali principali e sia p ∈ D, con p 6= 0 _D . Si provi che p ` e irriducibile se e solo se Dp ` e massimale.

3. Si considerino i seguenti sottoinsiemi di R ³ , considerato come spazio vettoriale su R:

H := {(a, −a, 0) | a ∈ R} e K := {(2x, 0, −y) | x, y ∈ R}.

i) Si provi che H e K sono sottospazi vettoriali di R ³ .

ii) Considerata l’applicazione f : (x, y, z) ∈ R ³ 7→ (−z, x + 2z, 3y) ∈ R ³ , si provi che f ` e un isomorfismo di spazi vettoriali e si determini f (H).

4. In Mat 3 (Z) si consideri la matrice:

A =





4 −3 −2

−1 1 −3

0 0 1



 .

i) Si determini l’aggiunta di A;

ii) si stabilisca se A ` e invertibile e, in caso affermativo, si determini l’inversa;

iii) si determini una forma normale N di A su Z e due matrici invertibili X

e Y tali che N = XAY .

24 Giugno 2010

1. Nell’anello Z 3 [x] si considerino gli ideali I e J , generati rispettivamente dal polinomio f (x) = x ² − x − 1 e dal polinomio g(x) = x ³ − 2.

i) Di ciascuno di essi si dica se ` e massimali oppure no, motivando la risposta.

ii) Per ciascuno degli anelli quoziente A := Z 3 [x]

I , B := Z 3 [x]

J

si dica se ha divisori dello zero. In caso affermativo, se ne indichi qualcuno.

iii) se esiste, si calcoli l’inverso del laterale J + x ² + 1 in B.

iv) Si determinino l’ideale somma I + J e il suo generatore monico.

2. Si determinino le soluzioni in Q[x] del sistema di congruenze lineari :

 X ≡ (x ³ − 1)(mod x − 2) X ≡ (3x − 2)(mod x ² + 4)

3. Siano R un anello commutativo e A =





1 1 2

−1 2 1

0 1 3



 ∈ Mat ₃ (R).

i) Si calcoli l’aggiunta ad A di A nella’anello Mat 3 (R).

ii) Si trovi l’inversa A ⁻¹ di A in Mat ₃ (R), quando R = Q.

iii) Si spieghi perch` e A non ha inversa in Mat ₃ (R) quando R = Z;

iv) A ha inversa in Mat 3 (R) quando R = Z 2 ?

4. i) Dopo aver verificato che l’applicazione f : (Z, +, 0) → (GL 2 (Z), ·, I) tale che

f (z) :=

 1 0 z 1

 ,

` e un monomorfismo di gruppi, si trovino

 1 0 z 1

 −1

e

 1 0 z 1

 31

. ii) In Mat _2,3 (Z) si calcolino le forme normali ed il rango della matrice

 3 −3 9

−4 4 −12



.

8 Luglio 2010

1. Si consideri la funzione f : Z → Z 5 ⊕ Z 12 tale che, per ogni z ∈ Z, z 7→ ([z] ₅ , [z] ₁₂ ).

i) Si provi che f ` e un omomorfismo di anelli e si determini Ker f ; ii) si deduca che l’anello Z 60 ` e isomorfo a Z 5 ⊕ Z 12 .

2. Nel campo razionale Q Si risolva il sistema







3x + 2y − z = 5 2x + 3y + z = 5 3x + 7y + 4z = 10

mediante il metodo di eliminazione delle variabili di Gauss-Jordan.

3. Nell’anello Mat _n (R) delle matrici n × n su un anello commutativo R, si consideri una matrice non nulla E tale che E ² = 0.

i) Si dimostri che l’applicazione f : (R, +, 0) → (GL n (R), ·, I) tale che f (r) := I + rE

per ogni r ∈ R, ` e un monomorfismo di gruppi.

ii) Si dia un esempio di matrice non nulla E ∈ Mat 3 (R) tale che E ² = 0.

