Capitolo 3: Metodi di calcolo e algoritmi genetici 3 Introduzione

Capitolo 3: Metodi di calcolo e algoritmi genetici

3 Introduzione

Durante la seconda metà del diciannovesimo secolo, Charles Darwin rivoluzionò il mondo delle scienze biologiche elaborando la sua teoria evoluzionistica secondo la quale esiste un processo naturale grazie alla quale la natura stessa seleziona e “ottimizza” gli organismi più adatti alla sopravvivenza [11].

Negli stessi anni, Gregor Mendel elaborò le basilari leggi genetiche che permisero di capire come l’evoluzione potesse avere luogo [12].

L’avvento dei computers e la potenza delle moderne tecniche di calcolo ci permettono ora di applicare i processi di ottimizzazione naturale a strutture di diverso tipo, tra cui anche quelle costruite secondo le leggi di Maxwell: il prodotto di questo studio sono gli Algoritmi Genetici, (GA).

Seguendo la teoria di Darwin, secondo la quale i discendenti di una specie subiscono delle modifiche apportate dalla selezione naturale, i GA lavorano in modo da favorire l’evoluzione di una popolazione candidata verso l’obiettivo prestabilito [13], ovvero lavorano con una popolazione di individui, ciascuno dei quali rappresenta una possibile soluzione del problema posto.

Ad ogni individuo è associata un punteggio di adattamento detto “fitness” che viene assegnato in relazione alla bontà della soluzione del problema.

L’analogia con quello che accade in natura è espressa dalla capacità del singolo individuo di riuscire a competere per la propria sopravvivenza. Gli individui migliori hanno la possibilità di riprodursi incrociandosi con altri individui della popolazione:

ciascun genitore. Gli individui meno adatti hanno meno probabilità di riprodursi e quindi si estinguono, mentre gli individui migliori, accoppiandosi danno origine a una nuova intera popolazione.

La nuova generazione contiene una proporzione più alta delle caratteristiche possedute dagli individui “buoni” della precedente generazione: in questo modo, dopo molte generazioni, le “buone” caratteristiche vengono propagate a tutta la popolazione, essendo mescolate e scambiate con altre “buone” caratteristiche.

I GA non garantiscono di trovare una soluzione ottima per un dato problema, ma generalmente trovano una soluzione sufficientemente buona in tempi sufficientemente brevi.

3.1 Terminologia e concetti fondamentali

Una volta individuato il problema, una possibile soluzione viene rappresentata come un insieme di coefficienti detti “geni”, i quali sono uniti insieme per formare una stringa di valori, il “cromosoma”, che costituisce un individuo della popolazione.

L’insieme dei parametri rappresentati da un particolare cromosoma è chiamato “genotipo” . Il genotipo contiene le informazioni richieste per costruire un organismo che viene chiamato “fenotipo”.

Il funzionamento degli algoritmi genetici si basa su quattro procedimenti principali:

1.

SELEZIONE:

La selezione naturale favorisce, attraverso la riproduzione degli individui migliori (cioè quelli con un migliore valore di fitness), quelle particolari combinazioni genetiche che danno vita ad un organismo più efficiente.

2.

CROSSOVER:

Il crossover è il procedimento mediante il quale viene eseguita una ricombinazione genetica tra due individui, in questo modo ciascuno dei figli erediterà alcuni geni da entrambi i genitori.

3.

MUTAZIONE:

Attraverso la mutazione viene alterato in modo casuale (seguendo una distribuzione di probabilità uniforme ) ogni gene.

L’utilizzo di tale metodo aumenta la probabilità di esplorare un numero maggiore di configurazioni.

4.

ELITISMO:

Quando creiamo una nuova popolazione con crossover e mutazione, abbiamo un’alta probabilità di perdere il miglior cromosoma della popolazione precedente. L’elitismo è un metodo che copia il miglior cromosoma della popolazione precedente nella nuova. Questo può far crescere rapidamente le performance del GA perché evita la perdita della migliore soluzione trovata.

Gli Algoritmi genetici possono essere classificati in base alla natura dei coefficienti che compongono le stringhe:

a) Binario:

i coefficienti che formano il cromosoma sono codificati in modo

binario.

Una volta scelto il tipo di codifica per il cromosoma, un ruolo fondamentale viene svolto dalla cosiddetta “funzione di fitness” che serve per giudicare la bontà di ciascun cromosoma rispetto al problema che si vuole risolvere.

