Federica Gregorio e Cristian Tacelli
1
Matrici
Si chiama matrice reale di ordine m×n, A ∈ Mm×n(R), una tabella costituita
da m × n numeri reali disposti in m righe orizzontali e n colonne verticali del tipo A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... ... ... am1 am2 · · · amn
Il numero aij `e il generico elemento della matrice di posto i, j e si trova
all’incrocio della riga i-sima con la colonna j-sima. Esempio 1.1. La matrice A = 2 15 −7 9 1 −3 6 5 −7 2 11 −3 `
e una matrice rettangolare 3 × 4. L’elemento a23 `e l’elemento nella seconda
riga e terza colonna, ovvero 6.
Nel caso particolare in cui m = n la matrice si chiama quadrata di ordine n. Indicheremo con Mn(R) l’insieme della matrici quadrate di ordine n × n. Esempio 1.2. La matrice A = 2 15 −7 9 1 −3 6 5 −7 2 11 −3 1 0 7 −4 `
e una matrice quadrata di ordine 4. Una matrice 1 × n ha la forma
A = (a11 a12 · · · a1n)
e prende il nome di vettore riga. Una matrice m × 1 ha la forma
A = a11 a21 .. . am1
e prende il nome di vettore colonna.
Se A `e una matrice quadrata di ordine n, si definisce diagonale prin-cipale la n-upla (a11, a22, · · · , ann). La diagonale principale della matrice
nell’Esempio 1.2 `e (2, −3, 11, −4).
Si definisce matrice trasposta di una matrice A = (aij) di ordine n × m la
matrice AT = (b
ij) di ordine m×n con generico elemento bij = aji. Quindi AT
`
e ottenuta convertendo ogni riga di A in una colonna di AT. Evidentemente si ha (AT)T = A.
Esempio 1.3. La matrice trasposta di A in Esempio 1.1 `e
AT = 2 1 −7 15 −3 2 −7 6 11 9 5 −3 .
Una matrice quadrata si dice simmetrica se A = AT. In una matrice simmetrica si ha aij = aji per 1 ≤ i, j ≤ n.
Esempio 1.4. La matrice A `e simmetrica.
A = −1 2 5 2 −2 9 5 9 4 .
Data una matrice A ∈ Mm×n(R), e siano p ≤ n e q ≤ m, si definisce
sottomatrice di A di ordine p × q ogni matrice che si ottiene da A cancellando m − p righe e n − q colonne.
Due matrici A, B ∈ Mm×n(R) si dicono uguali se a
ij = bij per i =
1, · · · , m e j = 1, · · · , n.
Una matrice quadrata di ordine n si dice triangolare inferiore se gli ele-menti al di sopra della diagonale principale sono tutti nulli, ovvero aij = 0
per i < j. Una matrice quadrata di ordine n si dice triangolare superiore se gli elementi al di sotto della diagonale principale sono tutti nulli, ovvero aij = 0 per i > j.
Esempio 1.5. La matrice A `e triangolare inferiore. La matrice B `e trian-golare superiore. A = −1 0 0 2 −2 0 5 9 4 B = 1 −8 5 0 3 7 0 0 1 .
2
Operazioni con le matrici
2.1
Somma e prodotto per uno scalare
Siano A = (aij) e B = (bij) due matrici m × n si chiama somma di A e B e
si indica con C = A + B la matrice m × n il cui generico elemento cij `e dato
da cij = aij + bij. Esempio 2.1. A = 2 5 −1 4 0 3 B = 8 −3 0 6 2 −7 A + B = C = 10 2 −1 10 2 −4 .
La somma tra matrici di stessa dimensione gode delle seguenti propriet`a • associativa, (A + B) + C = A + (B + C);
• commutativa, A + B = B + A; • elemento neutro, A + 0 = 0 + A = A;
• esistenza dell’opposto, A + (−A) = 0, con −A = (−aij);
dove 0 `e la matrice nulla, ovvero la matrice di tutti elementi nulli.
Osservazione 2.2. Dalla definizione e dalle propriet`a della somma fra ma-trici di stessa dimensione segue che l’insieme Mm×n(R) costituisce un gruppo
abeliano con l’operazione di somma sopra definita.
