Politecnico di Bari SLU PER TENSIONI NORMALI PARTE 1. Corso di FONDAMENTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI E SOSTENIBILITA DELLE STRUTTURE Mod I e II

DICATECh

Dipartimento di Ingegneria Civile, Ambientale, del Territorio, Edile e di Chimica Politecnico di Bari

24 novembre 2020

Corso di FONDAMENTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI E SOSTENIBILITA’ DELLE STRUTTURE – Mod I e II

Ing. Francesco Porco

SLU PER TENSIONI NORMALI

PARTE 1

Verifiche per tensioni normali

La sollecitazione di flessione semplice o composta caratterizza in

maniera decisiva la risposta di tutti gli elementi di una struttura

a scheletro.

A causa delle diverse modalità di trasferimento del carico è possibile studiare la risposta degli elementi strutturali differenziando all’interno degli stessi le varie parti che hanno comportamenti analoghi

-Regioni “B”: lontane dalle discontinuità strutturali (Bernoulli, beam)

-Regioni “D”: zone di

discontinuità (distribuzione non lineare delle deformazioni).

La verifica allo stato limite ultimo si esegue controllando che la sollecitazione di calcolo Sd non superi in alcuna sezione il corrispondente valore della resistenza di calcolo Rd.

Le sollecitazioni di calcolo associate a tensioni normali, che a seguito dell’analisi strutturale possono presentarsi in una sezione degli elementi strutturali dello scheletro resistente di un edificio multipiano, comprendono i seguenti diversi casi:

a) flessione semplice retta secondo l'asse principale x, M_Sdx; b) flessione semplice retta secondo l'asse principale y, M_Sdy; c) sforzo normale semplice, N_Sd;

d) flessione semplice deviata M_Sdx, M_Sdy; e) flessione retta composta N_Sd, M_Sdx; f) flessione retta composta N_Sd, M_Sdy;

g) flessione deviata composta N_Sd, M_Sdx, M_Sdy.

Rdx

Sdx

M

M 

Rdy

Sdy

M

M 

a) b)

Verifiche per tensioni normali

Rd

Sd

N

N 

) ,

( )

,

( M

N

 R

M

N

) ,

( )

,

( M

N

 R

M

N

) ,

, (

) ,

,

( M

M

N

 R

M

M

N

indicando con N

lo sforzo normale resistente di calcolo della sezione, occorrerà verificare la disuguaglianza:

Nelle altre situazioni, le condizioni di verifica allo stato limite ultimo possono esprimersi nel modo seguente:

Nelle espressioni simboliche precedenti, i simboli R

, R

ed R

indicano delle funzioni, denominate “domini di interazione” che legano tra loro le caratteristiche di resistenza della sezione.

In particolare R

, R

, come nel caso della flessione, sono delle curve nel

piano (M,N), mentre R

è una superficie.

Una trave trasferisce i carichi su di essa applicati modificando la loro retta d’azione attraverso l’effetto delle tensioni interne:

(Momento flettente + taglio) (Forza di trazione + Forza di compressione)

Verifiche per tensioni normali

10 20 30 40

0

0.0004 0.0008 0.0012 0.0016

A

B = fessurazione

C = carico di servizio

D = plasticizzazione dell'acciaio

E = rottura

Momento M (ft - Kip)

Curvatura (1/IN)

All’aumentare del carico si

distinguono tre diversi tipi di

risposta (Stadio I, II, III)

Nel processo di carico è possibile distinguere per la trave tre comportamenti differenti.

Inizialmente la trave non presenta fessure.

In questa fase le deformazioni sono molto piccole ed il comportamento dei materiali (calcestruzzo e acciaio) è lineare, così come la legge del diagramma momento-curvatura (punto A). La trave si comporta dunque secondo il modello di Navier previsto dalla teoria dell’elasticità ed il diagramma delle tensioni normali sulla sezione sarà di tipo a “farfalla”.

Osservazioni sul comportamento sino a rottura di una sezione inflessa in c.a.

