Dispense del Corso di Tecnica delle Costruzioni

Dispense del Corso di Tecnica delle Costruzioni

Renato Giannini

Settembre 2007

ii

Indice

Prefazione xv

1 Analisi della tensione 1

1.1 Forze interne . . . 1

1.2 Resistenza . . . 1

1.3 Tensione . . . 4

1.3.1 Equazione di Cauchy . . . 5

1.3.2 Equilibrio alla rotazione . . . 9

1.4 Cambiamento di riferimento* . . . 9

1.5 Tensioni piane . . . 11

1.5.1 Il cerchio di Mohr . . . 12

1.5.2 Tensioni principali . . . 15

1.5.3 Tensioni principali in 3D* . . . 17

1.6 Equazioni di equilibrio . . . 19

1.6.1 Equazioni sul contorno . . . 21

1.7 Unit`a di misura . . . 22

2 Analisi della deformazione 25 2.1 Moto rigido e deformazione . . . 25

2.2 Analisi delle piccole deformazioni . . . 26

2.2.1 Dilatazione . . . 26

2.2.2 Scorrimenti . . . 28

2.2.3 Matrice delle deformazioni . . . 28

2.2.4 Dilatazione lungo una direzione arbitraria* . . . 28

2.2.5 Scorrimento di due direzioni ortogonali* . . . 30

2.2.6 Cambiamento di riferimento* . . . 31

2.2.7 Variazione di volume . . . 32

2.3 Deformazioni piane. Cerchio di Mohr delle deformazioni . . . 32

3 Leggi costitutive 35 3.1 Prova di trazione di una barra di acciaio . . . 35

3.2 Legame elastico lineare . . . 37

3.2.1 Stati di tensione pluriassiali . . . 38

3.2.2 Modulo di deformabilit`a volumetrica . . . 42

3.2.3 Legge di Hooke generalizzata . . . 43 iii

iv INDICE

3.2.4 Tensioni e deformazioni piane . . . 44

3.3 Lavoro di deformazione . . . 46

4 La trave 49 4.1 Le equazioni dei solidi elastici . . . 49

4.2 Il solido di Saint Venant . . . 51

4.3 Formulazione del problema di Saint Venant . . . 53

4.4 Forza normale e flessione . . . 57

4.4.1 Determinazione del campo degli spostamenti* . . . 60

4.4.2 Sforzo normale centrato . . . 61

4.4.3 Flessione semplice retta . . . 61

4.4.4 Lavoro di deformazione . . . 65

4.4.5 Asse neutro . . . 65

4.4.6 Nocciolo di inerzia . . . 69

4.5 Torsione . . . 72

4.5.1 Sezione circolare . . . 77

4.5.2 Sezione circolare cava . . . 79

4.5.3 Sezione rettangolare sottile . . . 80

4.5.4 Profili aperti . . . 82

4.5.5 Sezioni tubolari di spessore sottile . . . 83

4.6 Sollecitazione di taglio . . . 88

4.6.1 Sezioni rettangolari sottili . . . 91

4.6.2 Sezioni simmetriche di forma arbitraria . . . 92

4.6.3 Sezioni a T . . . 92

4.6.4 Sezioni asimmetriche, centro di taglio . . . 95

4.6.5 Deformazione dovuta al taglio . . . 97

4.7 Teoria tecnica della trave . . . 101

5 Strutture in acciaio 109 5.1 Tensione ideale (von Mieses) . . . 109

5.2 Analisi limite delle strutture . . . 111

5.3 Comportamento delle sezioni in acciaio oltre la soglia elastica . . . 113

5.3.1 Materiale elastoplastico . . . 113

5.3.2 Stato limite ultimo delle sezioni inflesse . . . 114

5.4 Progetto e verifica delle sezioni inflesse . . . 118

5.5 Elementi snelli . . . 127

5.5.1 Non linearit`a geometriche . . . 127

5.5.2 Stabilit`a dell’equilibrio . . . 129

5.5.3 Stabilit`a dell’equilibrio delle aste compresse: l’asta di Eulero . 133 5.5.4 Pressione eccentrica . . . 136

5.5.5 Verifica delle aste snelle: il metodo ω. . . 139

5.5.6 Vincoli . . . 143

5.5.7 Aste presso-inflesse . . . 145

INDICE v

6 Il cemento armato 149

6.1 Introduzione . . . 149

6.2 Il calcestruzzo . . . 151

6.2.1 Il cemento . . . 151

6.2.2 Gli aggregati . . . 152

6.2.3 L’acqua . . . 153

6.2.4 Composizione del calcestruzzo . . . 155

6.2.5 Caratteristiche meccaniche del calcestruzzo . . . 155

6.3 L’acciaio per il cemento armato . . . 160

6.3.1 Aderenza tra acciaio e calcestruzzo . . . 161

7 La trave in cemento armato 165 7.1 Comportamento in fase I. Omogeneizzazione . . . 167

7.1.1 Sezione pressoinflessa . . . 168

7.1.2 Il coefficiente di omogeneizzazione . . . 171

7.2 Analisi della sezione fessurata (fase II) . . . 172

7.2.1 Comportamento della trave fessurata . . . 172

7.2.2 Analisi della sezione inflessa . . . 174

7.2.3 Flessione retta . . . 176

7.2.4 Flessione retta della sezione rettangolare . . . 178

7.2.5 Dimensionamento . . . 180

7.3 Calcolo a rottura (fase III) . . . 183

7.3.1 Momento ultimo di una sezione rettangolare in c.a. soggetta a flessione retta . . . 185

7.4 Elementi sollecitati a sforzo normale e flessione . . . 193

7.4.1 Comportamento in fase I . . . 193

7.4.2 Comportamento in fase II (sezione fessurata) . . . 195

7.4.3 Calcolo a rottura della sezione pressoinflessa . . . 199

7.4.4 Costruzione del dominio di sicurezza . . . 201

7.5 Sollecitazione di taglio . . . 207

7.5.1 Taglio nella trave fessurata . . . 209

7.6 Diagramma dei momenti resistenti. Interazione tra taglio e flessione . 218 8 La sicurezza delle strutture e i codici normativi 223 8.1 Introduzione . . . 223

8.1.1 Le azioni . . . 224

8.1.2 Incertezze . . . 224

8.2 Sicurezza strutturale . . . 225

8.3 Valori nominali e caratteristici . . . 229

8.4 Coefficienti di sicurezza, valori di progetto . . . 231

8.5 Le Norme Tecniche per le Costruzioni . . . 232

A Geometria delle aree 235 A.1 Momenti statici e baricentro . . . 235

A.1.1 Trasporto . . . 236

vi INDICE

A.1.2 Rotazione degli assi . . . 236

A.1.3 Propriet`a additiva . . . 237

A.1.4 Baricentro . . . 238

A.1.5 Significato fisico del baricentro . . . 240

A.2 Momento d’inerzia . . . 241

A.2.1 Cambiamento di riferimento . . . 241

A.2.2 Figure composte . . . 246

A.2.3 Giratori d’inerzia . . . 248

A.2.4 Momento polare . . . 248

Elenco delle figure

1.1 L’interruzione della continuit`a porta alla perdita della trasmissione

delle forze interne (forze superficiali). . . 2

1.2 Due magneti consentono di trasmettere la forza anche in assenza di continuit`a (forze di volume). . . 2

1.3 Forze di volume (a): ogni punto interagisce con tutti gli altri. Forze di superficie (b): i punti interagiscono solo con quelli pi`u prossimi. . . 3

1.4 . . . 3

1.5 Risultati di un ipotetico esperimento di resistenza a trazione. La forza di rottura `e proporzionale all’area del provino. . . 3