Per ottimizzare questo progetto sono stati implementati entrambi i tipi di algoritmo, in particolare abbiamo implementato un algoritmo di tipo binario per l’ottimizzazione dell’horn corrugato e uno di tipo reale per l’ottimizzazione del polarizzatore.

Per maggiori informazioni sugli Algoritmi genetici si rimanda alle numerosissime pubblicazioni sul tema.

3.2 Ottimizzazione dell’horn corrugato

Come anticipato nel precedente paragrafo, per l’ottimizzazione dell’horn corrugato si è sviluppato e applicato un algoritmo genetico di tipo binario i cui passi sono rappresentati nel diagramma a blocchi di Fig. 3.2.

Il criterio di ottimizzazione è stato formulato sulla base dell’influenza dei vari parametri costruttivi sulle prestazioni dell’horn, in particolare:

1) raggio di apertura dell’horn e angolo di flare: agiscono sulla direttività e sull’efficienza del fascio.

La direttività è legata alla larghezza del fascio, e quindi alla corretta illuminazione del subriflettore del compact range.

L’efficienza del fascio è la percentuale di energia irradiata dall’horn all’interno del lobo principale rispetto all’energia globale irradiata, e quindi è legata alla quantità di energia che viene riflessa dalle pareti del compact range.

2) Profilo delle corrugazioni (larghezza-profondità delle gole e dei denti) prossime all’apertura: agiscono sulla simmetria del fascio sui piani principali (0° e 90°).

3) Profilo delle corrugazioni (larghezza-profondità delle gole e dei denti) iniziali: agiscono sull’adattamento tra la guida cilindrica liscia di alimentazione e la guida conica corrugata.

Alla luce di ciò, come dati di ingresso dell’algoritmo sono stati assunti i seguenti:

DATI DI INPUT:

N_popolazione:

numero degli elementi della popolazione iniziale,

N_bit:

numero di bit usati per la codifica di ogni parametro da ottimizzare,

R_min, R_max:

intervallo di variazione per il raggio dell’apertura dell’horn,

θ_min, θ _max:

intervallo di variazione dell’angolo di flare,

p_min, p _max:

profondità delle gole della guida conica corrugata,

l_min, l_max:

larghezza delle gole della guida conica corrugata.

A partire da questi dati viene creata la popolazione iniziale la quale è composta da una matrice di bit (4N_bit) x (N_pop), dove ogni colonna della matrice rappresenta un individuo della popolazione.

Ogni individuo viene quindi estratto e codificato secondo la seguente legge:

N bit i i i bit N C X X X X 2 2 1 _ 0 _ min max min

∑

− = − + = (3.2.1) Dove :

-) Xmin e Xmax delimitano il range di variabilità del generico parametro (R, θ, p, l). -) Ci è l’i-esimo bit di ogni individuo.

Fig. 3.1: Passaggio dal cromosoma binario a quello reale

Quindi, ogni individuo è formato da un vettore contenete i parametri R (raggio di apertura dell’horn), θ (angolo di flare), p (profondità delle gole della guida conica corrugata), l (larghezza delle gole della guida conica corrugata).

Una volta ottenuti i cromosomi reali, viene chiamato il simulatore FHAPP, ed eseguita la prima simulazione, ovvero per ogni individuo vengono calcolati gli andamenti della componente copolare sui piani principali e sul piano a 45°, il livello della cross polare sul piano a 45° alle frequenze 31, 33 e 35 GHz e il ROS (Rapporto d’Onda Stazionaria) su tutta la banda (31-35 GHz).

VETTORE DI NUMERI REALI

(CROMOSOMA REALE) SINGOLA COLONNA

DELLA MATRICE DI BIT (CROMOSOMA BINARIO) C0 . . . CN_bit - 1 C N_bit . . . C2N_bit - 1 C2N_bit . . . C3N_bit - 1 C3N_bit . . . C4N_bit - 1

R

θ

p

l

APPLICO LA (3.3.1)

Noti gli andamenti della copolare, della crosspolare e del ROS, viene calcolato il valore della funzione di Fitness facendo un confronto tra gli andamenti ottenuti e quelli relativi alle specifiche di progetto.