4.

i) Data A ∈ Mat 3 (Q), si scriva una matrice P ∈ GL 3 (Q) tale che le colonne di AP siano

5Ae ₁ − 3Ae ₂ , Ae ₁ − Ae ₃ , 2Ae ₂ dove Ae 1 , Ae 2 e Ae 3 sono le colonne di A;

ii) in Mat ₃ (Q) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 0 0

−5 1 0

7 0 1



 ,





2 1 0

1 4 0

0 0 −3



 ,





0 1 0 0 0 1 1 0 0



 ;

iii) in Mat _3,4 (Z) si calcolino le forme normali ed il rango della matrice





2 3 −1 0

−3 2 0 0

0 −7 −2 −1



 .

9 Settembre 2010

1. Nell’anello Z 13 [x] si consideri l’ideale principale I, generato dal poli- nomio f (x) = x ² + 9.

i) Qualora esista, si determini un ideale J di Z 13 [x] tale che I ⊂ J ⊂ Z 13 [x];

ii) l’anello quoziente ^Z

_I ^[x] ` e un campo? Si motivi la risposta;

iii) qualora esista, si determini l’inverso del laterale I + x + 5 in ^Z

_I ^[x] . 2.

i) Sia A un dominio di integrit` a . Se ne dia la definizione e qualche esempio.

ii) Dati a, b ∈ A \ {0 A }, si provi che Aa = Ab ⇔ b = λa, con λ ∈ A ^∗ . iii) Si dica se 12Z = 3Z e se 12Q = 3Q, motivando le risposte.

3. Si provi che l’applicazione π : Z ⊕ Z → Z tale che (a, b) 7→ b `e un epimorfismo di anelli, e si determini Ker π. Si dimostri inoltre che l’insieme

H := {(0, 2b) | b ∈ Z}

` e un ideale di Z ⊕ Z. Si determinino infine l’ immagine π(H) di H in Z e la preimmagine π ⁻¹ (π(H)) di π(H) in Z ⊕ Z.

4.

i) Data A ∈ Mat ₃ (Q), si scriva una matrice P ∈ GL 3 (Q) tale che le colonne di AP siano

6Ae ₁ − 4Ae ₂ + 5Ae ₃ , 7Ae ₂ − 3Ae ₃ , −4Ae ₁ dove Ae ₁ , Ae ₂ e Ae ₃ sono le colonne di A;

ii) in Mat ₃ (Q) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 0 0

−2 1 0

−4 0 1



 ,





3 1 0

1 2 0

0 0 −5



 ,





1 0 0 0 0 1 0 1 0



 ;

iii) in Mat 3,4 (Z) si calcolino le forme normali ed il rango della matrice





5 2 0 −4

3 0 1 −2

0 −2 −7 −2



 .

23 Settembre 2010

1. Nell’anello Z 3 [x] si consideri l’ideale I generato da x ⁴ + 2, ossia:

I := (x ⁴ + 2)f (x) | f (x) ∈ Z 3 [x] . i) Si dimostri direttamente che I ` e un ideale di Z 3 [x];

ii) I ` e un ideale massimale? Si motivi la risposta;

iii) si consideri l’anello quoziente ^Z

_I ^[x] e si dica quale dei seguenti elementi ammette inverso rispetto al prodotto:

I + x, I + x − 1, I + x ² .

Se l’inverso esiste, lo si determini; altrimenti si giustifichi la risposta.

2. Si consideri ϕ : Z 8 → Z 4 ⊕ Z 2 tale che ϕ ([a] ₈ ) = ([a] ₄ , [a] ₂ ) .

i) Si provi che ϕ ` e ben definita e che ` e un omomorfismo di anelli;

ii) si determinino Ker ϕ e Im ϕ.

3. Nel campo razionale Q si risolva il sistema







x + 2y − 5z + 2t = 15 2x + 4y + 2z − t = 1 3x + 6y − 3z + t = 16

mediante il metodo di eliminazione delle variabili di Gauss-Jordan.

4. In Mat ₃ (Q), si considerino le matrici:

A =





1 −1 3

2 1 4

0 2 −1



 e B =





3 0 2

−1 −2 3

2 −2 5



 . i) Si calcolino le aggiunte ad A, ad B e, se esistono, A ⁻¹ e B ⁻¹ ;

ii) si determinino le forme normali delle matrici date ed il rispettivo rango;

iii) si dica se le matrici A e B sono equivalenti, motivando la risposta.