Se A = (aij) `e una matrice m × n e λ ∈ R, il prodotto λA `e una matrice
m × n il cui elemento di posto i, j `e λ · aij.
Esempio 2.3. A =2 4 −1 6 −3 5 , 2A = 4 8 −2 12 −6 10
Siano A, B ∈ Mm×n(R) e h, k ∈ R, valgono le seguenti propriet`a
(i) (h + k)A = hA + kA;
(ii) h(A + B) = hA + hB;
(iii) (hk)A = h(kA);
(iv) 1A = A.
2.2
Prodotto tra matrici
Dati un vettore riga e un vettore colonna con lo stesso numero di elementi n, A ∈ M1×n(R) e B ∈ Mn×1(R), si definisce il prodotto righe per colonne AB come un numero reale ottenuto nel seguente modo
(a11 a12 · · · a1n) b11 b21 .. . bn1 = a11b11+ a12b21+ · · · + a1nbn1∈ R.
A questo punto, siano A = (aij) una matrice m × r e B = (bij) una
matrice r × n. Si definisce AB = C la matrice m × n avente come generico elemento cij il prodotto della i-sima riga di A con la j-sima colonna di B,
cij = (ai1· · · air) · b1j .. . brj = r X k=1 aikbkj i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n.
La matrice C `e chiamata prodotto di A e B righe per colonne. N.B.: per effettuare il prodotto righe per colonne AB `e necessario che il numero di colonne della matrice A coincida col numero di righe della matrice B.
Esempio 2.5. 1. (1 0 3) 2 4 −7 = 2 + 0 − 21 = −19. 2. 2 1 3 0 1 −1 · 1 0 1 2 −1 2 4 3 0 0 1 2 = 1 2 9 13 −1 2 3 1 .
Si osservi che il prodotto righe per colonne gode della propriet`a associativa
A(BC) = (AB)C
ma non gode della propriet`a commutativa. Sono definiti entrambi i prodotti AB e BA solo se A e B sono entrambe quadrate oppure A `e di ordine m × n e B `e di ordine n × m. E, in generale, in questi casi
AB 6= BA.
Esempio 2.6. Infatti, per
A =1 2 3 4 B =1 0 1 1
ottengo AB = 3 2 7 4 , BA =1 2 4 6 . Siano A, B ∈ Mn×r(R), C ∈ Mr×p(R), D ∈ Mm×n(R). Valgono le seguenti propriet`a (i) (A + B)C = AC + BC; (ii) D(A + B) = DA + DB; (iii) AI = A = IA; (vi) (BC)T = CTBT.
Sia A ∈ Mn(R). Si dice che A `e invertibile se esistono due matrici
B, C ∈ Mn(R) tale che AB = CA = I, dove I `e la matrice identit`a di ordine n, i.e., I = 1 0 0 · · · 0 0 0 1 0 · · · 0 0 .. . ... ... ... ... ... .. . ... ... ... ... ... .. . ... ... ... ... ... 0 0 0 · · · 0 1 .
B e C si chiamano rispettivamente inversa destra e inversa sinistra di A.
Teorema 2.7. Sia A ∈ Mn(R). Se A ammette inversa destra, allora
am-mette anche inversa sinistra e le due inverse sono uguali. La matrice inversa di A si indica con A−1.
Siano A, B ∈ Mn(R). Valgono le seguenti propriet`a.
(i) Se A `e invertibile, allora anche A−1 `e invertibile e (A−1)−1 = A;
(ii) I `e invertibile e I−1 = I;
(iii) se A e B sono invertibili, allora AB `e invertibile e (AB)−1 = B−1A−1.
3
Matrici a scalini
Una matrice A ∈ Mm×n(R) non nulla si dice a scalini (relativamente alle
(i) se una riga `e nulla, tutte le successive sono nulle,
(ii) il primo elemento non nullo di una riga, detto pivot, `e sempre pi`u a sinistra del primo elemento non nullo delle righe successive.
Esempio 3.1. 1. Le seguenti matrici sono a scalini.