10 20 30 40

0

0.0004 0.0008 0.0012 0.0016

A

B = fessurazione

C = carico di servizio

D = plasticizzazione dell'acciaio

E = rottura

Momento M (ft - Kip)

Curvatura (1/IN)

10 20 30 40

0

0.0004 0.0008 0.0012 0.0016

A

B = fessurazione

C = carico di servizio

D = plasticizzazione dell'acciaio

E = rottura

Momento M (ft - Kip)

Curvatura (1/IN)

In questa fase "fessurata" il legame costitutivo del calcestruzzo può essere considerato con buona approssimazione ancora di tipo lineare ed il comportamento della trave viene esaminato ipotizzando nulla la resistenza a trazione del calcestruzzo.

Le tensioni di trazione si trasferiscono dal calcestruzzo teso all’acciaio, e

si ha una riduzione della rigidezza della trave, (punto C).

Quando il carico viene incrementato ulteriormente la legge costitutiva del calcestruzzo non risulta più lineare ed il legame tra deformazioni e tensioni è fornito dalla curva sforzi-deformazioni del materiale.

In questa fase può accadere che le armature raggiungano lo snervamento (punto D): si osserva in tal caso una rapida crescita della curvatura per piccoli incrementi del momento, sino a quando ad un certo punto la trave si rompe a causa del raggiungimento della deformazione limite del calcestruzzo al lembo superiore (punto E).

L’analisi allo SLU di una trave soggetta a flessione tende a determinare il valore di M relativo alla distribuzione ultima delle deformazioni.

10 20 30 40

0

0.0004 0.0008 0.0012 0.0016

A

B = fessurazione

C = carico di servizio

D = plasticizzazione dell'acciaio

E = rottura

Momento M (ft - Kip)

Curvatura (1/IN)

Andamento delle tensioni al terzo stadio.

SLU per Tensioni Normali: ipotesi de base

I procedimenti di verifica allo S.L.U. per sollecitazioni che provocano tensioni normali nel conglomerato sono fondati sulle seguenti ipotesi:

• le sezioni trasversali piane rimangono piane dopo la deformazione;

• la deformazione di un’armatura aderente, sia tesa che compressa, è la stessa del conglomerato circostante;

• la distribuzione delle tensioni nel conglomerato e nell’armatura ordinaria si ricavano dai diagrammi (-)_cd di calcolo;

• la resistenza a trazione del conglomerato viene trascurata;

• il conglomerato perviene a rottura quando la sua deformazione raggiunge un valore limite;

• l’acciaio perviene alla rottura quando la sua deformazione raggiunge la sua capacità ultima.

4.1 COSTRUZIONI DI CALCESTRUZZO

Formano oggetto delle presenti norme le strutture di:

- calcestruzzo armato normale (cemento armato)

- calcestruzzo armato precompresso (cemento armato precompresso) - calcestruzzo a bassa percentuale di armatura o non armato,

con riferimento a calcestruzzi di peso normale e con esclusione di quelle opere per le quali vige una regolamentazione apposita a carattere particolare

4.1.2 VERIFICHE AGLI STATI LIMITE

DM 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni Cap. 4 COSTRUZIONI CIVILI E INDUSTRIALI

4.1.2 VERIFICHE AGLI STATI LIMITE

DM 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni Cap. 4 COSTRUZIONI CIVILI E INDUSTRIALI

4.1.2.1 Materiali

• in sezioni soggette a compressione semplice, la deformazione specifica di compressione nel conglomerato è limitata a –0.2%;

• per sezioni non completamente compresse la deformazione limite a

compressione 

nel conglomerato è pari a –0.35%.

11.3 ACCIAIO

DM 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni Cap. 11 MATERIALI E PRODOTTI PER USO STRUTTURALE

4.1.2 VERIFICHE AGLI STATI LIMITE

DM 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni Cap. 4 COSTRUZIONI CIVILI E INDUSTRIALI

f

= 450/1.15 = 391.3 MPa E

= 210000 MPa



= f

/E = 0.186%

B450C

SLU per flessione semplice retta: Modalità di rottura

- rottura del calcestruzzo determinata dal raggiungimento della sua capacità deformativa ultima a compressione;

- rottura dell’armatura tesa determinata dal raggiungimento della sua capacità deformativa ultima

“Rotture fragili” : si realizzano tutte per schiacciamento del conglomerato mentre l’acciaio è ancora in fase elastica. Si manifestano generalmente con piccole deformazioni e fessurazioni nulle o molto limitate. La rottura pertanto, avviene senza evidenti segni premonitori.