Come possiamo notare dal diagramma di flusso di Fig. 3.2, per il calcolo della funzione di fitness sono richieste delle maschere e dei pesi. Le maschere rappresentano gli andamenti richiesti dalle specifiche di progetto, mentre i pesi stabiliscono quanto deve essere pesato lo scostamento tra l’andamento richiesto e l’andamento ottenuto durante il confronto per la valutazione del Fitness stesso.

Se il valore della funzione di Fitness supera un “valore soglia” fissato a priori, si decide di continuare il processo di simulazione.

In tal caso occorre generare una nuova popolazione, per far ciò viene utilizzato il GA e quindi vengono eseguite le fasi di Selezione, Crossover, Mutazione ed eventualmente Elitismo (questa operazione viene eseguita soltanto per popolazioni successive alla prima).

Nota la nuova popolazione si ripete il ciclo di simulazione e confronto fino a quando viene raggiunto un valore di Fitness da noi ritenuto soddisfacente: a questo punto termina il processo iterativo e vengono resi disponibili i parametri ottimizzati.

Fig. 3.2: Diagramma a blocchi dell’algoritmo genetico usato per ottimizzare l’horn corrugato INPUT MASCHERE E PESI GENERAZIONE INIZIALE FHAPP VALUTAZIONE FITNESS OBIETTIVO RAGGIUNTO GENERAZIONE INIZIALE ELITISMO CROSSOVER MUTAZIONE SELEZIONE

SI

SI

NO

NO

PARAMETRI OTTIMI

3.3 Ottimizzazione del polarizzatore

A differenza del precedente caso, per ottimizzare si è deciso di utilizzare un algoritmo genetico di tipo reale.

I passi che segue questo algoritmo sono rappresentati in Fig. 3.3.

Anche in questo caso il criterio di ottimizzazione è stato formulato sulla base dell’effetto dei vari parametri sulle prestazioni del polarizzatore in termini di AR e coefficienti di riflessione, in particolare:

1) raggio della guida cilindrica: agisce sulla velocità di propagazione del campo elettromagnetico e quindi può influire sulle prestazioni del polarizzatore al variare della frequenza,

2) spaziatura tra le iridi: agisce sulla combinazione in fase tra gli sfasamenti prodotti dalle iridi,

3) profondità delle iridi: agiscono direttamente sia sullo sfasamento tra le componenti di campo elettromagnetico, che sul coefficiente di riflessione del dispositivo.

Lo spessore delle iridi viene assunto sempre trascurabile rispetto alla lunghezza d’onda e quindi non viene considerato come parametro da ottimizzare.

DATI DI INPUT:

N_popolazione:

numero degli individui che costituiscono la popolazione iniziale,

r_min,r_max:

intervallo di variazione per la determinazione del raggio ottimo della guida d’onda a sezione circolare utilizzata per realizzare il polarizzatore,

h_min,h_max:

intervallo di variazione per la determinazione della profondità delle iridi.

Anche in questo caso, ovviamente, l’algoritmo parte generando la popolazione iniziale partendo dai dati di input.

Diversamente dal caso binario, i dati di input vengono organizzati in vettori reali che costituiscono i cromosomi.

Una volta nota la popolazione iniziale viene chiamato il FHAPP che esegue la simulazione per entrambe le polarizzazioni, parallela e perpendicolare alle iridi.

Il GA reale segue gli stessi passi del GA binario esaminato nel caso dell’horn: l’unica differenza riguarda la funzione di Fitness che in questo caso, valuta lo scostamento dei risultati dalle specifiche di progetto richieste per AR e ROS.

Fig. 3.3: Diagramma a blocchi dell’algoritmo genetico usato per ottimizzare il polarizzatore ad iridi

NO

GENERAZIONE INIZIALE SELEZIONE

SI

ELITISMO OBIETTIVO RAGGIUNTO CROSSOVER MUTAZIONE

SI

NO

PARAMETRI OTTIMI VALUTAZIONE FITNESS GENERAZIONE INIZIALE FHAPP “PAR” FHAPP “PER” INPUT MASCHERE E PESI

3.4 Codice di calcolo FHAPP

Il codice FHAPP (Fast Horn Analysis Program Package) è un metodo ci calcolo utilizzato per il progetto e lo studio di componenti passivi a microonde, [17].

Questo programma si basa sulla tecnica nota come Mode Matching, un metodo che risulta particolarmente efficiente per strutture in guida d’onda schematizzabili come cascate di discontinuità.