3 7 −2 1 0 0 1 1 0 0 0 −4 , 2 6 −4 3 0 −3 5 0 0 0 −1 4 0 0 0 2 .
2. Le seguenti matrici non sono a scalini
1 −7 3 0 0 0 0 3 0 , 0 4 −2 1 0 −5 .
Teorema 3.2. Ogni matrice A ∈ Mm×n(R) pu`o essere ridotta a scalini per
mezzo delle seguenti operazioni:
(i) scambio di righe ri ↔ rj;
(ii) sostituzione di una riga con un suo multiplo ri → λri, λ ∈ R \ {0};
(iii) sostituzione di una riga con la stessa a cui viene aggiunto un multiplo di un’altra riga ri → ri+ λrj, λ ∈ R \ {0}.
Il seguente algoritmo (detto di Gauss) permette di ridurre una qualsiasi matrice rettangolare m × n a una matrice a scalini.
Passo 1 Individuiamo la prima colonna non nulla (partendo da sinistra) e il primo elemento non nullo (partendo dall’alto) di tale colonna. Diciamo aij 6= 0.
Passo 2 Se i 6= 1 scambio le righe r1 e ri (r1 ↔ ri) e quindi si avr`a a1j 6= 0.
Passo 3 Per ogni riga ri, i > 1, dobbiamo azzerare l’elemento aij. A tal fine
effettuiamo la trasformazione ri → ri− aij
a1jr1.
Passo 4 Escludiamo la prima riga, quindi consideriamo la sottomatrice delle righe ri, 2 ≤ i ≤ n. Se quest’ultima `e costituita da una sola riga o `e
la matrice nulla l’algoritmo termina; altrimenti ricominciamo dal passo 1 applicato a tale sottomatrice. Terminato l’algoritmo si ricava una matrice a scalini.
Esempio 3.3. 0 1 0 1 0 −2 −2 −1 −3 1 5 1 r1↔r2 1 0 −2 0 1 0 −2 −1 −3 1 5 1 r3→r3+2r1 r4→r4−r1 1 0 −2 0 1 0 0 −1 −7 0 5 3 r3→r3+r2 r4→r4−5r2 1 0 −2 0 1 0 0 0 −7 0 0 3 r4→r4+37r3 1 0 −2 0 1 0 0 0 −7 0 0 0 .
In una matrice a scalini, se il pivot di ogni riga vale 1, la matrice si dice a scalini ridotta.
Ogni matrice pu`o essere trasformata in una matrice a scalini ridotta tramite le operazioni sopra riportate. Un modo di procedere pu`o essere applicare l’algoritmo di Gauss facendo in modo di avere pivot 1 (dividere ogni riga per il pivot della stessa). Osserviamo che la forma a scalini ridotta di una matrice `e unica mentre esistono pi`u forme a scalini.
4
Determinante
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su un campo K. Denotiamo con Vn il prodotto cartesiano Vn = V × V × · · · × V .
Una matrice quadrata su K, A = (aij), i, j = i, . . . n pu`o essere
consid-erata un elemento di Vn dove V = Kn. Infatti possiamo indicare la matrice come A = (r1, . . . , rn) dove ri = (ai1, ai2, . . . , ain) con i = 1, . . . n, `e il vettore
che rappresenta la i−esima riga.
Definizione 4.1. Si chiama determinante un’ applicazione di Vn in R,
de-notata con det : Vn → R, (v1, . . . , vn) 7→ det (v1, . . . , vn) tale che
1. det `e un’applicazione lineare, cio´e
i) det (v1, . . . , vk+ vk0, . . . , vn) =
ii) det (v1, . . . , λvk, . . . , vn) = λ det (v1, . . . , vk, . . . , vn) per ogni λ ∈
K;
2. det `e alternante: invertendo due vettori il determinante cambia di segno
det (v1, . . . , vk, . . . vs, . . . , vn) = (−1) det (v1, . . . , vs, . . . vk, . . . , vn)
3. det(e1, . . . , en) = 1
Sia A ∈ Mn(K), si chiama determinate di A, l’applicazione sopra definita
considerata sulle righe di A.