“Rotture duttili”: si hanno per snervamento dell’acciaio teso cui fa seguito lo schiacciamento del cls compresso.

Sono accompagnate da cospicue deformazioni dell’acciaio teso e da evidenti fessurazioni del conglomerato.

“Rottura bilanciata” : si ha la crisi della sezione per la realizzazione contemporanea dello schiacciamento del cls e snervamento dell’acciaio.

Essa dipende esclusivamente dalla deformazione specifica _yd al limite elastico del tipo di acciaio utilizzato.

Perché è importante garantire la realizzazione della rottura duttile?

1. La rottura fragile avviene improvvisamente senza segni premonitori, dati dall’apparizione di ampie fessure che consentono di prendere immediati provvedimenti di salvaguardia.

2. Nelle strutture iperstatiche il comportamento duttile delle sezioni inflesse consente la ridistribuzione dei momenti flettenti rispetto alla distribuzione elastica iniziale.

3. Nelle strutture realizzate in zona sismica la duttilità

delle sezioni favorisce la dissipazione dell’energia

immessa nella costruzione dal terreno.

Osservazioni sul comportamento sino a rottura

di una sezione inflessa in c.a.

sulla superficie della sezione considerata.

Per valutare le sollecitazioni critiche (o resistenze di calcolo) che

provocano la rottura occorre conoscere la distribuzione effettiva delle

tensioni normali sulla generica fibra verticale, che andranno poi integrate

sulla superficie della sezione considerata.

A tal fine è utile definire le seguenti grandezze adimensionali:

• Coefficiente di posizione dell’asse neutro  _{= x/d} che rappresenta il

rapporto fra l’estensione x della compressione lungo la fibra verticale e l’altezza utile d della fibra stessa.

• Coefficiente di riempimento  _{= C/(fcd x)} che rappresenta il rapporto fra la risultante C delle compressioni nel conglomerato che compete alla fibra

verticale e la corrispondente risultante nel caso di tensione costante f_cd estesa a tutta la zona di conglomerato compresso x.

• Coefficiente di posizione della risultante di compressione  = x_c/x che rappresenta il rapporto fra la distanza della risultante C dal lembo

maggiormente compresso e l’estensione della zona di conglomerato compresso x.

• Coefficiente di posizione dell’armatura  ₌ _{/d .}

• Coefficiente di sforzo delle armature  e ’ che definiscono il livello tensionale (rispetto allo snervamento)

Nei campi III e IV:

progetto (libero o condizionato) di una sezione in grado di sopportare allo stato limite ultimo un momento

flettente di calcolo assegnato

verifica allo stato limite ultimo di una assegnata sezione soggetta ad un dato momento flettente di calcolo.

OBIETTIVI

Definizione delle grandezze:

h, b, A

, A

’, d,  ,  ’, x

Rottura bilanciata

Flessione semplice retta - Sezione rettangolare semplice armatura

(cls<C50/60 ), 641

.

= 0

bil

u u

u cd bil cd bil

u sbil yd yd bil

C T

C f bx f bd

T A f f db

  



 =

 = =

  = =



yd u sbil

u

u

f

A C T

C = → =

(sezioni debolmente armate) (sezioni fortemente armate)

s sbil

s sbil

A A rottura duttile A A rottura fragile

 →

 →

0.416; 0.81 (1 0.416 )

c

bil bil

z d x d x

z d



 



= − = −

= =

= −

2 2

0.81 (1 0.416 ) (1 0.416 )

u bil cd bil bil

Rd

u bil yd bil bil

C z f bd

M T z f d b

 

 

= −

=    = −

bd A_s

 = percentuale geometrica di armatura

= bil

yd cd

bil f

f 

 

(cls<C50/60 ), 641

.