Il principale vantaggio dell’analisi modale, consiste nella possibilità di considerare l’interazione dei modi nei quali viene rappresentato il campo, compresi quelli di ordine superiore: in questo modo viene anche incluso l’effetto dei modi evanescenti sul campo totale.

Per questo motivo il Mode Matching è considerato un metodo “full wave” in grado di ricostruire l’andamento del campo elettromagnetico in modo completo. In ogni tratto di guida il campo elettromagnetico viene descritto come somma pesata delle soluzioni delle equazioni di Maxwell. Il Mode Matching consiste nell’accoppiare i campi così ottenuti sulle discontinuità, per garantire la continuità dei campi elettrico e magnetico sulle sezioni di discontinuità.

Il caso più semplice di discontinuità si ottiene accoppiando due guide di sezione diversa: questa discontinuità rappresenta l’elemento canonico per ricavare l’analisi di componenti più complessi formati da una semplice cascata di discontinuità come filtri, polarizzatori , horns, etc.., [27], e su questo principio che il FHAPP lavora.

In ogni singola sezione traversa, il campo viene descritto come somma di soluzioni note delle equazioni di Maxwell (eigenmodes) in quella regione; l’espansioni di campo così ottenute vengono “accoppiate” sul piano della discontinuità in modo da ottenere la matrice di scattering generalizzata, GSM.

Se la struttura può essere scomposta come cascata di discontinuità, come detto in precedenza, allora la matrice di scattering del sistema globale verrà ottenuta ponendo in cascata le matrici di scattering delle singole discontinuità.

Il Mode Matching è basato sull’approssimazione di componenti di campo elettrico e magnetico mediante le serie di Fourier.

L’argomento delle funzioni seno e coseno usate per l’approssimazione in un sistema di coordinate di tipo cartesiano, è specificato dal periodo spaziale della forma d’onda. Una volta che sono stati calcolati i coefficienti di Fourier, il programma ricava la distribuzione di campo.

Consideriamo ad esempio le forme d’onda rappresentate in Fig. 3.4, dove f1 (x) ha

periodo 2x0 e f2 (x) ha periodo 2(x2 - x1):

Fig. 3.4: Forme d’onda periodiche

f1 (x) può allora essere rappresentata mediante la sua trasformata di Fourier:

f2 (x) f1 (x) X1 X2 X0 f(x) x

( )

_      =

∑

∞ = x x n sen a x f n n 0 1 1 π (3.4.1)

I coefficienti an si possono ottenere moltiplicando per sen(mπx/ x0) e integrando:

( )

x dx x n sen x x m sen a dx x f x x m sen x n n x             =      

∫

∑

∫

∞₌ 0 0 0 1 1 0 0 0 0 π π π (3.4.2)

Poichè le funzioni sinusoidali delle equazioni (3.4.1) e (3.4.2) costituiscono un sistema

di funzioni ortogonali, l’integrale a secondo membro della (3.4.2) vale (x0 /2) se m = n

e 0 altrimenti; quindi: x x f

( )

x dx a_m x m sen x _ =    

∫

₀ 1 0 0 0 2 π (3.4.3)

Poiché f1 (x) è una funzione ignota, in coefficienti am possono essere calcolati

sostituendo f1 (x) con la trasformata di Fourier di f2 (x) nell’intervallo [x1, x2]: x1≤ x ≤ x2 :

( )

( )

(

x x

)

dx x x k sen b x f x f k k       − − = =

∑

∞ =1 2 1 1 2 1 π (3.4.4)

Combinando la (3.4.3) e la (3.4.4) possiamo ricavare i coefficienti am e similarmente i coefficienti bk:

(

x x

)

dx x x k sen x x m sen b x a x k k m       − −       =

∑

∞

∫

=1 0 0 2 1 1 0 0 2 π π (3.4.5)

(

x x

)

dx x x k sen x x m sen a x x b x x m m k       − −       − =

∑

∞

_∫

=1 0 2 1 1 1 2 2 1 2 π π (3.4.6)

Effettuando un troncamento nel calcolo delle sommatorie, le precedenti equazioni possono essere riscritte in forma matriciale.

Ciò che è importante notare è che nonostante le funzioni f1 (x) e f2 (x) siano ignote, i coefficienti delle loro trasformate di Fourier possono essere calcolati uguagliando le due espansioni in serie nell’intervallo comune; in particolare, le equazioni (3.4.5) e (3.4.6) corrispondono alle equazioni di accoppiamento per le componenti tangenziali lungo un piano di discontinuità di campo elettrico e magnetico,[10].

