c s l a A = {x x è una lettera della parola scuola } LA TEORIA (assiomatica) DEGLI INSIEMI

LA TEORIA (assiomatica) DEGLI INSIEMI

Il concetto di insieme è un concetto primitivo

La parola insieme (o comunità, gregge, raccolta, ...) la usiamo molto spesso: l’insieme degli amici, l’insieme degli oggetti contenuti nella cartella, la collezione di figurine ....

pertanto il concetto che essa esprime è un concetto intuitivo. Non essendo possibile darne una definizione esplicita il concetto di insieme è un concetto primitivo.

In matematica, però, si parla di insieme solo se possiamo dire esattamente quali “cose”

appartengono all’insieme e quali no.

Le “cose” che appartengono a un certo insieme si chiamano elementi di quell’insieme.

Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole dell'alfabeto.

Alcune lettere assumo in insiemistica e matematica un significato particolare e sono pertanto da ritenersi riservate (N = insieme dei numeri naturali; Q = insieme dei numeri razionali; ecc.).

Gli elementi di un insieme sono indicati con lettere minuscole.

Esistono insiemi matematici finiti, infiniti e vuoti

Un insieme si dice finito quando contiene un numero limitato di elementi:

A={x|x è una lettera della parola “scuola”}

Un insieme si dice infinito quando contiene un numero illimitato di elementi:

B={x|x è un numero pari}

Un insieme si dice vuoto quando non contiene alcun elemento:

C={x|x è una montagna alta più di 20 Km.}

Tipi di rappresentazioni

Per rappresentare un insieme abbiamo tre possibilità:

1) Rappresentazione estensiva o per elencazione

A = {s, c, u, o, l, a}

2) Rappresentazione intensiva o per caratteristica

A = {x    x è una lettera della parola “scuola”}

3) Rappresentazione grafica con diagramma di Eulero-Venn

Quando tutti gli elementi di B appartengono anche ad A

A = {7,8,9,10,11} B = {8,10} allora B è un sottoinsieme di A, (in simboli): B ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ A.

•u •c

•o •s

•l

•a

OPERAZIONI TRA INSIEMI

• Intersezione

• Unione

• Differenza

• Complementare

Si definisce intersezione di due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi comuni ad A e B.

l’intersezione è la parte colorata

Si definisce unione di due insiemi A e B, l'insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi dati.

l’unione è la parte colorata

Si definisce differenza di due insiemi A e B, l'insieme formato da tutti gli elementi di A diversi da B

la differenza è la parte colorata

Si definisce differenza complementare fra l’insieme U e il suo sottoinsieme A, l’insieme degli elementi che stanno in U ma non in A

il complementare di A rispetto ad U è la parte colorata

NUMERI REALI

► Dai numeri naturali ai numeri reali

L'insieme dei numeri naturali racchiude i numeri che utilizziamo per contare; si indica nel seguente modo:

ℕ ℕ

ℕ ℕ={0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, ...}

Su questi numeri sono definite le seguenti operazioni:

• addizione: n+m è il numero che si ottiene partendo da n e continuando a contare per altre m unità;

• sottrazione: n−m è il numero, se esiste ed è unico, che addizionato a m dà come risultato n;

• moltiplicazione: n*m è il numero che si ottiene sommando n volte m, o meglio sommando n addendi tutti uguali a m;

• divisione: n : m è il numero, se esiste ed è unico, che moltiplicato per m dà come risultato n;

• potenza: n^m è il numero che si ottiene moltiplicando m fattori tutti uguali a n; con l'aggiunta di n¹

=n e n ^o = 1 ;

• radice: ⁿ

m

è il numero, se esiste ed è unico, che elevato a n dà come risultato m.

L'addizione, la moltiplicazione e la potenza sono date su tutto l'insieme dei numeri naturali, cioè dati due numeri naturali qualsiasi, n ed m, la loro somma n+m , il loro prodotto n·m e la potenza n^m escluso il caso 0 ⁰ , è un numero naturale.

Non sempre, invece, è possibile calcolare la loro differenza n−m , il loro quoziente n : m o la

radice

n

m

_.

L'insieme dei numeri relativi ℤ

ℤ

ℤ ℤ={... ,−3,−2,−1, 0, +1, +2, +3,...}

Su questi numeri l'operazione di sottrazione è ovunque definita, in altre parole è possibile eseguire tutte le sottrazioni. Non è invece possibile eseguire sempre le divisioni. Per esempio non è possibile, con i numeri interi, eseguire la divisione 3:4.