1.6 Risultati di diverse prove di resistenza a trazione su barre di diversa sezione e per due diversi tipi di materiali. . . 4

1.7 Forze esterne ed interne in una barra cilindrica. . . 5

1.8 Risultante dF (P, n) delle forze interne scambiate attraverso la super- ficie infinitesima dS di normale n contenente il punto P . . . 6

1.9 Tetraedro di Cauchy . . . 7

1.10 Rapporto tra l’area dA della faccia inclinata e delle sue proiezioni dAx, dAy e dAz sui piani coordinati. . . 8

1.11 Componenti speciali della tensione . . . 8

1.12 Nuova terna di riferimento . . . 10

1.13 Componenti speciali della tensione e “tetraedro” di Cauchy nello spazio a due dimensioni. . . 11

1.14 Costruzione del cerchio di Mohr . . . 13

1.15 Determinazione del polo K del cerchio di Mohr. . . 14

1.16 Determinazione dello stato di tensione su di una giacitura arbitraria mediante il cerchio di Mohr. . . 15

1.17 Tensioni principali per uno stato di tensione piano. . . 16

1.18 Cerchio di Mohr e tensioni principali per l’esempio 1.1. . . 17

1.19 Tre cerchi di Mohr per stati di tensione in 3D. . . 20

1.20 Tensioni agenti sulle facce di un parallelepipedo con spigoli paralleli agli assi del riferimento. . . 20

2.1 Misura dell’allungamento di una barra sottoposta a trazione. . . 25

2.2 Definizione di dilatazione . . . 26

2.3 Spostamento regolare di tre punti che individuano due assi ortogonali. 27 2.4 Dilatazione lungo una direzione arbitraria. . . 29

vii

viii ELENCO DELLE FIGURE

2.5 Scorrimento di due direzioni ortogonali. . . 31 2.6 Cerchio di Mohr relativo ad una deformazione piana. . . 33 3.1 Grafico forza-allungamento (tensione-deformazione) di una barra di

acciaio dolce sottoposta a trazione. . . 36 3.2 Macchina universale per prove sui materiali . . . 36 3.3 Grafici tensione-deformazione relativi a diversi materiali metallici. . . 37 3.4 Misura della dilatazione assiale e della contrazione trasversale in una

prova di trazione. . . 38 3.5 Per effetto dell’applicazione di una forza di trazione una barra si

allunga nella direzione della forza e si contrae nelle direzioni trasversali 39 3.6 Cerchio di Mohr relativo ad uno stato di tensione di solo taglio e

direzioni principali. . . 40 3.7 Deformazione di un elementino di forma quadrata con diagonali pa-

rallele agli assi in presenza di uno stato di tensione di puro taglio. . . 41 3.8 Deformazioni principali in presenza di puro scorrimento. . . 42 3.9 Lavoro di deformazione: lavoro di dilatazione (a) e di scorrimento (b). 47 4.1 Superficie di un solido soggetta parzialmente a condizioni di vincolo

e parzialmente all’azione di forze. . . 50 4.2 Cambiamento della configurazione geometrica prodotto dai carichi. . 51 4.3 Il solido di Saint Venant . . . 53 4.4 Distribuzione delle tensioni in un prisma diversamente sollecitato sulle

basi: (a) forza normale, (b) forza di taglio. Dei tre casi, il primo `e soggetto ad una distribuzione uniforme della forza, il secondo ad una forza concentrata nel baricentro, il terzo a due forze applicate ai bordi. 54 4.5 Sistema di riferimento usato per il solido di de Saint Venant . . . 54 4.6 Componenti della tensione e sistema di forze risultante agenti sulle

basi del solido di de Daint Venant. . . 56 4.7 Equilibrio di un cilindro sollecitato sulle basi con forze di taglio e

momenti flettenti. . . 57 4.8 Rotazione di una sezione prodotta dalla inflessione della linea d’asse. 58 4.9 Distribuzione delle tensioni prodotta dalla forza normale e dalla fles-

sione. . . 62 4.10 La sezione dell’esempio 4.1 . . . 63 4.11 Sezione dell’esempio 4.2. . . 64 4.12 Estensione del campo delle tensioni normali in una sezione all’intero

piano Π. . . 66 4.13 Eccentricit`a e centro di pressione relativi ad una sezione sollecitata a

forza normale e flessione. . . 67 4.14 Relazione tra centro di pressione ed asse neutro. . . 68 4.15 Noccioli d’inerzia per una sezione convessa ed una non convessa. . . . 70 4.16 Nocciolo d’inerzia per una sezione rettangolare. . . 71 4.17 Nocciolo d’inerzia per una sezione a T. . . 72

ELENCO DELLE FIGURE ix 4.18 Anilisi agli elementi finiti di un cilindro con base circolare sollecitato

a torsione. . . 73

4.19 Analisi agli elementi finiti di un prisma a base quadrata. Modello della struttura (a) e deformazione di un tronco privato di una delle basi (b). . . 74

4.20 Analisi agli elementi finiti di un prisma con base quadrata. Campo degli spostamenti dei punti delle sezioni (a) e mappa degli spostamenti in direzione x (b). . . 75

4.21 Campo degli spostamenti di una sezione di un cilindro soggetto a torsione . . . 76

4.22 Distribuzione delle tensioni prodotte dalla torsione in una sezione circolare piena ed in una cava. . . 79

4.23 Sezione rettangolare sottile. . . 81

4.24 Flusso e risultanti delle tensioni prodotte dalla torsione in una sezione rettangolare sottile. . . 81

4.25 Sezioni composte con elementi rettangolari sottili. . . 83

4.26 Flusso delle tensioni tangenziali prodotte dalla torsione in una sezione tubolare di piccolo spessore. . . 84

4.27 Equilibrio di una parte delle parate di un tubo sollecitato a torsione. . 84

4.28 Momento risultante delle tensioni tangenziali in una sezione tubolare sottile. . . 85

4.29 Sezione dell’esempio 4.6. . . 87

4.30 Sezione dell’esempio 4.7. . . 88

4.31 Equilibrio di un concio di trave sollecitata a flessione e taglio. . . 89

4.32 Equilibrio di una parte di un concio di trave. . . 90

4.33 Distribuzione delle tensioni tangenziali prodotte dal taglio in una sezione rettangolare sottile. . . 91

4.34 Influenza della variazione dello spessore della sezione sullo stato ten- sionale prodotto dal taglio. . . 92

4.35 Sezioni ad I sollecitate a taglio: tensioni nell’anima e nelle ali. . . 93

4.36 Distribuzione delle tensioni tangenziali nella sezione dell’esempio 4.8. 94 4.37 Effetti del taglio su di una sezione asimmetrica e centro di taglio della sezione. . . 95

4.38 Deformazione prodotta dal taglio in una sezione rettangolare sottile che mostra l’ingobbamento della sezione (a) e scorrimento medio della linea d’asse (b). . . 97

4.39 Mesh agli elementi finiti della trave. . . 102

4.40 Curve di livello delle tensioni normali σx. . . 103

4.41 Curve di livello delle tensioni σz. . . 103

4.42 Confronto tra le tensioni normali calcolate con la teoria di de Saint Venant e quelle ottenute con l’analisi agli elementi finiti. . . 104

4.43 Curve di livello delle tensioni tangenziali τxz. . . 104

4.44 Confronto tra la distribuzione delle tenzioni tangenziali τxzad x = l/4 calcolata con la teoria di Jourawsky e quella ottenuta dal modello ad elementi finiti. . . 105

x ELENCO DELLE FIGURE

4.45 Diagramma dei momenti di una trave appoggiata con sbalzo soggetta

a carico uniforme. . . 105

4.46 Curve di livello della tensione normale σx nella zona circostante il secondo appoggio della trave di Fig. 4.45. . . 106