16 Dicembre 2010

1. Nell’anello Z 5 [x], si considerino gli ideali I e J , generati rispettiva- mente dai polinomi f (x) = x ² + 3 e g(x) = x ² + x + 3.

i) Di ciascuno di essi, si dica se ` e massimale oppure no, motivando la risposta;

ii) si dica se gli anelli quoziente A := ^Z

_I ^[x] e B := ^Z

_J ^[x] sono isomorfi, dan- done spiegazione;

iii) si determinino, se esistono, l’inverso del laterale I + 2x − 3 in A e quello del laterale J + 2x − 2 in B;

iv) si determini l’ideale somma I + J ed il suo generatore monico.

2. Si consideri la funzione f : Z → Z 4 ⊕ Z 13 tale che, per ogni z ∈ Z, z 7→ ([z] ₄ , [z] ₁₃ ).

i) Si provi che f ` e un omomorfismo di anelli e si determini Ker f ; ii) si deduca che l’anello Z 52 ` e isomorfo a Z 4 ⊕ Z 13 .

3. Si dimostri che l’applicazione f : (Z, +, 0) → (GL 2 (Z), ·, I) tale che f (z) :=

 1 z 0 1

 ,

` e un omomorfismo di gruppi. Si dica se ` e iniettiva e se ` e suriettiva.

4.

i) Data A ∈ Mat ₄ (Q), si scriva una matrice P ∈ GL 4 (Q) tale che le colonne di AP siano

3Ae ₁ − 4Ae ₃ + 2Ae ₄ , −Ae ₂ , Ae ₃ − 5Ae ₄ , −7Ae ₃ dove Ae ₁ , Ae ₂ , Ae ₃ e Ae ₄ sono le colonne di A;

ii) in Mat 3 (Q) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 0 0 0 0 1 0 1 0



 ,





1 0 0

0 5 0

0 0 −2



 ,





3 1 0

1 6 0

0 0 −2



 ;

iii) in Mat 4,3 (Z) si determinino una forma normale ed il rango della matrice









2 −4 −1

0 −1 2

1 2 −1

1 −6 0









.

13 Gennaio 2011

1. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti razionali si considerino gli ideali:

I := {f (x) ∈ Q[x] | f (−2) = 0} e J := {f (x) ∈ Q[x] | f (3) = 0} . i) Si indichi il generatore monico di ciascuno dei seguenti ideali: I, J , I ∩ J ; ii) si dica se gli ideali I e I ∩ J sono massimali, motivando le risposte;

iii) posto R := I ∩J si determini, se esiste, l’inverso moltiplicativo di R+x+5 nell’anello quoziente ^Q[x] _R .

2. Si dimostrino le seguenti affermazioni:

i) Sia A un anello e I un suo ideale. Si provi che se 1 _A ∈ I, allora I = A;

ii) gli unici ideali di un campo K sono quelli banali.

3. Si determinino le soluzioni in Q[x] del sistema di congruenze lineari :

 X ≡ (x ³ − 8)(mod x − 1) X ≡ (2x − 5)(mod x ² + 1)

4. Sia A e B due anelli e sia f : A → B un omomorfismo di anelli.

i) Si provi che se S ` e un sottoanello di A, allora f (S) ` e un sottoanello di B;

ii) posto A = Z e B = Z 10 tale che f (z) = [z] ₁₀ , I l’ideale di Z 10 generato da [4] 10 , si determinino Kerf e f ⁻¹ (I).

5. In Mat 3 (Q) si consideri la matrice:

A =





−2 1 −3

−1 5 0

2 −2 1



 . i) Si calcolino l’aggiunta ad A e, se esiste, l’inversa A ⁻¹ ; ii) si determinino una forma normale ed il rango di A;

iii) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 0 0 3 1 0 0 0 1



 ,





1 0 0

0 1 −6

0 0 1



 ,





1 0 0

0 5 0

0 0 −3



 ,





0 1 0 0 0 1 1 0 0



 ,





1 0 0 0 0 1 0 1 0



 .