= 0

bil

Flessione semplice retta: Sezione rettangolare semplice armatura

Rottura duttile A_s≤ A_sbil

2

0.81 0.81 1

u el

u cd cd

el s s s cu

C T

C f b x f bd

T A E db



   



 =

 = =

 

 = = −



2

1

s

E

E



  



= = −

2 2

0.81 (1 0.416 ) (1 0.416 )

u cu

Rd

el s s

C z f bd

M T z E d b

 

  

= −

=  

= −



Progetto libero

Fissato il diagr. delle

 (

Dalla (1) si ricava  Dalla (2) si ricava d Dalla (3) si ricava A_s Progetto condizionato Noti M_sd, b e d

Dalla (2) si ricava  Dalla (1) si ricava _s

Dalla (3) si ricava A_s (_s>_yd)

( )

( ₁ ¹ _{0 .} ⁰ ₄₁₆ ^{. 416} ) ⁽²⁾ ₍₃₎

(1)

2 2















 

−

=

−

=

= +

b d f

M

bd f

M

yd rd

cd rd

s cu

cu

Flessione semplice retta: Sezione rettangolare semplice armatura

si determina il momento ultimo M_rd da confrontare con M_sd

bd A^s

 =

Data A_s, si determina . Si verifica che _s > _yd, quindi si determina M_rd = T_u z = C_u z dalla (2) o dalla (3) e si verifica che sia > M_sd

( )

( ₁ ¹ _{0 .} ⁰ ₄₁₆ ^{. 416} ) ⁽²⁾ ₍₃₎

(1)

2 2















 

−

=

−

=

= +

b d f

M

bd f

M

yd rd

cd rd

s cu

cu

2

1

s cu

  



= −

(

)

cd

yd

C T

f k

f =

=  ;



Flessione semplice retta: Sezione rettangolare semplice armatura ESEMPI

Verifica

b=300 mm, h=700 mm, d=650 mm, M_sd=200 KNm

5F18→A_s=12.71 cm²

C25/30 → f_ck=25, f_cd= 14.17 N/mm²

Acciaio f_yk=450 N/mm²; f_yd=450/1.15=391 N/mm²

=0.00652=0.652%

C=T → = f_yd/kf_cd=0.222

_s=1.23%>_yd

M_rd=k f_cd bd²  (1-)=0.81·14.17·300·650²·0.222 (1-0.416X0.222)=293 KNm

( )

( 1 0 . 416 ) (3) (2) 416

. 0 1

(1)

2 2













 



−

=

−

=

= +

b d f

M

bd f

M

yd rd

cd rd

s cu

cu

Progetto armatura

b=200mm, h=600mm, d=550mm, M_sd=200 KNm f_cd= 13.2 N/mm²

Acciaio f_yd=391 N/mm²

Dalla (2) (M_rd=M_sd) =0.36;

Dalla (1) _s=6.2%_o (_s>_yd) Dalla (3) A_s=10.94 cm²

Infine con i valori di progetto dell’armatura si fa la verifica finale

( )

( 1 0 . 416 ) (3) (2) 416

. 0 1

(1)

2 2













 



−

=

−

=

= +

b d f

M

bd f

M

yd rd

cd rd

s cu

cu

Flessione semplice retta: Sezione rettangolare a doppia armatura

Benefici indotti dalla armatura compressa

La riduzione di tensione nel calcestruzzo compresso diminuisce le deformazioni viscose e, in definitiva, determina una minore inflessione della trave.

Nel caso di travi fortemente armate, si ottiene l’innalzamento dell’asse neutro a rottura, incrementando la duttilità della sezione.

Nel caso di travi con altezza ridotta (ad es., travi a spessore), è possibile aumentare il momento di progetto (aumento della armatura in zona tesa) senza ridurre la duttilità.

La presenza di una armatura nella zona compressa ha dei risvolti positivi

sul comportamento globale della trave.