1. det A `e un applicazione lineare nelle righe di A;
2. Invertendo due righe il determinante cambia di segno;
3. det I = 1.
Si dimostra che una tale applicazione esiste ed `e unica.
Teorema 4.2. Sia V spazio vettoriale su K. Se il sistema di vettori {v1, . . . , vn}
`
e l.d. allora det {v1, . . . , vn} = 0.
Dim. Cominciamo a provare che un sistema di vettori che ha due vettori uguali ha determinante nullo. Supponiamo che v2 = v1. Dalle propriet`a del
determinante, permutando i primi due vettori tra di loro, abbiamo che
det{v1, v1, v3, . . . , vn} = (−1) det{v1, v1, v3, . . . , vn},
da cui 2 det{v1, v1, v3, . . . , vn} = 0.
Sia ora un sistema l.d. ci`o vuol dire che almeno uno di essi `e c.l. degli altri. Supponiamo che v1 =
Pn
j=2λjvj con λi non tutti nulli. Allora
det{v1, v2, v3, . . . , vn} = det{ n X j=2 λjvj, v2, v3, . . . , vn} = n X j=2 λjdet{vj, v2, v3, . . . , vn} = 0.
Se i λi sono tutti nulli allora v1 = 0. In questo caso poich´e 0 = 0v per
qualunque vettore di V abbiamo det{0, v2, v3, . . . , vn} = det{0v, v2, v3, . . . , vn} =
4.1
Calcolo del determinante con la regola di Laplace
Se A = (a) ∈ M1(R) allora il determinante di A, denotato con |A| oppure
det A, `e dato da a. Per n > 1 il determinante si pu`o calcolare in maniera ricorsiva mediante la regola di Laplace. Prima di procedere dobbiamo fissare alcune notazioni.
Chiamiamo matrice complementare di aij la sottomatrice Aij ∈ Mn−1(R)
ottenuta da A eliminando la i−esima riga e la j−esima colonna.
Chiamiamo cofattore o complemento algebrico di aij il numero ∆ij =
(−1)i+j|Aij|.
Possiamo ora calcolare il determinante di una matrice A. Fissiamo una riga. Sia dunque i ∈ N, i ≤ n, abbiamo
det A = ai1∆i1+ ai2∆i2+ · · · + ain∆in = n
X
j=1
(−1)i+jaijdet Aij.
Se invece fissiamo una colonna di indice j abbiamo
det A = a1j∆1j + a2j∆2j + · · · + anj∆nj = n X i=1 (−1)i+jaijdet Aij. Esempio 4.3. 1. Sia A = a b c d .
Fissiamo la prima riga. Abbiamo
|A| = a∆11+ b∆12= a(−1)1+1d + b(−1)1+2c = ad − bc.
2. Sia A = 1 2 0 0 −1 2 2 5 3 abbiamo |A| = 1∆11+ 2∆12+ 0∆13= 1(−1)1+1 −1 2 5 3 + 2(−1)1+2 0 2 2 3 + 0(−1)1+3 0 −1 2 5 = 1(−3 − 10) − 2(0 − 4) + 0(0 + 2) = −5.
Osservazione 4.4. Il determinante di una matrice con una riga (colonna) tutta nulla `e zero. Infatti, basta sviluppare il determinante secondo tale riga (colonna).
Proposizione 4.5. Se A `e una matrice diagonale, cio`e aij = 0 per i 6= j,
allora detA = a11· · · ann.
Proof. Infatti sviluppando secondo la prima riga ottengo detA = a11det A11,
dove A11 `e a sua volta diagonale e
det A11 = a22 a33 0 . . . 0 0 a44 0 0 0 0 ... ... 0 0 0 ann .
Ripetendo il ragionamento ottengo l’asserto.
Proposizione 4.6. Il determinante di una matrice triangolare `e uguale al prodotto degli elementi della diagonale.
Se A = a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n 0 0 ... ... 0 0 0 ann abbiamo det A = a11a22· · · ann.
Dunque il calcolo del determinate per matrici triangolari `e assai pi`u agev-ole. Vediamo come ridurre una matrice quadrata qualsiasi ad una matrice triangolare di stesso determinante.