13 Gennaio 2011

1. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti razionali, si considerino i seguenti ideali:

I := {f (x) ∈ Q[x] | f (−2) = 0} e J := {f (x) ∈ Q[x] | f (3) = 0} . i) Si indichi il generatore monico rispettivamente di I, di J e di I ∩ J ; ii) si dica se I ` e massimale e se I ∩ J ` e massimale, motivando le risposte;

iii) posto R := I ∩ J si dimostri che ad ogni laterale di R in Q[x] appartiene un unico polinomio di grado ≤ 1.

2. Si dimostrino le seguenti affermazioni:

i) Sia A un anello e I un suo ideale. Si provi che se 1 _A ∈ I, allora I = A;

ii) gli unici ideali di un campo K sono quelli banali.

3. Si determinino le soluzioni in Q[x] del sistema di congruenze lineari :

 X ≡ (x ³ − 8)(mod x − 1) X ≡ (2x − 5)(mod x ² + 1)

4. Sia A e B due anelli e sia f : A → B un omomorfismo di anelli.

i) Si provi che se I ` e un ideale di B, allora f <sup>−1</sup> (I) ` e un ideale di A;

ii) posto A = Z, B = Z 10 , sia f : Z → Z 10 l’omomorfismo tale che f (z) = [z] 10 . Detto I l’ideale di Z 10 generato da [4] 10 , si determini f ⁻¹ (I).

5. In Mat ₃ (Q) si consideri la matrice:

A =





−2 1 −3

−1 5 0

2 −2 1



 . i) Si calcolino l’aggiunta ad A e, se esiste, l’inversa A ⁻¹ ; ii) si determinino una forma normale ed il rango di A;

iii) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 0 0 3 1 0 0 0 1



 ,





1 0 0

0 1 −6

0 0 1



 ,





1 0 0

0 5 0

0 0 −3



 ,





0 1 0 0 0 1 1 0 0



 ,





1 0 0 0 0 1 0 1 0



 .

24 Marzo 2011

1. Nell’anello Z 5 [x] si considerino gli ideali I e J , generati rispettivamente dai polinomi f (x) = x ² − x + 1 e g(x) = x ³ − 2.

i) Di ciascuno di essi si dica se ` e massimale oppure no, motivando la risposta.

ii) Si dica se gli anelli quoziente A := Z 5 [x]

I , B := Z 5 [x]

J sono isomorfi, motivando la risposta.

iii) Se esiste, si calcoli l’inverso del laterale J + 2x ² + 1 in B.

iv) Si determinino l’ideale somma I + J e il suo generatore monico.

2. Si determinino le soluzioni in Z del sistema di congruenze lineari :

 4x ≡ 5(mod 9) 3x ≡ −2(mod 4)

3. i) Sia D un dominio a ideali principali e siano d, d ₁ , d ₂ ∈ D tali che d = d 1 d 2 , con M.C.D.(d 1 , d 2 ) = 1 D . Si provi il seguente isomorfismo di anelli:

D

Dd ' D Dd 1

⊕ D

Dd 2

.

ii) Si determini la decomposizione primaria dei seguenti anelli:

Z 14 ⊕ Z 49 ⊕ Z 120 e C[x]

hx ³ − 8i .

4. In Mat 3 (Q) si considerino le matrici:

A =





3 −2 −1

0 −2 1

2 1 0



 e B =





2 −1 0

0 3 −6

−2 4 −6



 .

i) Si calcolino le aggiunte ad A, ad B e, se esistono, A ⁻¹ e B ⁻¹ ;

ii) si determinino la forma normale di A e quella di B.

7 Aprile 2011

1. Nell’anello Z 3 [x] si consideri il polinomio f (x) = x ² + x − 2 e l’ideale principale I = hf (x)i da esso generato.

i) Si determinino l’ordine e gli elementi dell’anello A := ^Z

_I ^[x] ; ii) si scriva (I + x) ⁵ nella forma I + ax + b con a, b ∈ Z 3 ;

iii) se esiste, si indichi un ideale J di Z 3 [x] tale che I ⊂ J ⊂ Z 3 [x].