4.47 Confronto tra le distribuzioni delle tensioni calcolate con la teoria di de Saint Venant e con il metodo degli elementi finiti, in differenti sezioni prossime al secondo appoggio della trave di Fig. 4.45. . . 107

5.1 Legge costitutiva di un acciaio “dolce”. . . 111

5.2 Dominio di resistenza di una struttura e punti rappresentativi della domanda. . . 113

5.3 Legge costitutiva monoassiale di un materiale elasto-plastico. Legame monotono e ciclico. . . 113

5.4 Sequenza delle distribuzioni delle deformazioni e delle tensioni al crescere della curvatura, in una sezione rettangolare con materiale elasto-platico. . . 114

5.5 Posizione dell’asse neutro nelle sezioni inflesse interamente plasticiz- zate; sezioni simmetriche (a) e non simmetriche (b). . . 116

5.6 Dominio di prima plasticizzazione (linea tratteggiata) e dominio di collasso (linea continua) della sezione HE200B. . . 117

5.7 Tabella per profilati IPE . . . 120

5.8 Tabella per profilati HEA . . . 121

5.9 Tabella per profilati HEB . . . 122

5.10 Tabella per profilati HEM. . . 123

5.11 Tensioni normali e tangenziali in una sezione ad I sollecitata a flessione e taglio. . . 124

5.12 Schema e diagrammi delle sollecitazioni della trave dell’esempio 5.1. . 125

5.13 Deformazione di una trave inflessa soggetta ad un carico trasversale distribuito ed a uno forza normale. . . 127

5.14 Situazione di equilibrio stabile (A) ed instabile (B) di una massa puntiforme nel campo del peso. . . 129

5.15 Analisi della stabilit`a dell’equilibrio di un’asta composta da due corpi rigidi connessi con una molla rotazionale. . . 131

5.16 Soluzione grafica dell’equazione (5.36). . . 132

5.17 Energia potenziale del sistema in Fig. 5.15 per due valori del rapporto N/4k. . . 133

5.18 Asta soggetta ad una forza normale nella configurazione perturbata. . 134

5.19 Rapporto tra la tensione critica e la resistenza del materiale in fun- zione della rigidezza ridotta λ/λc dell’asta. . . 137

5.20 Asta soggetta ad una compressione eccentrica. . . 137

5.21 Curve γ = σm/fd relative a quattro differenti tipologie di sezione (UNI-CNR 10011). . . 140

5.22 Corrispondenza tra le tipologie delle sezioni e le cirve γ. . . 140 5.23 Valori di ω in funzione della snellezza λ per l’acciaio Fe360 (curva c). 142 5.24 Valori di ω in funzione della snellezza λ per l’acciaio Fe430 (curva c). 143

ELENCO DELLE FIGURE xi 5.25 Valori di ω in funzione della snellezza λ per l’acciaio Fe510 (curva c). 144 5.26 Coefficiente β in funzione delle rigidezze rotazionali relative κ dei

vincoli di estremit`a di una trave, nei casi a nodi fissi e mobili. . . 145

5.27 Telaio dell’esempio 5.3. . . 146

5.28 Sezione del pilastro dell’esempio 5.4. . . 147

6.1 Foto a sinistra (a): il Partenone; `e evidente la piccola distanza tra le colonne permessa dalla resistenza a trazione delle trabeazioni. Foto a destra (b): il grande spazio coperto dalla cupola del Panteon, a Roma.150 6.2 Rappresentazione schematica del processo di idratazione (da AIMAT). 152 6.3 Rappresentazione schematica dell’addensamento degli aggregati. . . . 153

6.4 Miscela degli inerti di un calcestruzzo e confronto con la curva di Fuller154 6.5 Slump test con il cono di Abrams . . . 154

6.6 Curve tensione—deformazione di calcestruzzi di differenti classi di re- sistenza . . . 156

6.7 Schema delle prove per la misura della resistenza a trazione del cal- cestruzzo: flessione (a) e taglio (b). . . 157

6.8 Variazione nel tempo della resistenza del calcestruzzo (riferita a quella a 28gg), per diversi tipi di cemento. . . 158

6.9 Svilluppo del ritiro nel tempo per un calcestruzzo normale (NSC) ed uno ad alta resistenza (NSC). . . 159

6.10 Sviluppo nel tempo delle deformazioni di un elemento di calcestruzzo compresso. . . 160

6.11 Diagramma tensioni-deformazioni di un acciaio ordinario da c.a. . . . 161

6.12 Esempio di barre nervate (aderenza migliorata) per l’armatura delle strutture in c.a. . . 162

6.13 Diagramma tensioni-deformazioni di un acciaio ad alta resistenza . . 162

6.14 Sezione di un elemento in calcestruzzo con annegata una barra in acciaio. . . 163

6.15 Diagrammi forza-scorrimento di barre annegate nel calcestruzzo, lisce e sagomate. . . 163

6.16 Fessurazione del calcestruzzo circostante una barra sagomata: (a) per rottura per taglio, (b) rottura dei denti di calcestruzzo. . . 164

7.1 Schema di carico di una trave in c.a. semplicemente appoggiata e digramma carico-abbassamento. . . 166

7.2 Sezione di una trave in cemento armato come sovrapposizione della sezione di calcestruzzo (forata) e quella delle barre. . . 168

7.3 Apertura di una fessura in una trave in cemento armato. . . 172

7.4 Fessurazione di una trave in c.a. sollecitata a sola flessione. . . 173

7.5 Conservazione delle sezioni piane in una trave in c.a. . . 174

7.6 Sezione in c.a. sollecitata a flessione in fase II. Campo delle tensioni. . 175

7.7 Flessione di una sezione asimmetrica (a) ed una simmetrica (b) per un momento agente secondo uno degli assi principali d’inerzia della sezione di calcestruzzo. . . 177

xii ELENCO DELLE FIGURE

7.8 Sezione rettangolare soggetta a flessione retta. . . 178

7.9 Sezione dell’esempio 7.2. . . 180

7.10 Risultanti delle tensioni in una sezione inflessa in c.a. con un solo livello di armatura. . . 181

7.11 Azione di confinamento esercitata dalle staffe. . . 184

7.12 Leggi tensione—deformazione per l’acciaio (a) e per il calcestruzzo (b) adottate per il calcolo a rottura. . . 185

7.13 Meccanismo di collasso di una sezione rettangolare inflessa . . . 186

7.14 Diagramma rettangolare equivalente. . . 188

7.15 Sezione sollecitata a pressoflessione retta di grande eccentricit`a. . . . 195

7.16 Sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta di grande eccen- tricit`a. . . 196

7.17 Grafico della funzione (zn) e delle approssimazioni lineari successive. 199 7.18 Dominio di collasso di una sezione rettangolare in c.a. armata sim- metricamente. . . 200

7.19 Situazioni di collasso di una sezione in cemento armato . . . 201

7.20 Famiglia di domini di resistenza normalizzati per sezioni rettangolari. (A⁰_s/As= 1, εy = 2× 10⁻³, d⁰/d = 0.1). . . 205

7.21 Progetto di una sezione pressoinflessa usando i domini di resistenza adimensionali. . . 206

7.22 Verifica della sezione dell’esempio 7.10. . . 207

7.23 Quadro fessurativo di una trave soggetta a flessione e taglio. . . 207

7.24 Cerchi di Mohr per le tensioni in diversi livelli di una sezione rettan- golare soggetta a flessione e taglio. . . 208

