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Dati x = (x 1 , . . . , x N ) ∈ R N il prodotto scalare x · y ` e un numero reale definito da

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Academic year: 2021

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(1)

1. Disuguaglianze

Dati x = (x 1 , . . . , x N ) ∈ R N il prodotto scalare x · y ` e un numero reale definito da

x · y = x 1 y 1 + · · · + x N y N .

Il prodotto scalare soddisfa le propriet` a: per x, y, z ∈ R N , λ ∈ R x · y = y · x, (x + y) · z = x · z + y · z, λx · y = λx · y.

e

x · x ≥ 0, x · x = 0, ⇐⇒ x = 0.

Il modulo o la norma di x ∈ R N ` e data da

|x| = q

x 2 1 + x 2 2 + . . . x 2 N Vale per x, y ∈ R N , λ ∈ R

|x| ≥ 0, |x| = 0, ⇐⇒ x = 0.

|λx| = |λ||x|

Vale inoltre la disuguaglianza triangolare (che possiamo ottenere come caso particolare della disuguaglianza di Minkowski p = 2.)

|x + y| ≤ |x| + |y|.

In R N vale (dimostrare per esercizio)

|x − y| 2 = |x| 2 + |y| 2 − 2x · y

La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (che possiamo ottenere come con- seguenza della disuguaglianza di Holder p = q = 2) mette in relazione il prodotto scalare e la norme

|x · y| ≤ |x||y|,

Pi` u in generale possiamo definire per p reale e > 1 kxk p =



|x 1 | p + |x 2 | p + . . . |x N | p



1p

. La notazione

kxk p

`

e giustificata dalla Disuguaglianza di Minkowski.

Premettiamo la seguente

1

(2)

2

Definizione Per ogni p ∈ (1, +∞), si dice coniugato di p il numero reale q tale chet

1 p + 1

q = 1.

Al numero p = 1 si associa q nei reali estesi q = +∞

Disuguaglianza di Young. Sia p ∈ (1, +∞), q il suo coniugato. Per ogni x, y reali e positivi si ha

xy ≤ 1 p x p + 1

q x q .

Disuguaglianza di Holder. Per ogni x, y ∈ R N . Per ogni p ∈ (1, +∞), indicato con q il suo coniugato si ha

|x · y| ≤ kxk p kxk q .

Disuguaglianza di Minkowski. Per ogni p ∈ [1, +∞] e per ogni x, y ∈ R N abbiamo

(1) kx + yk p ≤ kxk p + kyk p .

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