2. Si provi che l’applicazione f : Z ⊕ Z → Z tale che:

(a, b) 7→ b

` e un epimorfismo di anelli. Dopo aver dimostrato che l’insieme H := {(5a, 0) | a ∈ Z}

` e un ideale di Z ⊕ Z, si determinino f (H) e la sua preimmagine f ⁻¹ (f (H)).

3. Nel campo razionale Q si risolva il sistema







x − 2y + 4z − 3t = 1 2x − y + 2z + t = −2

−x + 5y − 4z + 3t = 3

mediante il metodo di eliminazione delle variabili di Gauss-Jordan.

4. In Mat ₃ (Q) si considerino le matrici:

A =





5 −3 0

2 1 2

0 −11 −10



 e B =





4 −2 −3

1 1 −2

−5 0 −2



 .

i) Si calcolino le aggiunte ad A, ad B e, se esistono, A ⁻¹ e B ⁻¹ ;

ii) si determinino la forma normale di A, quella di B ed i relativi ranghi;

iii) si provi che una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso rango.

23 Giugno 2011

1. Nell’anello Z 2 [x], si considerino il polinomio f (x) = x ³ + x ² + 1 e l’ideale I = hf (x)i, da esso generato.

i) Si calcolino le potenze distinte del laterale I + x, rappresentandole nella forma I + r(x), dove r(x) ∈ Z 2 [x] ha grado ≤ 2;

ii) quanti sono gli elementi dell’anello quoziente ^Z

_I ^[x] ? Esso ` e un campo ? iii) Quale ` e il periodo additivo del laterale I + x ² + 1 ?

2. Nel campo razionale Q si risolva il sistema







3x − 4y + z − 2t = −1 4x + 3y − z + 3t = 2

−2x + 3y − t = 1

mediante il metodo di eliminazione delle variabili di Gauss-Jordan.

3. Si provi che vale il seguente isomorfismo di anelli:

Q[x]

hx ² − 16i

∼ = Q[x]

hx − 4i ⊕ Q[x]

hx + 4i . 4.

i) In Mat 3 (Q), si consideri la matrice

A =





−4 1 −5

3 −3 2

2 −5 −1





e se ne calcolino l’aggiunta, l’eventuale inversa, una forma normale ed il rango;

ii) in Mat ₃ (Q[x]) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 0 4 0 1 2 0 0 1



 ,





−3 0 0

0 −4 0

0 0 2



 ,





1 3x 0

0 1 0

0 0 1



 ,





1 0 0

−x ³ + x 1 0 2x + 3 0 1



 .

11 Luglio 2011 1. Si determinino:

i) gli ideali del campo razionale Q;

ii) 3 ideali distinti dell’anello Q[x];

iii) la somma 4Z + 10Z e l’intersezione 4Z ∩ 10Z degli ideali 4Z e 10Z dell’anello Z dei numeri interi.

2. Si costruiscano un campo K avente 3 elementi e un campo F avente 9 elementi. Il gruppo moltiplicativo F ^∗ degli elementi di F diversi da zero, ha qualche elemento di periodo 8 ? In caso affermativo se ne indichi uno.

3. Si determinino le soluzioni in Q[x] del sistema di congruenze lineari :

 X ≡ 74 (mod x + 3) X ≡ 6x + 1 (mod x ² + 9)

4.

i) Data A ∈ Mat ₃ (Q), si scriva una matrice P ∈ GL 3 (Q) tale che le colonne di AP siano

7Ae ₁ − 2Ae ₃ , −2Ae ₂ , 2Ae ₁ − Ae ₂ dove Ae ₁ , Ae ₂ e Ae ₃ sono le colonne di A;

ii) in Mat ₃ (Z) si determinino una forma normale N ed il rango della matrice A =





3 −5 0

−2 −1 4

1 −6 −4



 . Si trovino X, Y ∈ Gl ₃ (Z) tali che N = XAY .

iii) Si determini, in Mat ₂ (Q[x]), tutte e sole le forme normali ed il rango della matrice

B =

 x x ² − 4x x ² − x 0



.