7.25 Linee isostatiche in una trave sollecitata a flessione e taglio. . . 209

7.26 Fessurazione di una trave in c.a. sollecitata a flessione e taglio. . . 210

7.27 Tipi di staffe nelle sezioni in c.a. . . 211

7.28 Rappresentazione schematica di staffe e delle barre piegate all’interno di un concio di trave in c.a. . . 212

7.29 Deduzione del traliccio di M¨orsh dall’andamento delle isostatiche di compressione. . . 212

7.30 Equilibrio di una biella di calcestruzzo. . . 213

7.31 Calcolo della tensione media di compressione in una bilella di calce- struzzo di una trave sollecitata a taglio. . . 214

7.32 Armatura di una trave appoggiata con sbalzo e soggetta ad un carico univorme. Verifica con il diagramma dei momenti resistenti. . . 219

7.33 Equilibrio delle risultanti di sollecitazione per un concio di trave sezionato ortogonalmente all’asse e quando la sezione `e inclinata. . . . 220

8.1 Analisi agli stati limite di due strutture composte con tre aste. . . 226

8.2 Analisi della deformazione delle tre aste collegate alle estremit`a. . . . 227

8.3 . . . 229

A.1 Assi di riferimento e area A del piano. . . 236

ELENCO DELLE FIGURE xiii A.2 Figure geometriche semplici [rettangolo (a), triangolo rettangolo (b)]

e relativi assi di riferimento. . . 237

A.3 Figura piana riferita a due sistemi di assi rotati. . . 238

A.4 Sezione ad L composta da due sezioni rettangolari. . . 240

A.5 . . . 241

A.6 Determinazione del momento d’inerzia di un cerchio. . . 244

A.7 Assi principali e giratori d’inerzia di una figura ad L. . . 247

A.8 Figura simmetrica rispetto all’asse x. . . 248

xiv ELENCO DELLE FIGURE

Prefazione

Queste dispense raccolgono, in forma piuttosto sintetica, gli argomenti del corso di Tecnica delle Costruzioni che svolgo al terzo anno del Corso di Laurea in Scienze del- l’Architettura dell’Universit`a degli Studi di Roma Tre. La selezione degli argomenti trattati ovviamente rispecchia le particolarit`a del percorso didattico degli studenti in questa Facolt`a.

Nella prima parte vengono introdotti i concetti di tensione e deformazione nei mezzi continui, le equazioni di equilibrio e le condizioni di compatibilit`a; succes- sivamente si discutono gli aspetti pi`u semplici dei legami costitutivi dei materiali strutturali, particolarmente dell’acciaio, schematizzati poi nella legge di Hooke ge- neralizzata ai materiali isotropi. Si passa quindi allo studio del solido di de Saint Venant, i cui risultati sono la base per lo sviluppo della teoria tecnica della trave elastica.

Nel capitolo un po’ impropriamente intitolato Strutture in acciaio, i risultati precedenti sono utilizzati per introdurre al dimensionamento delle sezioni in acciaio;

viene quindi trattato il caso dell’asta snella soggetta a compressione e si giustifica il metodo ω. I problemi connessi ai collegamenti (saldature, bullonature, ecc.) non sono invece neanche sfiorati.

Il capitolo sul Cemento armato descrive sommariamente la tecnologia di questo materiale, le caratteristiche specifiche, le propriet`a meccaniche del calcestruzzo e l’interazione di questo con l’acciaio delle armature. Infine nel capitolo successivo `e affrontato il calcolo delle travi in cemento armato nelle tre fasi che ne caratterizza- no il comportamento (stato del calcestruzzo integro, fessurato ed a rottura) per le sollecitazioni di pressoflessione e taglio.

Nella trattazione degli argomenti descritti non si fa riferimento a specifiche pre- scrizioni normative, che pure sono molto importanti nella pratica progettuale. Que- sta scelta `e stata suggerita da molti fattori: l’opportunit`a di snellire un testo gi`a carico di molti argomenti, il desiderio di prestare maggiore attenzione agli aspetti fisici dei fenomeni e, non ultimo, la difficolt`a che, in Italia, si `e verificata in questi ultimi anni intorno all’emanazione di un testo normativo condiviso. L’ultimo ca- pitolo `e quindi dedicato ad una qualitativa esposizione dei concetti della sicurezza delle strutture, ai format dei codici “semiprobabilistici” e alla definizione di alcune grandezze essenziali, quali i valori caratteristici e di progetto delle resistenze dei materiali e delle intensit`a delle azioni.

Poich´e la geometria delle aree `e uno strumento essenziale per l’analisi delle sezioni delle travi, ma la sua trattazione `e sostanzialmente estranea al filo logico seguito per

xv

xvi Capitolo 0 Prefazione

lo sviluppo degli altri argomenti del corso, una sintetica esposizione dei suoi aspetti essenziali `e posta in appendice.

In qualche, raro, caso, il contenuto di queste dispense ha debordato oltre quello che `e normalmente svolto durante le lezioni del corso. Questi argomenti sono con- trassegnati con un asterisco* e per essi `e usato uncarattere pi`u piccolo. Il loro studio pu`o essere omesso senza compromettere la comprensione del resto.

Capitolo 1

Analisi della tensione

1.1 Forze interne

Immaginiamo di compiere il semplice esperimento illustrato in Fig. 1.1. Una fune `e tesa mediante l’applicazione di due forze uguali ed opposte. In questa situazione il sistema (la fune ed i due pesi) resta in equilibrio. Se ora tagliamo la fune, il sistema non rimane in equilibrio ed i due pesi cadono verso terra, trascinando con loro i due monconi della fune.

Per quanto questo esperimento possa apparire banale e scontato, esso ci indica alcune cose importanti:

1. Le due parti di fune, prima del taglio, si scambiavano una forza pari a quella applicata alle estremit`a.

2. Questa forza agiva esclusivamente sui punti della superficie tagliata; infatti se avesse agito anche su punti pi`u lontani, l’equilibrio sarebbe stato possibile anche dopo il taglio, come avviene ad esempio quando le due parti sono tenute insieme da un magnete. (Fig. 1.2).

Possiamo classificare le forze in forze di volume e forze di superficie. Le prime vengono scambiate anche a grande distanza ed agiscono su tutti i punti di un corpo:

ne sono esempi la forza peso e la forza che un magnete esercita sui corpi ferrosi. Le seconde sono scambiate solo a breve distanza, tra i punti prossimi ad una superficie:

le forze di contatto e le forze interne sono esempi di azioni di questo tipo.

1.2 Resistenza

Lo scopo dell’ingegneria delle strutture `e ideare degli organismi strutturali che siano capaci, per un tempo sufficientemente lungo, di sostenere i carichi e le altre azioni che si produrranno in futuro e quindi verificare, su idonei modelli analitici e numerici, che le strutture progettate abbiano effettivamente queste caratteristiche. Queste verifiche si eseguono confrontando gli effetti delle azioni previste, che chiameremo sollecitazioni, con le resistenze della struttura e degli elementi che la compongono.

1

2 Capitolo 1 Analisi della tensione

Figura 1.1: L’interruzione della continuit`a porta alla perdita della trasmissione delle forze interne (forze superficiali).

Figura 1.2: Due magneti consentono di trasmettere la forza anche in assenza di continuit`a (forze di volume).

Supponiamo di prendere una barra, per esempio di acciaio, e di sottoporla ad una prova di trazione. La prova consiste nell’applicare alle estremit`a della barra una forza F crescente fino a produrne la rottura (Fig. 1.4). Il valore FR della forza che produce la rottura della barra `e detta forza di rottura o resistenza della barra.

