Anno Accademico 2006/2007
Meccanica Razionale
Nome:...
N. matr.:... Ancona,20 aprile2007
Un'asta materiale p esante AB di massa m e lunghezza l si muove nel piano
verticale O (x;y). L'estremo B scorre senza attrito sull'asse x, mentre l'asta
ruota lib eramente attorno a B. Oltre alla forza p eso, sull'asta agiscono due
molle,diugualcostanteelasticak>0,checolleganogliestremiAeB dell'asta
risp ettivamentecon l'origineO e con il punto C(2l ;0).
(i) Determinareilnumerodigradidilib ertaescegliereleco ordinatelagran-
giane;
(ii) scriverel'energiacinetica;
(iii) scriverel'energiap otenziale;
Il sistema ha due gradi di lib erta; si scelgano come co ordinate lagrangiane
l'ascissa delpunto B, s,e l'angolo '= [
ABO .
Centro di massa dell'asta:
P
0
O = (P
0
B)+(B O )
= l
2 (
^
icos'+
^
j sin')+s
^
i
_
P
0
= l
2 (
^
isin'
^
j cos')'_ +s_
^
i
_
P 2
0
= l
2
4 _ ' 2
+s_ 2
+ls_'_ sin'
Energia cinetica:
T =
1
2 m
_
P 2
0 +
1
2 I
0 _ '
2
= 1
2 m
l 2
4 _ ' 2
+s_ 2
+ls_'_ sin'
+ 1
2
1
12 ml
2
_ ' 2
= 1
2 m
1
3 l
2
_ ' 2
+s_ 2
+ls_'_ sin'
Energia p otenziale:
V = mgy
0 +
1
2 k
O A 2
+BC 2
= mg
l
2
sin'+ 1
2 k
s 2
+l 2
2sl cos'
+(2l s) 2
= mg
l
2
sin'+k
s 2
ls (2+cos')
Lagrangiana:
L = T V
@L
@s_
= m
_ s+
l
2 _ 'sin'
@L
@s
= 2ks+kl (2+cos')
@L
@'_
= 1
3 ml
2
_ '+
1
2
mls_ sin'
@L
@'
= 1
2
ml (s_'_ +g) cos' kls sin'
Equazioni di Lagrange:
m
s+
l
2
('sin'+'_cos')
+2ks kl (2+cos') =0
1
ml 2
'+
1
ml (s sin'+s_'_ cos') 1
ml (s_'_+g) cos'+kls sin'=0