4.2
Calcolo del determinante con la riduzione a scala
della matrice
Proposizione 4.7. Sia A ∈ Mn(R). Abbiamo
(i) det A = det AT (conseguenza: ogni propriet`a valida per le righe `e valida
anche per le colonne);
(ii) se scambiamo tra di loro due righe (colonne) il determinante cambia di segno;
(iii) se moltiplichiamo tutti gli elementi di una riga (colonna) per uno stesso scalare λ il determinante si moltiplica per λ;
(iv) se una riga (colonna) di A `e combinazione lineare delle altre righe (colonne) il determinante `e nullo;
• se aggiungiamo ad una riga (colonna) una combinazione lineare delle altre il determinante non cambia.
Permutiamo ad A le prime due righe
A = 1 2 0 0 −1 2 2 5 3 r1 →r2 r2→r1 A 0 = 0 −1 2 1 2 0 2 5 3 abbiamo det A0 = 5.
Moltiplichiamo la seconda riga di A per lo scalare −2
A = 1 2 0 0 −1 2 2 5 3 r2→−2r2 A0 = 1 2 0 0 2 −4 2 5 3
abbiamo det A0 = (−2) det A = 10.
Consideriamo una matrice che ha le due prime righe uguali r1 = r2
B = 0 −1 2 0 −1 2 2 5 3
abbiamo det B = 0. Consideriamo una matrice che ha come prima riga il doppio della seconda r1 = 2r2
C = 0 −2 4 0 −1 2 2 5 3 abbiamo det C = 0.
Consideriamo una matrice che ha come prima riga una combinazione lineare della seconda e della terza, ossia r1 = αr2+ βr3 con α, β ∈ R.
D = 2β −α + 5β 2α + 3β 0 −1 2 2 5 3 abbiamo det D = 0.
Consideriamo ora una trasformazione che lascia invariato il determinante. Aggiungiamo alla prima riga di A la seconda riga moltiplicata per 2.
A = 1 2 0 0 −1 2 2 5 3 r1→r1+2r2 A0 = 1 0 4 0 −1 2 2 5 3
abbiamo det A0 = −5.
Utilizzando le propriet`a dei determinanti che non ne modificano il deter-minante si pu`o trasformare una matrice A in un altra matrice B triangolare e con lo stesso determinante di A.
Rendiamo A triangolare 1 2 0 0 −1 2 2 5 3 r3→r3−2r1 1 2 0 0 −1 2 0 1 3 r3→r3+2r2 1 2 0 0 −1 2 0 0 5
Il calcolo del determinante dell’ultima matrice `e assai pi`u agevole.
Di seguito l’algoritmo per trasformare una matrice data in una triangolare e con lo stesso determinante.
Sia A ∈ Mn(R) A = a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... ... an1 · · · ann
Assumiamo a11 6= 0, altrimenti permutiamo la prima riga con un alta avente
primo elemento non nullo, se tale riga non esiste allora il determinante sar`a nullo. Poich´e la permutazione di due righe inverte il segno del determinante, per ogni permutazione che operiamo dobbiamo moltiplicare una riga per −1. Eseguiamo le seguenti trasformazioni
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n a31 a32 . . . a3n .. . ... ... ... an1 · · · ann r2→r2−a21a11r1 r3→r3−a31a11r1 .. . rn→rn−an1a11r1 a11 a12 . . . a1n 0 a022 . . . a02n 0 a032 . . . a03n .. . ... ... ... 0 a0n2 · · · a0nn .
Si fa altrettanto con la sottomatrice ottenuta eliminando la prima riga e la prima colonna. a11 a12 . . . a1n 0 a022 . . . a02n 0 a032 . . . a03n .. . ... ... ... 0 a0n2 · · · a0nn r3→r3−a032a0r2 22 r4→r4−a042a0r222 .. . rn→rn−a0n2a0r2 22 a11 a12 a13 . . . a1n 0 a022 a023 . . . a02n 0 0 a0033 . . . a003n .. . ... ... ... 0 0 a00n3 · · · a00nn .