Supponiamo ora di ripetere l’esperimento su altre barre, di diverso diametro ma realizzate con lo stesso materiale; troveremo valori diversi della resistenza che, come `e ovvio, crescer`a con il diametro della barra. Se si rappresentano questi risultati in un grafico, riportando sulle ascisse le aree delle sezioni e sulle ordinate le resistenze delle barre, otterremmo un risultato simile a quello illustrato nella Fig. 1.5;

i punti rappresentativi delle coppie area—resistenza si disporrebbero attorno ad una retta con inclinazione positiva che, almeno approssimativamente, passa per l’origine.

Indicando con FR la resistenza della barra e con A la sua area, l’equazione di una retta di questo tipo `e

FR= cA (1.1)

dove c indica una costante.

1.2 Resistenza 3

(a)

(b)

Figura 1.3: Forze di volume (a): ogni punto interagisce con tutti gli altri. Forze di superficie (b): i punti interagiscono solo con quelli pi`u prossimi.

F F

Figura 1.4:

Area della sezione della barra

Resistenza della barra

Figura 1.5: Risultati di un ipotetico esperimento di resistenza a trazione. La forza di rottura `e proporzionale all’area del provino.

4 Capitolo 1 Analisi della tensione

Area della sezione della barra

Resistenza della barra

Figura 1.6: Risultati di diverse prove di resistenza a trazione su barre di diversa sezione e per due diversi tipi di materiali.

Supponiamo di ripetere ora l’esperimento con un’altra serie di barrette, fatte per`o con un materiale diverso. Riportando i risultati sullo stesso grafico otterremmo quanto rappresentato in Fig. 1.6. La relazione tra resistenza ed area `e ancora del tipo (1.1) ma con un valore diverso della costante c. Generalizzando questi risultati, potremo allora concludere che, per ogni materiale, il rapporto

FR

A

tra la resistenza di una barra sottoposta a trazione e l’area della stessa `e (approssi- mativamente) costante ed `e una grandezza che dipende dalla natura del materiale e non dalle dimensioni della barra: chiameremo questa grandezza la resistenza a trazione del materiale.

1.3 Tensione

Il rapporto tra la forza F applicata alle estremit`a della barra e l’area A di una sezione normale della stessa barra (Fig. 1.7) `e detta tensione normale media e sar`a indicata con il simbolo σm:

σm = F

A (1.2)

Nel caso della barra tesa, che abbiamo esaminato, le forze interne sono parallele all’asse della barra e quindi normali alle sezioni; inoltre le dimensioni delle sezioni sono piccole rispetto alla dimensione longitudinale e dunque il concetto di tensione media ha un significato intuitivo chiaro. In un caso pi`u complesso, come quello mostrato in Fig. 1.8, le cose non sono cos`ı semplici; le dimensioni della sezione S sono confrontabili con quelle dell’oggetto, di conseguenza l’informazione fornita da una

1.3 Tensione 5

F A

F A

Figura 1.7: Forze esterne ed interne in una barra cilindrica.

grandezza media diviene meno utile: appare quindi opportuno definire una tensione puntuale. Poich´e in generale questa tensione non sar`a normale alla superficie, la si dovr`a definire come un vettore.

Data una superficie S che seziona un corpo ed un punto P su essa, sia dA un’areola contenuta in S e che contiene P (Fig. 1.8). Abbiamo gi`a detto che le forze interne sono forze superficiali e che pertanto ogni punto sulla superficie S scambia forze soltanto con quello omologo sull’altra faccia di S. Sia dF la risultante delle forze che passano per dA; indicando con n la normale ad S in P , faremo la seguente ipotesi (Cauchy):

Al tendere a zero delle dimensioni di dA in modo che contenga sempre P , il rapporto ^dF_dA tende ad un vettore di misura finita, detto la tensione nel punto P relativa alla giacitura di normale n. In formule:

p(P, n) = lim

dA→P

dF

dA (1.3)

1.3.1 Equazione di Cauchy

La definizione della tensione riportata sopra, mette in evidenza che questa grandezza dipende non soltanto dal punto P , ma anche dalla giacitura (definita mediante il vettore normale) del piano tangente alla superficie S nel punto P .

Ora mostreremo che questa dipendenza si pu`o esprimere mediante una semplice legge lineare in funzione delle tensioni agenti su tre giaciture ortogonali. A questo scopo consideriamo un tetraedro infinitesimo con il vertice nel punto P e gli spigoli paralleli agli assi x, y, z di un riferimento ortogonale. Sia p (n) la tensione sulla

6 Capitolo 1 Analisi della tensione

Figura 1.8: Risultante dF (P, n) delle forze interne scambiate attraverso la superficie infinitesima dS di normale n contenente il punto P .

faccia inclinata del tetraedro, di area dA e di normale n e siano p (−x), p (−y), p(−z) le tensioni agenti sulle altre facce del solido, aventi vettori normali diretti in verso opposto agli assi del riferimento (Fig. 1.9).

Ricordiamo che la prima equazione cardinale della statica afferma che un corpo

`

e in equilibrio solo se `e nulla la risultante delle forze agenti su esso; quindi, ricordano la definizione (1.3) della tensione, la forza agente su una generica faccia di area dA e giacitura di normale n `e p (n) dA, e il tetraedro sar`a in equilibrio se

p(n) dA + p (−x) dA^x+ p (−y) dA^y + p (−z) dA^z+ gdV = 0 (1.4) In questa equazione gdV indica la forza di volume (p.e. il peso) proporzionale al volume dV dell’elemento. Per un tetraedro infinitesimo il volume `e infinitesimo di ordine superiore rispetto all’area (ossia lim<sub>dA→0</sub> <sup>dV</sup><sub>dA</sub> = 0) e quindi la forza di volume sar`a trascurabile rispetto alle altre. Per il principio di azione e reazione, su facce opposte agiscono forze opposte, quindi p (−x) = −p (x), ecc. Tenendo conto di ci`o, la (1.4) diviene:

p(n) dA = p (x) dAx+ p (y) dAy+ p (z) dAz (1.5) dove dAx, dAy e dAz sono le aree delle facce del tetraedro perpendicolari agli assi coordinati. D’altra parte `e facile verificare che (vedi Fig. 1.10)

dAx = nxdA dAy = nydA dAz = nzdA (1.6) dove nx, ny, nz sono le componenti del vettore unitario n, perpendicolare a dA.

Infatti, come `e mostrato nella figura, ad esempio nz = 1· cos α, dove α `e l’angolo formato da n con z. Ma α `e anche l’angolo che il piano di normale n forma con quello normale a z, quindi, se h `e l’altezza della faccia inclinata del tetraedro, h cos α

`

e la sua proiezione sul piano xy e quindi `e l’altezza della faccia di normale z. Poich´e i due triangoli hanno la stessa base, ne segue facilmente che dAz = dA cos α = dAnz.