Sulla base di questi principi ogni discontinuità relativa a ciascuna iride del polarizzatore o a ciascuna coppia gola-dente della guida conica corrugata viene analizzata per calcolare il campo elettromagnetico che via via si propaga all’interno della struttura.

Le geometrie di generiche discontinuità sono illustrate in Fig. 3.5 e 3.6 rispettivamente per il polarizzatore e la guida conica corrugata.

Fig. 3.5: Tipica discontinuità per l’analisi del polarizzatore

R1

R2

R3

QUOTE:

R1 = raggio della guida a sinistra della discontinuità

R2 = semi-distanza tra le iridi

R3 = raggio della guida a destra della discontinuità

L1 = spessore delle iridi

L2 = distanza dal carico

Fig. 3.6: Tipica discontinuità per l’analisi della guida conica corrugata

QUOTE:

R1 = raggio della guida a sinistra della discontinuità

R2 = profondità della gola

R3 = raggio della guida a destra della discontinuità

L1 = spessore della gola

L2 = distanza dal carico

R1

R2

R3

3.5 La Tecnica FIT

Come detto in precedenza, per il progetto dell’OMT è stato utilizzato un software di simulazione elettromagnetica di tipo FDTD (Finite Difference Time Domain).

Questo simulatore è basato sulla tecnica FIT (Finite Integration Tecnique), proposta per la prima volta nel 1976/1977, [18].

Questo metodo numerico realizza uno schema universale di discretizzazione spaziale applicabile a una grande varietà di problemi elettromagnetici che vanno dal calcolo di campi statici, all’analisi di applicazioni ad alta frequenza.

A differenza della maggior parte dei metodi numerici, il FIT discretizza una forma integrale delle equazioni di Maxwell anziché la più usata forma differenziale:

→ → → ∂ → ⋅ ∂ ∂ − = ⋅

_∫

∫

d A t B s d E A A (3.5.1 a) → → → → ∂ → ⋅         + ∂ ∂ = ⋅

∫

∫

J dA t D s d H A A (3.5.1 b)

∫

⋅ → =

∫

∂ → v V dV A d D ρ (3.5.2 a) ⋅ → =0 ∂ →

∫

B d A V (3.5.2 b)

Al fine di risolvere queste equazioni, viene creato un dominio di calcolo di dimensioni finite. Creando poi un sistema di mesh (ovvero di celle elementari) adattativo, il

Il software realizza due sistemi di mesh ortogonali tra loro, come indicato in Fig. 3.7.

Fig. 3.7: Discretizzazione in griglie ortogonali

In seguito viene realizzata una discretizzazione spaziale delle equazioni di Maxwell sulle due griglie ortogonali dove il nuovo grado di libertà introdotto è il valore degli integrali calcolati sulle celle elementari.

In particolare, facendo riferimento alla Fig. 3.7, le tensioni elettriche e e i flussi magnetici b sono allocati sulla griglia primaria G’ , invece le tensioni magnetiche h e i flussi elettrici d sono allocati sulla griglia secondaria G” .

Le equazioni di Maxwell vengono quindi formulate e risolte separatamente per ogni singola cella.

Considerando la legge di Faraday, l’integrale chiuso che compare nelle equazioni (3.5.1a) e (3.5.2 a) può essere riscritto come somma di quattro tensioni appartenenti alla griglia senza che questo introduca ulteriori errori.

e l DOMINIO DI CALCOLO GRIGLIA e i e j e k d j b n h i4 h i3 h i2 h i1 A n h i = tensione magnetica e i = tensione elettrica b i = flusso magnetico d i = flusso elettrico GRIGLIA PRIMARIA G’ GRIGLIA SECONDARIA G”

Di conseguenza, la derivata rispetto al tempo del flusso magnetico definito sulla faccia racchiusa dagli spigoli della griglia primaria, rappresenta ciò che c’è al secondo membro dell’equazione, così come è mostrato in Fig. 3.8.

→ → → ∂ → ⋅ ∂ ∂ − = ⋅

∫

∫

B d A t s d E n n A A b t Ce ∂ ∂ − = _{i j k l} b_n t e e e e ∂ ∂ − = + + +

Fig. 3.8: Schema a blocchi della soluzione dell’equazione 1 a e l e k e j e i b n …………... 1 … 1 ... -1 … -1 ……… C e i . . e j . . e k . . e l

=

. b n .