Calcolare il determinante di A = 2 2 1 0 −1 1 0 −2 2 0 −1 1 3 1 0 1 abbiamo 2 2 1 0 −1 1 0 −2 2 0 −1 1 3 1 0 1 r2→r2+12r1 r3→r3−r1 r4→r4−32r1 2 2 1 0 0 2 1/2 −2 0 −2 −2 1 0 −2 −3/2 1 r3→r3+r2 r4→r4+r2 2 2 1 0 0 2 1/2 −2 0 0 −3/2 −1 0 0 −1 −1 r4→r4−23r3 2 2 1 0 0 2 1/2 −2 0 0 −3/2 −1 0 0 0 −1/3
Per cui il determinante di A sar`a dato da |A| = 2 · 2 · (−3/2)(−1/3) = 2.
4.3
Esercizi
Calcolare il determinante delle seguenti matrici.
1. A = 1 3 −1 3 9 4 −1 5 1 , detA = −56. 2. A = 3 1 −5 8 0 2 0 −1 −1 5 1 0 2 0 −4 3 , detA = 32. 3. A = 1 0 −3 1 2 −4 3 −5 1 , detA = 15.
5
Rango
Data una matrice rettangolare A ∈ Mm×n(R) si chiamano minori di or-dine k i determinanti delle sottomatrici quadrate di oror-dine k estraibili da A. Necessariamente si dovr`a avere k ≤ min{m, n}.
Si definisce rango di A ∈ Mm×n(R), e si indica con rank A, l’ordine massimo dei suoi minori non nulli. Abbiamo cio`e k = rank A se
(i) dalla matrice A si pu`o estrarre almeno un minore di ordine k diverso da zero,
(ii) tutti gli eventuali minori d’ordine maggiore di k, che si possono estrarre dalla matrice A, sono nulli.
Proposizione 5.1. Sia A ∈ Mm×n(R) e siano ri e cj rispettivamente le sue
righe e le sue colonne
rank A = rank{r1, . . . , rm} = rank{c1, . . . , cn}.
Quest’ultima proposizione afferma che il rango di una matrice rappresenta il massimo numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti che posso estrarre dalla matrice.
Osservazione 5.2. Quando la matrice A `e quadrata di ordine n, risulta rank A = n se e soltanto se det A 6= 0.
Esempio 5.3. 1. Calcolare il rango della seguente matrice
A = 1 −1 2 3 0 2 1 −4 3 1 3 0
La matrice A `e 4 × 3. Dunque A pu`o avere al pi`u rango 3. Calcolo i minori di ordine 3. M1 = 1 −1 2 3 0 2 1 3 0 = 1 −1 2 0 2 − 3 1 2 3 2 = 10 6= 0
Abbiamo quindi trovato un minore di ordine 3 non nullo, il rango di A `
e 3.
2. Calcolare il rango della seguente matrice
A = 1 1 2 1 0 3 2 1 1 4 4 2
Il rango massimo pu`o essere tre. Calcolo i minori del terzo ordine
M1 = 1 1 2 0 3 2 1 4 4 0, M2 = 1 1 1 0 3 1 1 4 2 = 0,
M3 = 1 2 1 0 2 1 1 4 2 = 0, M4 = 1 2 1 3 2 1 4 4 2 = 0.
Dunque il rango di A non pu`o essere 3. Valuto i minori del secondo ordine. m1 = 1 1 0 3 = 3 6= 0. Il rango di A `e 2.
Il seguente teorema ci facilita il calcolo del rango.
Teorema 5.4 (Teorema degli orlati). Se la matrice A, quadrata o rettan-golare, possiede un minore M non nullo, di ordine k, e se sono nulli tutti i minori di ordine k + 1 di A, ottenuti orlando M con una riga e una colonna qualsiasi di A, allora il rango di A `e uguale a k.