1.3 Tensione 7

x y

z n

p(n) p(-x) p(-y)

p(-z)

dA_x dA_y

dA_z dA

x y

z n

p(n) p(-x) p(-y)

p(-z)

dA_x dA_y

dA_z dA

Figura 1.9: Tetraedro di Cauchy

Analogamente si dimostrano le altre relazioni (1.6). Sostituendo le (1.6) nella (1.5) si ottiene, dopo aver diviso tutti i termini per dA:

p(n) = p (x) nx+ p (y) ny + p (z) nz (1.7) La (1.7) `e una relazione molto importante, poich´e permette di determinare il vettore della tensione p relativo ad una generica giacitura di normale n, quando siano noti i tre vettori

p_x = p (x) p_y = p (y) p_z = p (z) (1.8) della tensione su tre giaciture ortogonali. Poich´e ogni vettore ha tre componenti scalari, dalla (1.7) segue che lo stato di tensione in un punto `e completamente definito dalle 3× 3 = 9 componenti dei tre vettori p<sup>x</sup>, py, pz. Queste componenti, dette componenti speciali della tensione, sono rappresentate sulle facce del parallelepipedo di Fig. 1.11. Come `e consuetudine nella letteratura tecnica, le componenti normali alle facce sono indicate con la lettera σ, quelle parallele con la lettera τ . Le nove componenti si possono raccogliere in una matrice 3×3, in cui ogni colonna `e formata con le tre componenti di ciascun vettore:

T=

⎡

⎣σxx τyx τzx

τxy σyy τzy

τxz τyz σzz

⎤

⎦ (1.9)

Con questa notazione, l’equazione di Cauchy (1.7) si scrive:

p_n= Tn (1.10)

o, esplicitamente in forma scalare:

pnx = σxxnx+ τyxny + τzxnz (1.11a) pny = τxynx+ σyyny + τzynz (1.11b) pnz = τxznx+ τyzny+ σzznz (1.11c)

8 Capitolo 1 Analisi della tensione

y z

n

dA_x

dA_z x

n_z= cos(α)

dA dA_y

α α

y z

n

dA_x

dA_z x

n_z= cos(α)

dA dA_y

α α

Figura 1.10: Rapporto tra l’area dA della faccia inclinata e delle sue proiezioni dAx, dAy e dAz sui piani coordinati.

x

z

dy y dz

dx

p_z

p_x

p_y

σ_xx τ_xy τ_xz

τ_zx τ_zy σ_zz

τ_yx τ_yz σ_yy x

z

dy y dz

dx

p_z

p_x

p_y

x

z

dy y dz

dx

p_z

p_x

p_y

σ_xx τ_xy τ_xz

τ_zx τ_zy σ_zz

τ_yx τ_yz σ_yy

Figura 1.11: Componenti speciali della tensione

1.4 Cambiamento di riferimento*

9

1.3.2 Equilibrio alla rotazione

Per dimostrare l’equazione di Cauchy (1.7) abbiamo fatto uso della prima delle equa- zioni cardinali della statica; ma ogni elemento infinitesimo di un mezzo continuo, per essere in equilibrio, deve soddisfare anche la seconda equazione cardinale, che richiede sia nullo il momento risultante. Se allora consideriamo l’equilibrio alla rota- zione del parallelepipedo infinitesimo di figura 1.11, poich´e, per il principio di azione e reazione, su facce opposte agiscono tensioni uguali in modulo e direzione ma di verso opposto, le risultanti delle componenti tangenziali τ formano delle coppie con bracci uguali alle lunghezze degli spigoli del parallelepipedo, mentre le componenti normali, avendo la stessa retta di azione, hanno momento risultante nullo. Se ad esempio imponiamo l’equilibrio alla rotazione attorno ad un asse parallelo a z, le sole componenti che danno luogo ad un momento sono le τxy e le τyx. Le tensioni agenti sulle facce dydz hanno per risultanti le forze τxydydz che formano una coppia di braccio dx; le risultanti delle tensioni τyx, agenti sulle facce dxdz valgono τyxdxdz e formano una coppia di braccio dy. Quindi, poich´e le due coppie hanno verso op- posto, come `e chiaro dal disegno, la condizione di equilibrio della rotazione attorno a z si scrive:

(τxydydz) dx = (τyxdxdz) dy (1.12) da cui, dividendo ambo i membri per dxdydz ricaviamo

τxy = τyx (1.13)

Analogamente, imponendo l’equilibrio alla rotazione attorno ad x ed y, potremo dedurre, con simile procedimento, le restanti condizioni di reciprocit`a tra le tensioni tangenziali

τyz = τzy τzx= τxz (1.14)

Le (1.13) e (1.14) stabiliscono che la matrice T `e simmetrica e pertanto i termini distinti che la caratterizzano sono sei (tre componenti di tensione normale σ e tre di tensione tangenziale τ ).

1.4 Cambiamento di riferimento*

Abbiamo visto che, in virt`u del teorema di Cauchy, lo stato di tensione in un punto `e determinato dalla matrice T, ovvero, in forma scalare, dalle sue sei componenti distinte (σxx, σyy, σzz, τxy, τyz, τzx), dette componenti speciali della tensione; il valore di queste componenti, che sono le tensioni sulle facce parallele ai piani coordinati, dipende ovviamen- te dal riferimento; dunque lo stesso stato di tensione pu`o essere rappresentato da diversi valori delle componenti speciali, a seconda del sistema di assi utilizzato. Vogliamo ora mostrare come queste componenti cambiano quando si passa da un sistema di riferimento ad un altro.

Sen₁, n2, n3 sono tre vettori (di modulo unitario) tra loro ortogonali, possiamo basare su essi una nuova terna di riferimento; vogliamo calcolare i valori delle componenti speciali della tensione (raccolte nella matrice T) relativamente alle facce di un parallelepipedo i

10 Capitolo 1 Analisi della tensione

y z

x

n

n

n

Figura 1.12: Nuova terna di riferimento

cui spigoli coincidono con gli assi del nuovo riferimento (n1, n2, n3). Applicando la (1.7) e tenendo conto della (1.8) si ottiene, per ciascuna delle direzioni n_i (i = 1, 2, 3):

pi = p (ni) = pxnix+ pyniy+ pzniz (i = 1, 2, 3) (1.15) in cui nix, niy, niz sono le componenti sugli assix, y, z del vettore unitarion_i.

Le componenti di p_i nel nuovo riferimento si determinano proiettandolo sui tre assi n1, n2, n3. Moltiplicando scalarmente pi per i tre vettori nj (j = 1, 2, 3), poich´e questi hanno modulo unitario, otterremo tali componenti. I prodotti n^t_ip_i forniscono le compo- nenti normaliσii, mentre i prodottin^t_jp_i (conj 6= i) forniscono le componenti tangenziali τij:

σii= n^t_ip_i τij = n^t_jp_i (i6= j) (1.16) Se con i, j, k indichiamo i vettori unitari paralleli agli assi x, y, z del primo riferimento, potremo porre

p_x= σxxi+ τxyj+ τxzk p_y = τyxi+ σyyj+ τyzk p_z = τzxi+ τzyj+ σzzk

(1.17) da cui segue che

n^t_ip_x = nixσxx+ niyτxy+ nizτxz

n^t_ip_y = nixτyx+ niyσyy+ nizτyz

n^t_ipx = nixτzx+ niyτzy+ nizσzz

(1.18) in quanto, essendonix, niy, niz le componenti din_inel vecchio riferimento, si han^t_ii= nix, ecc.; sostituendo la (1.15) nelle (1.16) troveremo alla fine

σii= n^t_ipi = n^t_ipxnix+ n^t_ipyniy+ n^t_ipzniz =

(σxxnix+ τxyniy+ τxzniz) nix+ (τyxnix+ σyyniy+ τyzniz) niy+

+ (τzxnix+ τzyniy+ τzzniz) niz (1.19)

1.5 Tensioni piane 11

Figura 1.13: Componenti speciali della tensione e “tetraedro” di Cauchy nello spazio a due dimensioni.