Per risolvere tutti i problemi di divisione i matematici hanno costruito un insieme più grande di numeri, detto

L’insieme dei numeri razionali che indichiamo nel seguente modo:

, ; , 0

n n m m

m

 

=  ∈ ∈ ≠ 

 

ℚ ℤ ℕ

I numeri esprimibili in forma di frazione.

Con questi numeri è sempre possibile eseguire l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione (ad eccezione della divisione per 0), la potenza.

Non sempre, invece, è possibile eseguire le radici. Per esempio

2

, cioè il numero che elevato al quadrato dà 2, non è un numero razionale, cioè non può essere scritto né sotto forma di frazione né sotto forma di numero decimale finito o periodico. I numeri di questo tipo si dicono numeri irrazionali. Basta ricordare il teorema di Pitagora applicato ad un triangolo rettangolo di cateti pari a 1 e ipotenusa

2

.

Un altro famoso numero irrazionale che si incontra nelle misure geometriche è il numero

π

^{, che}

corrisponde alla misura della circonferenza di diametro 1.

Questi numeri sono detti numeri irrazionali e

costituiscono l’insieme J dei numeri irrazionali.

L'unione degli insiemi ℕ ℕ ℕ ℕ, ℤ ℤ ℤ, ℚ ℤ ℚ ℚ e ℚ J è l'insieme ℝ ℝ ℝ ℝ dei numeri reali .

POSTULATO DI CONTINUITÀ DELLA RETTA. Esiste una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei punti della retta geometrica e l'insieme

ℝ

dei numeri reali.

Da questo postulato segue la possibilità di definire sulla retta un sistema di coordinate: ad ogni punto corrisponde un numero reale (la sua ascissa) e viceversa ad ogni numero reale è associato uno e un solo punto sulla retta; analogamente si ha nel piano dove il sistema di assi cartesiano permette di realizzare una corrispondenza biunivoca tra coppie di numeri reali (ascissa e ordinata del punto) e un punto del piano geometrico.

Disequazioni algebriche

PREREQUISITI: Equazioni di 1° e 2° grado. Formula risolutiva. Equazioni di grado superiore al secondo.

Date due espressioni algebriche A(x) e B(x), delle quali ognuno contenga una lettera, detta incognita, si dice disequazione algebrica ad un’incognita ciascuna delle seguenti disuguaglianze:

) ( )

( x B x

A > A ( x ) < B ( x ) A ( x ) ≥ B ( x ) A ( x ) ≤ B ( x )

per le quali si cercano i valori, se esistono, da attribuire all’incognita che le rendono vere.

Esempi:

x + 2 > - 3x + 1; x

²

> 5x - 6

Risolvere una disequazione significa trovare i valori dell’incognita che sostituiti nel primo e nel secondo membro, trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera.

Una disequazione può essere verificata per infiniti valori o nessun valore dell’incognita.

1. Disequazioni razionale intera di I grado

Una disequazione razionale è intera (o lineare) se si può ridurre nella forma ax>b o ax<b.

Si presenta come delle equazioni di I grado solo che al posto del segno = tra i due membri c’è uno dei seguenti simboli:

> < ≥ ≤ ; ; ;

.

Si risolvono come le equazioni di I grado (ossia con il metodo del trasporto) ma alla fine si ha una tra le seguenti soluzioni:

.

.

0 0 .

0 0 .

s e a x b S o l x b a s e a x b S o l x b

a

s e a b S o l

s e a b S o l

φ

> = >

< = <

= ≠ =

= = = ℜ

Se a < 0 si possono cambiare di segno tutti i termini di una disequazione, purché si cambi il verso della disequazione (ovvero moltiplicando ambo i membri di una disequazione per un numero negativo, si cambia il verso della disequazione).

ESERCIZI SVOLTI

1) 5x – 4 > 3x - 5 portiamo i termini con le “x” a sinistra e i “termini noti” a destra.

5x - 3x > - 5 + 4 ⇒ 2x > - 1 ¹

2

⇒ > − x

2) x x

x + − ≤ − 3 2 2 3 3 2 5

6 ) ( 6 2 2 6

) 3 ( 3 5 2 ) 2 (

6 x + ⋅ − x ≤ ⋅ − x

; 9 6

12 9 6 4 10 9 6

9 9

x x x x x −

− + ≤ − → ≤ − → ≤ ⇒ 2

3 x ≤ −

In forma grafica si avrà:

2. Disequazioni razionali intere di II grado con il metodo algebrico

Una disequazione razionale intera II grado è del tipo:

ax

²

+ bx + c > 0

oppure

ax

²

+ bx + c < 0

.

Sia a > 0 e ∆∆∆∆ = b²- 4ac il discriminante dell’equazione ax² + bx + c = 0 (detta equazione associata alla disequazione).