∂

∂t

e

b

≡

Ripetendo questa procedura per tutte le possibile facce, la regola di calcolo può essere espressa in forma matriciale introducendo la matrice C come equivalente discreto del rotore.

Applicando questo schema alla legge di Ampère anche sulla griglia secondaria, si arriva alla definizione della matrice C.

Nella stessa maniera, la discretizzazione delle rimanenti equazioni (3.5.1 b) e (3.5.2 b), porta alla definizione degli operatori discreti di divergenza S e S corrispondenti alla griglia primaria e secondaria rispettivamente.

Come indicato in Fig. 3.8, gli operatori discreti sono delle matrici costituite da 0, 1, -1 che rappresentano semplici informazioni topologiche.

Infine, si ottiene l’insieme completo delle equazioni discretizzate note con il nome di Maxwell’s Grid Equations (MGE’s) :

b dt d Ce=− (3.5.3 a) d j dt d h C~ = + (3.5.3 b) S~d =q (3.5.4 a) Sb=0 (3.5.4 b)

Confrontandole con le equazioni continue (3.5.1) e (3.5.2) si evidenziano immediatamente tutte le corrispondenze.

Come abbiamo già anticipato in precedenza, questa trattazione non introduce errori addizionali: questa caratteristica essenziale della discretizzazione di tipo FIT si ripercuote positivamente sugli operatori continui di rotore, gradiente e divergenza: infatti questi operatori si conservano nello spazio costituito dalla griglia; le equazioni di continuità in funzione degli operatori discreti sono dunque:

SC = CS~ =~ 0 div_rot =0 (3.5.5 a)

_CS~T =_C~_ST =0 _{rot_grad =0 (3.5.5 b)}

Sappiamo che, in generale, la discretizzazione spaziale di un algoritmo numerico può causare una instabilità a lungo termine; nella formulazione FIT questo inconveniente non si presenta grazie al verificarsi delle relazioni (3.5.5) che garantiscono che le MGE’s rispettino la conservazione di carica ed energia.

Visto così, il metodo sembrerebbe privo di difetti, invece non abbiamo ancora introdotto le equazioni costitutive dei materiali che sono proprio quelle che introducono una inevitabile inaccuratezza dovuta alla discretizzazione spaziale.

Per poter definire le relazioni necessarie tra le tensioni e i flussi, i rispettivi valori integrali devono essere approssimati sugli spigoli della griglia e all’interno dell’area sottesa dalla varie cellette. Ciò fa si che i coefficienti risultanti dipendano mediamente dai parametri del materiale così come dipendono dalla risoluzione spaziale della griglia: queste dipendenze sono tenute in conto con delle matrici:

→J =σE→+J→_S j = Mσ e + js (3.5.8)

Ora abbiamo tutte le equazioni necessarie alla soluzione di problemi elettromagnetici nello spazio discreto costituito dalle griglie,[19].

Il programma che abbiamo utilizzato, usa la tecnica FIT insieme alla condizioni al contorno di tipo PBA (Perfect Boundary Approximation) [20], che permettono di

eliminare il fastidioso effetto di staircasing tipico dei classici metodi FDTD e non solo,

che limita l’accuratezza dell’analisi delle superfici curve, come mostrato in Fig. 3.9.

Fig. 3.9: Effetto delle PBA nella modellizzazione delle superfici curve

Il software ottiene la soluzione delle MGE’s secondo lo schema di Fig. 3.10, noto con il

Fig. 3.10: Schema “ leap frog”

Lo schema equivale alle seguenti equazioni:



n



S n n n j b M C tM e e +1₂ = −₂1 +∆ −1 ~ −1 + µ ε (3.5.9 a) 2 1 1 + + ₌ n _−∆ n n _{b tCe} b (3.5.9 b)

Ad esempio, il flusso magnetico all’istante t = (n + 1)∆t è ottenuto a partire dal flusso magnetico all’istante precedente t = n∆t e dal campo elettrico ottenuto un mezzo passo prima, cioè a t = (n + ½)∆t.

Una volta ricavati i risultati nel dominio del tempo, si possono estrarre questi parametri nel dominio della frequenza mediante la Trasformata di Fourier, e quindi ottenere i

parametri Sij , Yij, Zij lungo una sezione dei rami di un dispositivo a n porte e

relativamente a tutti i modi compresi quelli evanescenti.

t

e

n + 1/2