τij = n^t_jp_i = n^t_jp_xnix+ n^t_jp_yniy+ n^t_jp_zniz =

(σxxnjx+ τxynjy + τxznjz) nix+ (τyxnjx+ σyynjy+ τyznjz) niy+

+ (τzxnjx+ τzynjy + τzznjz) niz (1.20a) A queste espressioni piuttosto lunghe si pu`o dare una concisa forma matriciale

T⁰ = N^tTN (1.21)

in cui T `e la matrice (1.9), T<sup>0</sup> `e l’analoga matrice costruita con le componenti σii, τij

relative agli assi del nuovo riferimento ed N`e la matrice3× 3formata con le componenti dei vettori n1, n2, n3 relative al vecchio riferimento:

N=

⎡

⎣n1x n2x n3x

n1y n2y n3y

n1z n2z n3z

⎤

⎦ (1.22)

1.5 Tensioni piane

Le relazioni precedenti si semplificano notevolmente quando si analizza un problema piano, nel quale tutte le componenti relative ad un asse (p. es. z) sono nulle e si considerano soltanto giaciture parallele a questo asse, la cui normale `e contenuta nel piano x, y. In questo caso la matrice delle tensioni T diviene 2× 2 e contiene solamente 3 elementi distinti: le due componenti delle tensioni normali σxx e σyy ed un’unica componente della tensione tangenziale τxy = τyx= τ (Fig. 1.13 (a)).

Se ora consideriamo una generica giacitura e la relativa normale n, questa `e ora individuata dal solo angolo α che la giacitura forma con l’asse y e la normale con l’asse x. Possiamo inoltre definire un altro vettore t, ortogonale ad n e quindi

12 Capitolo 1 Analisi della tensione

tangente alla giacitura, in modo che n, t definiscano un altro riferimento ortogonale.

Nel piano le componenti dei vettori n e t dipendono solo dall’angolo α e sono:

nx = cos α, ny = sin α e tx =− sin α, t^y = cos α.

Per l’equilibrio dell’elemento triangolare di Fig. 1.13, in direzione di n, otteniamo σn

dx

sin α = σydx sin α + τxydx cos α + σxdx cot α cos α + τyxdx cot α sin α(1.23a) τnt

dx

sin α = σydx cos α− τ^xydx sin α− σ^xdx cot α sin α + τyxdx cot α cos α(1.23b) dove, per brevit`a, abbiamo indicato con σx e σy (in luogo di σxx e σyy) le componenti normali della tensione e si `e tenuto conto che dy = dx cot α. Semplificando, risulta

σn = σxcos²α + σysin²α + 2τxysin α cos α (1.24a) τnt = (σy− σ^x) sin α cos α + τxy

¡cos²α− sin²α¢

(1.24b) Allo stesso risultato si giunge applicando l’equazione (1.21) ricavata nel paragrafo precedente. La matrice N `e ora2× 2 <sup>e si pu`</sup>o esprimere in finzione dell’angoloα:

N=

∙cos α − sin α sin α cos α

¸

(1.25) mentre la matrice delle tensioni `e

T=

∙σx τxy

τxy σy

¸

(1.26) Sostituendo le (1.25) e (1.26) nella (1.21) otteniamo in forma esplicita le componenti normali e tangenziali della tensione relativamente alla giacitura di normale n:

σn = σxcos²α + σysin²α + 2τxysin α cos α (1.24a) τnt = (σy− σ^x) sin α cos α + τxy

¡cos²α− sin²α¢

(1.24b)

1.5.1 Il cerchio di Mohr

Partendo dalle (1.24) si pu`o sviluppare una costruzione geometrica molto utile per determinare il valore delle componenti principali della tensione relativamente ad una giacitura arbitraria. Per prima cosa si ricordano le seguenti ben note formule della trigonometria:

cos²α = 1 + cos 2α

2 sin²α = 1− cos 2α

2 (1.28a)

2 sin α cos α = sin 2α (1.28b)

Sostituendo queste relazioni nelle (1.24) otteniamo σn= σx

µ1 + cos 2α 2

¶ + σy

µ1− cos 2α 2

¶

+ τxysin 2α (1.29a) τnt = (σy − σ^x)

2 sin 2α + τxycos 2α (1.29b)

1.5 Tensioni piane 13

Figura 1.14: Costruzione del cerchio di Mohr

che riscriviamo nella forma:

σn−σx+ σy

2 = σx− σ^y

2 cos 2α + τxysin 2α (1.30a) τnt =−(σx− σ^y)

2 sin 2α + τxycos 2α (1.30b)

Sommando membro a membro i quadrati delle (1.30), per la nota propriet`a delle funzioni trigonometriche (sin²α + cos²α = 1), risulta:

µ

σn− σx+ σy

2

¶2

+ τ²_nt =

µσx− σ^y 2

¶2

+ τ²_xy (1.31)

In un piano definito da un riferimento cartesiano, in cui si riporta sull’asse del- le ascisse il valore di σn e sulle ordinate quello di τnt, la (1.31) `e l’equazione di una circonferenza di raggio r = q¡σx−σ^y

2

¢2

+ τ²_xy e centro nel punto di coordinate

£σx+σy

2 , 0¤

. I punti di questa circonferenza (nota come cerchio di Mohr ) descrivono lo stato di tensione (normale e tangenziale) di tutte le giaciture ortogonali al piano x, y.

Nella Fig. 1.14 `e illustrata la costruzione del cerchio di Mohr delle tensioni.

Tracciando, nel piano (σn, τnt) due punti A e B di coordinate (σx, τxy) e (σy,−τ^xy), il cerchio di Mohr `e la circonferenza che passa per questi punti ed ha il centro nell’intersezione tra la loro congiungente e l’asse delle ascisse.

Per porre in relazione i punti del cerchio di Mohr con le giaciture dove agiscono le tensioni, indichiamo con 2α0 l’angolo formato dal segmento OA con l’asse delle

14 Capitolo 1 Analisi della tensione

2α₀ 2α 2(α₀−α) O

A P

α K

σn

τ_nt

Figura 1.15: Determinazione del polo K del cerchio di Mohr.

ascisse. Posto che r sia il raggio del cerchio, evidentemente si ha σx− σ^y

2 = r cos 2α0 (1.32a)

τxy= r sin 2α0 (1.32b)

Sostituendo queste nelle (1.30) otteniamo:

σn− σx+ σy

2 = r cos 2α0cos 2α + r sin 2α0sin 2α (1.33a) τnt =−r cos 2α⁰sin 2α + r sin 2α0cos 2α (1.33b) da cui, utilizzando alcune note relazioni della trigonometria, segue

σn− σx+ σy

2 = r cos 2(α0 − α) (1.34a)

τnt = r sin 2 (α0− α) (1.34b)

Dalle (1.34) risulta chiaro che il punto P (Fig. 1.15), individuato dall’intersezione della circonferenza con una retta passante per il centro O e che forma un angolo 2 (α0 − α) con l’asse σⁿ, fornisce lo stato di tensione agente su di una giacitura inclinata di α rispetto all’asse y. Poich´e, per definizione, AO forma un angolo 2α0

con σn, si ha che A ˆOP = 2α0 − 2 (α⁰− α) = 2α; tenendo conto che A ˆOP e A ˆKP sono rispettivamente angolo al centro ed alla circonferenza sottesi allo stesso arco AP , se ne deduce che A ˆKP `e la met`a di A ˆOP , ossia A ˆKP = α. Prendendo il punto K di coordinate σx,−τ^xy, la retta KP forma con l’asse verticale un angolo α. Tuttavia, assumendo che gli assi σn, τnt siano paralleli ad x, y, la retta KP non risulta parallela alla giacitura, poich´e gli angoli α sono rotati in verso opposto. Per ottenere questa coincidenza occorre ribaltare il riferimento σn, τnt in modo che l’asse τ abbia verso opposto ad y. In questo modo la retta KP `e parallela alla giacitura

1.5 Tensioni piane 15

O

A P α K

σn

τ_nt

A x

y α

σn

τnt

σn

σx

τ_nt τxy

−τ_xy

σn

τnt

Figura 1.16: Determinazione dello stato di tensione su di una giacitura arbitraria mediante il cerchio di Mohr.