Si ha la seguente tabella delle soluzioni:

a>0

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < 0

∆ > 0 x < x1 e x > x2 x1 < x < x2

∆ = 0 sempre vera, purchè x≠-b/2a impossibile

∆ < 0 sempre vera impossibile

Dimostrazione

Si studia il segno del trinomio ax² + bx + c. Si suppone “a” un numero positivo.

Si hanno 3 casi

: ∆ ∆∆ ∆ > 0 ∆ ∆∆ ∆ = 0 ∆ ∆∆ ∆ < 0

1) Se il delta dell’equazione ax²+bx+c=0 è positivo, si hanno due soluzioni reali e distinte x1, x2

(con x1<x2) e il polinomio ax² + bx + c si scompone in a(x-x1)(x-x2). Per studiare il segno del polinomio ax² + bx + c si studia il segno del prodotto a(x-x₁)(x-x₂).

Ovvero si pone a(x-x₁)(x-x₂)>0 ossia

x-x1>0 da cui x>x1 quindi x-x1 è positivo (+) per valori di x maggiori di x1 x-x2>0 da cui x>x2 quindi x-x2 è positivo (+) per valori di x maggiori di x2 .

Si ha il seguente grafico delle soluzioni in cui nell’ ultima riga è applicata LA REGOLA DEI SEGNI (il prodotto di 2 fattori è positivo se i fattori hanno stesso segno ed è negativo se i fattori hanno segno diverso).

Il polinomio ax²+bx+c è positivo per x<x₁ e x>x₂ ( si dice anche per valori esterni all’intervallo delle soluzioni); mentre è negativo per x₁<x < x₂ ( per valori interni); da qui le possibili soluzioni di una disequazione di II grado:

ax

²

+ bx + c > 0 per x < x

₁

e x > x

₂ (per valori esterni all’intervallo delleradici).

ax

²

+ bx + c < 0 per x

₁

<x < x

₂

(per valori interni all’intervallo delle radici).

X

2

X

1

+ - +

+

+ +

- -

-

x1 = x2 per cui il polinomio ax² + bx + c si scompone in a(x-x1)²; quindi è un polinomio (trinomio) sempre positivo eccetto per x = x1 perché in tal caso si annulla.

ax² + bx + c > 0 per tutti i valori reali eccetto x=x1 (perché se x=x1 il trinomio si annulla)

ax² + bx + c < 0 mai verificata (ossia è impossibile)

3)Se il delta dell’equazione ax² + bx + c = 0 è minore di zero, non si hanno soluzioni e il trinomio si può riscrivere:

^{2 2 2 2 2 2 2}

2 2 2

( ) ( ) ( ) (4 )

4 4 2 4

b c b b c b b ac b

ax bx c a x x a x x a x

a a a a a a a a

 − 

+ + = + + = + + + − =  − + 

 

ossia si scrive come somma di due addendi sempre positivi ( il quadrato di un binomio) e (4ac- b²)/4ac² che è sempre positivo in quando 4ac-b² è il delta cambiato di segno e poiché il delta è negativo - ∆ è positivo) quindi ax²+bx+c è un polinomio sempre positivo per cui:

ax

²

+ bx + c > 0

per tutti i valori reali

.

ax

²

+ bx + c <0

mai verificata .

Se a<0 si possono cambiare di segno tutti i termini di una disequazione, purchè si cambi di verso della disequazione.

Metodo della parabola

Per capire la tabella si deve vedere dove la parabola di equazione y = ax² + bx + c si trova nel semipiano delle ordinate positive o delle ordinate negative.

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

Se ∆∆∆∆ > 0 la parabola interseca l’asse x in due punti distinti x1 e x₂ e la parabola è positiva per valori di x esterni a tali punti e negativa per valori di x interni a tali punti; se il ∆∆∆∆ = 0 la parabola è tangente all’asse x ed è sempre positiva eccetto nel punto x=-b/2a, dove si annulla; se il ∆∆∆∆ < 0 la parabola è tutta sopra l’asse

x (

ovvero la parabola non interseca l’asse delle ascisse

).

ESERCIZI SVOLTI

Esempio n.1: risolvere la seguente disequazione: - x² + 5x – 6 > 0

• Cambiare i segni e invertire il verso della disuguaglianza (perché a<0); si ha : x²-5x+6< 0

• Calcolare il : ∆ = (-5) ²-4 (1) (6) = 25-24=1, quindi ∆ >0

• Calcolare le soluzioni (usando la formula risolutiva): x1 = 2 e x₂ = 3

• Conclusione (vedere tabella): la disequazione è verificata per 2 < x <3. S =(2 < x <3)

2 3

Esempio n.2: (x+3)² > 2(3x-1)

1) eseguire tutte le operazioni fino a portare la disequazione nella forma: ax² + bx + c > 0 cioè:

x² + 6x + 9 > 6x – 2 → x² + 6x - 6x + 9 +2 > 0 → x²+11>0 a = 1; b = 0; c = 11.