8 Settembre 2011 1. Si determinino:

i) un ideale massimale e un ideale non massimale dell’anello Z;

ii) gli ideali del campo reale R;

iii) la somma I + J e l’intersezione I ∩ J degli ideali I = hx ² − 5x + 6i, J = hx ² − 4i dell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti razionali.

2. Si costruiscano un campo K avente 2 elementi e un campo F avente 8 elementi. Il gruppo moltiplicativo F ^∗ degli elementi di F diversi da zero `e ciclico ? In caso affermativo se ne indichi un generatore.

3. Nel campo razionale Q si risolva il sistema







2x − 3y − 2z − t = −2 3x − 2y − z + 2t = 1

−x + 4y + 2z − 2t = 3

mediante il metodo di eliminazione delle variabili di Gauss-Jordan.

4.

i) Data A ∈ Mat 3 (Q), si trovi P ∈ GL 3 (Q) tale che le colonne di AP siano 5Ae 1 − 4Ae ₂ , 3Ae 1 − 2Ae ₃ , −8Ae 3

dove Ae 1 , Ae 2 e Ae 3 sono le colonne di A.

ii) In Mat ₃ (Z) si determinino una forma normale N ed il rango di A =





−2 −4 1

1 −1 2

−3 −3 −1



 . Si trovino inoltre X, Y ∈ Gl ₃ (Z) tali che N = XAY .

iii) In Mat 2 (Q[x]), si determinino tutte le forme normali ed il rango di B =

 x ² 2x ² − 4x 5x x ³



.

22 Settembre 2011

1. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti razionali, si dimostri che il sottoinsieme I = {f (x) ∈ Q[x] | f (−3) = 0} `e un ideale;

i) si indichi un generatore di I e si dica se ` e massimale;

ii) si dica se l’ ideale J generato da x ² − 16 ` e massimale, motivando la risposta;

iii) si determinino i rispettivi generatori monici degli ideali I + J e I ∩ J . 2. Nell’anello Z 2 [x] dei polinomi a coefficienti in Z 2 , si consideri l’ideale I generato da f (x) = x ³ + x + 1.

i) Si dica se l’anello quoziente A := ^Z

_I ^[x] ` e un campo, giustificando la risposta;

ii) in A si calcoli l’inverso motiplicativo del laterale I + x ² ;

iii) si indichi un generatore del gruppo moltiplicativo A ^∗ degli elementi unitari di A.

3. Si trovino le soluzioni in Q[x] del sistema di congruenze lineari :

 X ≡ 2x − 3 (mod x ² + 25) X ≡ x ² − 1 (mod x + 5)

4. In Mat ₃ (Z) si consideri la matrice

A =





−4 −2 1

3 −1 4

2 −4 9



 . Si determinino:

i) l’aggiunta e l’eventuale inversa di A;

ii) una sua forma normale N , il suo rango e due matrici X, Y ∈ Gl ₃ (Z) tali che N = XAY ;

Infine, in Mat ₂ (Q[x]), si calcolino una forma normale ed il rango di B =

 x − 1 x ² − x x ² − 1 1 − x



.

15 Dicembre 2011

1. Nell’anello Z 5 [x] si considerino gli ideali I e J , generati rispettivamente dai polinomi f (x) = x ³ + x + 1 e g(x) = x ³ + 4.

i) Di ciascuno di essi si dica se ` e massimale oppure no, motivando la risposta.

ii) Si dica se gli anelli quoziente A := Z 5 [x]

I , B := Z 5 [x]

J sono isomorfi, motivando la risposta.

iii) Se esiste, si calcoli l’inverso del laterale J + x ² − 2 in B.

iv) Si determinino l’ideale somma I + J e il suo generatore monico.

2. Si trovino le soluzioni in Q[x] del sistema di congruenze lineari :

 X ≡ 3x − 4 (mod x ² + 1) X ≡ x ² + 4 (mod x − 1)

3. Si provi che gli anelli _hx ^R[x]

+1i e C sono isomorfi. Sono campi ? 4.

i) Data A ∈ Mat 3 (Q), si trovi P ∈ GL 3 (Q) tale che le colonne di AP siano 4Ae 2 , Ae 1 + 5Ae 2 − 7Ae ₃ , −14Ae 2

dove Ae ₁ , Ae ₂ e Ae ₃ sono le colonne di A.

ii) In Mat ₃ (Z) si determinino una forma normale N ed il rango di A =





3 −2 0

−2 −2 1

5 0 −1



 .

iii) In Mat 2 (Q[x]), si determinino tutte le forme normali ed il rango di B =

 x ² − 4 3x − 6 x ² − 3x + 2 2 − x



.