(Fig. 1.16) e le coordinate del punto P forniscono i valori delle tensioni normale e tangenziale agenti sulla giacitura parallela a KP . Il punto K, di coordinate σx,−τ^xy

`

e detto il polo del cerchio di Mohr.

1.5.2 Tensioni principali

Abbiamo mostrato che il cerchio di Mohr ha il centro sull’asse delle σ, pertanto interseca sempre questo asse in due punti diametralmente opposti P1 e P2 di coordi- nate (σ1, 0) e (σ2, 0) (Fig. 1.17). Alle due giaciture corrispondenti, che si ottengono conducendo per K le rette KP1e KP2, sono quindi associati stati di tensione esclusi- vamente normale, in quanto su queste giaciture risulta τ = 0. Queste due giaciture, dette principali, sono tra loro ortogonali, poich´e l’angolo P1KPˆ 2 `e un angolo alla circonferenza che sottende il diametro; `e evidente che le tensioni corrispondenti, σ1

e σ2, raggiungono il valore massimo e minimo tra quelli corrispondenti a tutte le giaciture relative al punto dato e vengono dette le tensioni principali nel punto.

Possiamo facilmente determinare le tensioni principali osservando che σ1 = σO+r e σ2 = σO − r, dove σ^O indica l’ascissa del centro O del cerchio ed r `e il raggio.

Poich´e per la (1.31)

σO = σx+ σy

2 r =

sµσx− σ^y 2

¶2

+ τ²_xy (1.35)

16 Capitolo 1 Analisi della tensione

K (σx,-τxy)

O

P₁ P2

τ

σ1

σ1

σ σ2

σ2

α1

α2

Figura 1.17: Tensioni principali per uno stato di tensione piano.

otteniamo

σ1 = σx+ σy

2 +

sµσx− σ^y 2

¶2

+ τ²_xy (1.36a)

σ2 = σx+ σy

2 −

sµσx− σ^y 2

¶2

+ τ²_xy (1.36b)

A queste tensioni sono associate le due giaciture ortogonali determinate dagli angoli α1 = arctan

µσ1− σ^x τxy

¶

α2 = α1− π

2 (1.37)

Dalla Fig. 1.22 risulta anche evidente che il valore massimo della tensione tangen- ziale si raggiunge per quella giacitura in cui σn= (σx+ σy) /2 e risulta τmax= r = q¡σx−σy

2

¢²

+ τ²_xy. Questa giacitura `e definita dall’angolo α = arctan³

|σx−σy| 2(|τ^xy|+r)

´ . Linee isostatiche

Lo stato di tensione in ogni punto di un corpo si pu`o descrivere mediante la matrice delle tensioni T o, in modo equivalente, mediante i valori delle tensioni principali e le direzioni corrispondenti. Indicando con n1 la direzione della tensione massima e con n2 la direzione di quella minima, partendo da un punto si possono costruire due curve che ovunque sono tangenti ad n1 ed a n2, rispettivamente; queste curve sono chiamate linee isostatiche. Partendo da un qualsiasi altro punto non sulle due curve precedenti, si possono costruire altre due linee che ovviamente non intersecano mai le omologhe. Le due famiglie di curve invece si intersecano sempre ortogonalmente, poich´e n1 ed n2 sono tra loro ortogonali.

1.5 Tensioni piane 17

-80 -40 0 40 80 120

80 40 0 -40 -80

K

(σ_x,τ_xy) (σ_y,−τ_xy)

α

Figura 1.18: Cerchio di Mohr e tensioni principali per l’esempio 1.1.

Esempio 1.1 Dato uno stato di tensione piano σx = 100 MPa, σy = −30 MPa e τ^xy = 50 MPa, costruire il cerchio di Mohr e determinare i valori delle tensioni principali e dell’angolo α che ne individua le giaciture.

Dobbiamo costruire una circonferenza che passa per i tre punti di coordinate (100, 50), (100, −50), (−30, −50), ovvero una circonferenza con centro nel punto di coordinate

σ = σ_x+ σ_y

2 = 100 − 30

2 = 35 τ = 0

e raggio

r =

sµσx− σ^y 2

¶2

+ τ²_xy =

sµ100 + 30 2

¶2

+ 50² = 82.006

Il cerchio `e rappresentato in Fig. 1.18; i valori delle tensioni principali si determinano con le (1.36):

σ₁ = 35 + 82.006 = 117.006 MPa σ₂ = 35 − 82.006 = −47.006 MPa

Le giaciture delle tensioni principali formano con l’asse y gli angoli α₁ = arctan³

σ1−σ^x τxy

´

= arctan¡117.006−100

50

¢= arctan (0.34) = 0.328 rad = 18.784^◦ ed α₂ = α₁−^π₂ = −71.216^◦.

¤

1.5.3 Tensioni principali in 3D*

L’equazione di Cauchy (1.11), si pu`o anche formulare in termini di matrici; tenendo conto della definizione (1.9) della matrice T e della sua simmetria, potremo scrivere, ricordando le note regole del prodotto di una matrice per un vettore

p_n = Tn (1.38)

18 Capitolo 1 Analisi della tensione Ci chiediamo se esista una direzione nper la qualep_n`e ortogonale alla giacitura, ovvero

`

e parallela adn.Questa condizione si scrive

Tn=σn (1.39)

dove σ `e il modulo della tensione ed n la direzione. La (1.39) `e soddisfatta se

(T−σI) n = 0 (1.40)

in cui

I=

⎡

⎣1 0 0 0 1 0 0 0 1

⎤

⎦ (1.41)

`

e la matrice unit`a. Come `e noto dall’algebra, il sistema omogeneo di equazioni (1.40) ha soluzioni non nulle solo se il determinante della matrice dei coefficienti `e zero, ossia

det (T− σI) = det

⎡

⎣σx− σ τxy τxz

τyx σy− σ τyz

τzx τzy σz− σ

⎤

⎦ = 0 (1.42)

Sviluppando il determinante (1.42) si ottiene un’equazione cubica in σ:

σ³− I¹σ²+ I2σ− I³ = 0 (1.43) doveI1, I2, I3sono detti gli invarianti della matrice delle tensioni, in quanto il loro valore, a differenza di quello dei termini della matrice, non dipende dal riferimento. Esplicitamente:

I1 = Tr (T) = σx+ σy+ σz (1.44a)

I2 = 1 2

£Tr (T)²− Tr¡ T²¢¤

= σxσy + σyσz+ σzσx− τ²xy− τ²yz− τ²zx(1.44b) I3 = det (T) = σxσyσz+ 2τxyτyzτzx− σ^xτ²_yz− σ^yτ²_xz− σ^zτ²_xy (1.44c) Dal teorema fondamentale dell’algebra sappiamo che l’equazione cubica (1.43) ha tre radici; dalla simmetria della matrice T segue, come si pu`o dimostrare, che queste radici sono tutte reali. Dunque in generale avremo tre valori diσper cui la (1.42) e la (1.39) sono verificate: σ1, σ2, σ3. Questi sono i valori principali della tensione nel punto esaminato.

A ciascun valore principale `e associata una direzione n; `e facile mostrare che per valori distinti di σi, σj le direzioni n_i ed n_j sono ortogonali. Infatti per ipotesi sono verificate entrambe le equazioni:

Tn_i = σin_i Tn_j = σjn_j (1.45) Moltiplicando a sinistra la prima per n^t_j e la seconda per n^t_i si ottiene:

n^t_jTn_i = σin^t_jn_i n^t_iTn_j = σjn^t_in_j (1.46) Prendendo il trasposto di entrambi i membri della seconda equazione e sottraendola alla prima risulta:

n^t_jTn_i− n^tjT^tn_i = (σi− σ^j) n^t_jn_i (1.47)