2) Calcolare il ∆: ∆ = - 44 < 0

3) Conclusione: la disequazione è sempre vera: S = ℜ.

-∞ +∞

Esempio n.3: x²- 4x + 4 < 0 a = 1; b = -4; c = 4 1) calcolare il ∆ = (-4)²-4(1)(4) = 16-16= 0 cioè ∆ =0

2) conclusione (vedi. tabella ) la disequazione è impossibile: S=∅ (insieme vuoto).

Esempio n.4: x² - 8x + 12 > 0

1. calcolare il ∆: (-8)²-4(1)(12) = 64 - 48 = 16 quindi il ∆ > 0 2. calcolare le soluzioni x1 = 2 e x2 = 6

3. Conclusione la disequazione è vera per x < 2 e x > 3, ovvero: S ≡ ( x < 2; x > 3).

2 3

3. Disequazioni frazionarie

Una disequazione è razionale fratta se si presenta in una delle seguenti forme

) 0 (

) ( >

x B

x

A 0

) (

) ( <

x B

x

A 0

) (

)

( ≥

x B

x

A 0

) (

)

( ≤

x B

x A

dove A(x) e B(x) sono polinomi nella variabile x.

In sostanza si deve determinare il segno della frazione.

Per esempio nel primo caso

0 ) (

) ( >

x B

x A

bisogna trovare i valori della x che rendono positiva la

frazione

) (

) (

x B

x

A

e ciò succede quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno ( o sono

entrambi positivi o sono entrambi negativi); nel secondo caso

0 ) (

) ( <

x B

x A

bisogna trovare i valori

della x che rendono negativa la frazione

) (

) (

x B

x

A

e ciò succede quando numeratore e denominatore

hanno segni diversi.

La disequazione si può risolvere rapidamente confrontando i segni del numeratore e del denominatore e applicando la regola dei segni si deduce il segno della frazione.

Di seguito si riporta un esempio esplicativo del metodo per risolvere le disequazioni fratte.

Esempio n.5

Risolvere la seguente disequazione fratta

0 3

10

2

3

− <

+

− x x x

Si pone sia il numeratore che il denominatore > 0 e cioè x²- 3x + 10 > 0 e 3 – x > 0 e si risolvono le due disequazioni:

Numeratore: x² - 3x + 10 > 0 ⇒ x² - 3x + 10 = 0; ∆ = 49 > 0

2 7 3 2

49 3

2

2

, 1

= ±

= ±

∆

±

= − a

x b

_{; x1}=10/2=5 e x2= -4/2= -2 ⇒ ∆>0 x²-3x+10>0, quindi la

disequazione è verificata per valori esterni: ossia S = (x<-2; x>5).

Denominatore: 3 – x >0 ⇒ - x >- 3 ⇒ (si cambia di segno e si inverte la diseguaglianza) ⇒ x< 3

Per la rappresentazione grafica, si riportano su due rette parallele le soluzioni del numeratore. e del denominatore e si applica la regola dei segni, ossia

-2 3 5

segno N

. + - - +

segno D.

+ + - -

Frazione

+ - + -

Poiché la frazione deve essere < 0 si prendono gli intervalli dove la frazione è negativa e quindi la disequazione è verificata per: S = (-2 < x < 3; x > 5).

4. Sistemi di disequazioni

Risolvere un sistema di due o più disequazioni significa trovare gli intervalli dei valori della x, che soddisfano contemporaneamente tutte le disequazioni. In pratica si risolvono le disequazioni separatamente ed infine si ricerca dove tutte le disequazioni sono verificate. Operazione di intersezione tra i due insiemi rappresentanti le soluzioni delle singole disequazioni

Esempio n. 6: Risolvere il seguente sistema

 



<

+

−

>

−

0 10 3

0 3

2

x

x x

La prima disequazione è verificata per x < 3; la seconda è verificata per valori interni a –2 e 5 cioè S = (–2<x<5) (per i passaggi vedere es. n. 5). Tracciamo il grafico delle soluzioni delle due disequazioni

- ∞ -2 3 5 + ∞

(Soluzioni)

Entrambe le disequazioni sono verificate per x compreso tra –2 e 3 cioè S = (-2<x<3) o anche: S =

] ^{− 2; 3} [

(intervallo aperto di estremi – 2 e 3).

5. Equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo

(v. esercizi)