12 Gennaio 2012

1. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti razionali, si considerino i seguenti ideali:

I := {f (x) ∈ Q[x] | f (−3) = 0} e J := {f (x) ∈ Q[x] | f (4) = 0} . i) Si indichi il generatore monico rispettivamente di I, di J e di I ∩ J ; ii) si dica se gli ideali I e I ∩ J sono massimali, motivando le risposte;

iii) posto R := I ∩ J , si determini l’inverso del laterale R + 2x + 1 nell’anello quoziente ^Q[x] _R .

2. Si trovino le soluzioni in Z del sistema di congruenze lineari :







x ≡ −1 (mod 2) 3x ≡ −2 (mod 5) 7x ≡ −4 (mod 9).

3.

i) Si consideri l’applicazione f : Z → Z 12 tale che f (z) = [z] 12 . Si provi che f ` e un omomorfismo di anelli e si determinino Kerf ed Imf ;

ii) detto I l’ideale di Z 12 generato da [2] ₁₂ , si determini f ⁻¹ (I).

4. In Mat 3 (Q) si consideri la matrice:

A =





−4 1 −3

−1 5 4

2 −2 0



 . i) Si calcolino l’aggiunta ad A e, se esiste, l’inversa A ⁻¹ ; ii) si determinino una forma normale ed il rango di A;

iii) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 0 0

−3 1 0

0 0 1



 ,





1 0 0

0 1 −7

0 0 1



 ,





1 0 0

0 −5 0

0 0 2



 ,





0 1 0 0 0 1 1 0 0



 ,





1 0 0 0 0 1 0 1 0



 .

iv) In Mat 2 (Q[x]), si determinino tutte le forme normali ed il rango di B =

 x ² − 9 3x + 9 x ² + 5x + 6 −3 − x



.

22 marzo 2012

1. In Z 3 [x] siano dati f (x) = x ² + 1 e l’ideale I = hf (x)i, da esso generato.

i) Si elenchino gli elementi dell’anello quoziente A := ^Z

_I ^[x] e si dica se A ` e un campo, motivando la risposta;

ii) si calcolino le potenze distinte del laterale I + x, rappresentandole nella forma I + r(x), dove r(x) ∈ Z 3 [x] ha grado ≤ 1;

iii) posto B := _hx ^Z

−1i ^[x] , si dica se gli anelli A e B sono isomorfi.

2. Si determinino:

i) gli ideali del campo C;

ii) due ideali propri I e J di C[x] tali che C[x] = I + J.

3. Si provi che vale il seguente isomorfismo di anelli:

C[x]

hx ² + 1i

∼ = C[x]

hx − ii ⊕ C[x]

hx + ii .

4. Si trovino le soluzioni in Z del seguente sistema di congruenze lineari:







5x ≡ −3 (mod 11) 4x ≡ 2 (mod 9) 3x ≡ −1 (mod 5) 5. In Mat ₃ (Q) si consideri la matrice:

A =





−6 1 0

3 0 −4

0 −2 1



 .

i) Si calcolino la aggiunta ad A e, se esiste, l’inversa A ⁻¹ ; ii) si determinino una forma normale ed il rango di A;

iii) si calcoli l’inversa di ciascuna delle seguenti matrici:





1 0 0

−4 1 0

0 0 1



 ,





1 0 0

0 1 −5

0 0 1



 ,





1 0 0

0 −3 0

0 0 −7



 ,





0 0 1 0 1 0 1 0 0



 ,





0 1 0 0 0 1 1 0 0



 . iv) In Mat ₂ Q[x], si determinino tutte le forme normali ed il rango della

matrice

B =

 x ² − 4 6 − 3x x ² − 4x + 4 x ² − 5x + 6



.