Verifica: dati M_sd b h As A’s f_ck B450C

si determina il momento ultimo M_rd da confrontare con M_sd









=

= +

=

=

z T z C M

T C

u u

rd

s cu

cu u u





 

) (

) 1

( )

( )

( oppure

) 1 ( )

1 ( )

( )

(

) verifica

1 (

' ' 2

'

























 

 







−

−

−

=

−

−

−

=

− +

−

=

− +

−

=

+

=

− 

=

→

= +

d f A d

f A x

C x

d T M

d f A bd

f k d

C x

d C

z C z

C M

A f A f bd

f k

yd s yd

s s

u rd

yd s cd

s c

s c

c rd

yd s

cu s

s yd s

yd cd

rd

sd M

M 

 =A’_s/A_s

d

 = 

Progetto libero

dati M_sd  b (o h)  f_ck B450C

Si fissa il diagr. delle  (o la pos. dell’asse neutro) Si pone M_rd=M_sd

Dalla (2,3) si ricavano A_s e d











− +

−

=

− +

−

=

= +

= +

) (

) 1

( )

( )

( )

3 (

) 2 (

) 1 (

' '





















 

d A f A

f x

C x d

T M

f A f

A bd

f k

s yd s

yd s

u sd

yd s yd s cd

s cu

cu









= = +

= +

z T M

T C

C

u sd

u s

s cu

cu





 

(Momento rispetto alla risultante delle compressioni nel calcestruzzo)

richiedono il passaggio dalla semplice alla doppia armatura:

• incrementare la capacità flessionale della sezione

• aumentare la duttilità della rottura (quando  è elevato).

CASO 1: INCREMENTO DELLA CAPACITÀ FLESSIONALE DELLA SEZIONE;

yd u

s

f

A

= T

Fissato :





−

=

−

=

=

=

=

) 1

( )

( ²

1 1

1 1

1









bd f k x d

C M

f A T

bd f k C

cd u

rd

yd s u

cd u

M^rd1

L’incremento di momento resistente necessario per raggiungere la capacità flessionale viene assicurato da una quantità aggiuntiva di armatura tesa e compressa

rd sd

M = M

2

A

A '

Se si fa l’ipotesi che entrambe le armature siano snervate:

:

2

2 u

u

C

T = A =

A

Le ulteriori equazioni di equilibrio che risolvono il problema sono:

Operando secondo tale logica si è ottenuto un incremento della capacità flessionale della sezione senza variare la duttilità della rottura. In alternativa, l’incremento del momento resistente si sarebbe potuto ottenere aumentando la quantità di armatura tesa, con la conseguenza però di andare incontro ad una rottura di tipo fragile.

 =A’_s/A_s

u c s

C = C + C

In assenza di armatura compressa, la risultante è sopportata interamente dal calcestruzzo. Se invece è presente anche una armatura compressa, la risultante delle tensioni nel calcestruzzo C

sarà solo una aliquota di C

:

Ciò implica una riduzione dell’altezza della zona compressa e pertanto un aumento della duttilità della rottura.

CASO 2: INCREMENTO DELLA DUTTILITA’

1 1

2 2

u s yd

u s yd

M A f z M A f z

 =

 =



Equilibrio rotazione

s yd cd

A f

 = f bd bd

f k

f A bd

f k

f A

cd yd s cd

yd

s 

 +

=

) 1

( 

 =  −

→ k ^s k

 = 

La differenza tra i due bracci della coppia interna z₁ e z₂ non è rilevante (discende esclusivamente dallo spostamento della risultante di compressione), si deduce che l’introduzione dell’armatura compressa, se da un lato migliora il comportamento a rottura in termini di duttilità, produce solo un piccolo incremento della resistenza della sezione.

) 1 ( )

1 ( )

( )

( − + − = ² − + ^' −

=C d x C d k f bd A d

M_{rd c s cd s}

(senza armatura compressa) (con armatura compressa)

IL CASO DELLA SEZIONE A T

56

Sezione a T soggetta a momento flettente positivo:

l’asse neutro può tagliare la soletta (a) o la nervatura (b)

Se l’asse neutro NON TAGLIA la nervatura la sezione è equivalente ad una sezione rettangolare di uguale altezza e di base pari alla larghezza della soletta

( )

cd

C b x t f bx f C A f T A f

Btf

C

=

= 0 . 8 − = ' =  =

Equilibrio alla traslazione orizzontale T-C₀-C₁-C_s=0

( ) ( )

b Bt bf

1 f ' A

x 0

f ' bx Btf

1 f A

cd yd s cd

cd yd

s − −

=



=

−

−

− 



0 . 8

' x x = t +

(

 )

 +



 



 − −

 +



 

 −

= x C d

t d t C

d C

M_{rd s}

2 '

2 ¹

0

57