Esempio 5.5. Calcolare il rango della seguente matrice
A = 2 0 −1 3 0 1 −1 1 2 −1 0 2
Il rango massimo di A `e 3. Considero la sottomatrice di ordine 2 m1 =
2 0 0 1
che ha determinante diverso da zero. Se tutti gli orlati, cio`e le matrici quadrate di ordine 3 ottenute completando m1 con le righe e le
colonne di A, hanno determinante nullo il rango `e due. Altrimenti `e tre. Considero gli orlati di m1.
M1 = 2 0 −1 0 1 −1 2 −1 0 = 0 e M2 = 2 0 3 0 1 1 2 −1 2 = 0. Dunque il rango di A `e 2.
5.1
Calcolo del rango con la riduzione a scalini della
matrice
Proposizione 5.6. Sia A ∈ Mn×m(R). Abbiamo (i) rank A = rank AT;
(ii) se scambiamo tra di loro due righe (colonne) il rango non cambia;
(iii) se moltiplichiamo tutti gli elementi di una riga (colonna) per uno stesso scalare λ il rango non cambia;
(iv) se aggiungiamo ad una riga (colonna) una combinazione lineare delle altre il rango non cambia.
Questa proposizione ci permette di trasformare una data matrice in un’altra matrice di rango uguale ma ridotta a scala. Il rango di quest’ultima `e esat-tamente uguale al numero delle righe non nulle.
Esempio 5.7. Calcolare il rango della matrice
0 1 −2 3 1 3 0 2 2 3 6 −5 .
Riduciamo la matrice a scalini 0 1 −2 3 1 3 0 2 2 3 6 −5 r1 ↔ r2 1 3 0 2 0 1 −2 3 2 3 6 −5 r3 → r3− 2r1 1 3 0 2 0 1 −2 3 0 −3 6 −9 r3 → r3+ 3r2 1 3 0 2 0 1 −2 3 0 0 0 0 .
Quindi la matrice ha rango 2.
6
Matrici inverse
Sia A una matrice quadrata di ordine n. Diremo che A `e invertibile se esiste una matrice A−1 di ordine n tale che
A · A−1 = A−1A = I
dove I `e la matrice identica
I = 1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 .. . ... ... ... 0 0 · · · 1
Se la matrice inversa esiste essa `e unica.
Esempio 6.1. A =−4 −3 −3 −2 B = 2 −3 −3 4 verifica che AB = BA = I.
Teorema 6.2. Se A = (aij) `e una matrice di ordine n con det A 6= 0, allora
A `e invertibile e gli elementi bij della matrice inversa A−1 sono dati da
bij = (−1)i+j
det Aji
det A dove Aji `e il minore complementare di aji.
Infatti, verifichiamo che AA−1 = I. Il generico elemento cij di AA−1 `e
cij = (ai1 · · · ain) b1j .. . bnj = n X k=1 aikbkj
che, per come `e definito bij, sar`a
cij = n X k=1 aik(−1)k+j det Ajk det A = 1 det A n X k=1 (−1)k+jaikdet Ajk.
Se i = j abbiamo, per la formula di Laplace
1 det A n X k=1 (−1)k+iaikdet Aik = 1 det Adet A = 1, se i 6= j la sommaPn k=1(−1) k+ja
ikdet Ajk = 0 non `e altro che il determinante
della matrice a11 a12 . . . a1n .. . ... ... ... ai1 ai2 . . . ain .. . ... ... ... a(j−1)1 a(j−1)2 . . . a(j−1)n ai1 ai2 . . . ain a(j+1)1 a(j+1)2 . . . a(j+1)n .. . ... ... ... an1 · · · ann
che `e nullo in quanto la matrice ha la i−esima e la j−esima riga uguali. Quindi AA−1 = I. Analogamente si procede per A−1A.
Esempio 6.3. Consideriamo A = −2 −1 1 2 −1 1 1 −1 2
abbiamo |A| = 4 e quindi A−1 = 1 4 −1 −3 −1 1 −5 −3 0 4 4 T = −1/4 1/4 0 −3/4 −5/4 1 −1/4 −3/4 1 .
6.1
Esercizi
Calcolare l’inversa delle seguenti matrici.
1. A = 2 −5 4 0 7 0 2 1 9 , detA = 70, A−1 = 701 63 49 −28 0 10 0 −14 −12 14 .
