BU A
U pB( A) come rapporto di probabilità
Vogliamo giustificare l’uguaglianza1 (*)
pB( A)=p( A ∩ B) p (B)
dove A e B sono due insiemi, immersi in un insieme U, rispetto al quale sono espresse le probabilità a secondo membro. Inoltre deve valere p(B)≠ 0.
Interpretiamo pB( A) come la probabilità che si verifichi l’evento A qualora si sappia che si è verificato B.
In questa situazione, qual è l’insieme dei nuovi “casi possibili”? E qual è l’insieme dei “casi favorevoli”?
Per rispondere a tali domande dobbiamo tener presente che si è verificato l’evento B.
Quindi
l’insieme dei nuovi “casi possibili” = B l’insieme dei “casi favorevoli2” = A ∩B
Pertanto si ha
pB(A)=misura ( A ∩ B) misura(B)
Tali misure 3 sono effettuate entrambe rispetto all’insieme U.
Ora, nell’interpretazione geometrica della probabilità, la probabilità di un insieme E è una misura di E rispetto all’insieme (“universo”) in cui lo si considera contenuto.
Quindi possiamo sostituire alle misure, le probabilità degli insiemi. Ossia
misura( A ∩ B)= p( A ∩ B) misura( B)= p (B)
E con questo abbiamo giustificato l’uguaglianza (*) in esame.
1 Cerchiamo una giustificazione nell’ambito dello schema di valutazione classico della probabilità. Secondo l’impostazione assiomatica la formula in esame è “semplicemente” una definizione. In particolare, non fornisce la probabilità di un “evento”, poiché
B∨ A non lo è.
2 Cioè quelli cui può realizzarsi l’evento A
3 Nelle righe seguenti suggeriamo per mezzo di esempi cosa s’intende per misura di un insieme.
Attività che preparano o consolidano l’uguaglianza (*)
Per comprendere il significato della formula in esame è importante che lo studente abbia avuto modo di approfondire alcuni aspetti in vari momenti del percorso che precedono l’introduzione della probabilità condizionata. Le attività della sezione “L’uguaglianza (*)” possono essere affrontate anche dopo tale introduzione, come consolidamento.
Probabilità come misura
Consideriamo, ad esempio, il problema di
determinare il punteggio più probabile nel lancio di due dadi (somma dei due numeri usciti).
Possiamo modellizzare la situazione mediante una tabella a doppia entrata4. In tale contesto il docente può far osservare che la probabilità richiesta, 1/6, è uguale all’area dell’insieme che rappresenta l’evento in esame (colorato in verde) rispetto al quadrato in cui è contenuto.
Dunque la probabilità è una misura dell’insieme rispetto ad un altro in cui è contenuto.
In diverse questioni è richiesto di
valutare la probabilità come rapporto tra il numero di elementi di un insieme rispetto a quelli di un altro ad uno in cui è contenuto.
In tali contesti non si dovrebbe perdere l’occasione per notare che il numero di elementi di un insieme finito è una misura5 di tale insieme.
Dunque la probabilità di tale insieme è ancora uguale alla sua misura rispetto ad un altro in cui è contenuto.
L’uguaglianza (*)
a) Esaminiamo prima la situazione in cui A e B, insieme non vuoto, sono costituiti da un numero finito di elementi6. E supponiamo che l’insieme U abbia n elementi (i casi possibili iniziali), dove n è un numero naturale diverso da 0.
Per il significato attribuito a pB( A) come la probabilità che si verifichi l’evento A qualora si sappia che si è verificato B, si ha che l’insieme dei nuovi “casi possibili” = B e l’insieme dei “casi favorevoli” = A∩B.
Pertanto, valutando tale probabilità mediante l’approccio classico, vale7
pB( A)=¿(A ∩B)
¿B
Ora, dividendo numeratore e denominatore per n, possiamo dedurre che
pB( A)=¿(A ∩B)
¿B =
¿(A ∩B) n
¿B n
=p( A ∩ B) p(B)
Alla luce di quanto illustrato, lo studente non dovrebbe considerare il procedimento seguito come una semplice manipolazione algebrica.
b) L’uguaglianza in esame (*) continua comunque a valere anche se A e B non hanno un numero finito di elementi8.
4 Unatavola dell’addizione, come visto nella slide n. 15 del primo incontro.
5 Facciamo qui riferimento all’idea intuitiva che lo studente può avere di misura di un insieme. Eventualmente possiamo precisarla un po’, rileggendo le situazioni note costituite dalla lunghezza dei segmenti e dall’area di figure piane: la lunghezza di un segmento o l’area di una figura piana sono numeri (positivi) che si associano a tali insiemi; tale corrispondenza deve verificare opportune condizioni, la cui precisazione non rientra però negli intenti di queste note.
6 Esempi specifici di questo tipo possono essere proposti allo studente in più occasioni nel percorso prima di affrontare la probabilità condizionata oppure dopo aver visto la formula (*).
7 Dato un insieme E che ha un numero finito di elementi, indichiamo con il simbolo #E il numero di elementi dell’insieme E.
8 Come, ad esempio, nel caso in cui rappresentano i punti di un cerchio o di un cubo.
Basta ragionare in modo esattamente analogo al punto a), considerando non più il numero di elementi di ogni insieme, ma un’opportuna misura dell’insieme9.
9 Ad esempio una misura del cerchio di raggio r è la sua area π r2 . Una misura di un cubo di lato l nello spazio è il suo volume
l3 .
