II Implementazione e test 42

Indice

Sommario iii

Abstract (english version) iv

1 Introduzione 2

I Richiami teorici 5

2 Tomografia ad emissione di positrioni (PET) 6

2.1 Principio di funzionamento . . . 6

2.2 Fisica della radiazione . . . 7

2.3 Rilevazione delle coincidenze e creazione dell’imagine . . . 8

2.4 Analisi quantitativa dei dati PET . . . 10

3 Imaging dinamico 12 3.1 Imaging funzionale . . . 12

3.2 Imaging dinamico . . . 13

3.3 Ricostruzione diretta "fully 4D" . . . 15

4 Tecniche di ricostruzione diretta 16 4.1 Rappresentazione teorica della distribuzione di tracciante . . . 18

4.1.1 Soluzione adottata per immagini statiche . . . 18

4.1.2 Immagini dinamiche 4D . . . 19

4.1.3 Modelli temporali e parametrici della distribuzione del tracciante 21 4.2 Modello del sistema (forward model) . . . 26

4.3 Funzione obiettivo . . . 28

4.3.1 Maximum Likelihood (ML) . . . 29

4.3.2 Ricostruzione MAP . . . 29

4.4 Ricostruzione e stima parametrica mediante algoritmi di ottimizzazione 30 4.4.1 Modelli lineari . . . 31

4.4.2 Modelli non lineari . . . 33

5 Scelta dell’algoritmo di ricostruzione diretta 36

5.1 Trasferimento di ottimizzazione . . . 36

5.1.1 Presupposto teorico alla trasformazione . . . 37

5.1.2 Aggiunta del termine di penalizzazione alla funzione obiettivo 38 5.2 Stima diretta dei parametri cinetici . . . 39

5.3 Dimostrazione teorica della convergenza dell’algoritmo di ricostruzione 40 5.4 Vantaggi dell’algoritmo OTEM . . . 41

II Implementazione e test 42

6.2 Algoritmo Levenberg-Marquardt che realizza il fitting del dataset ricostruito e stima i parametri cinetici . . . 48

7 Procedura di simulazione 51 7.1 Parametri di simulazione . . . 52

7.1.1 Interfaccia utente di simulazione . . . 56

7.1.2 Esplorazione del volume ricostruito . . . 60

7.1.3 Visualizzazione delle immagini parametriche stimate . . . 62

7.1.4 Visualizzazione riassuntiva della stima parametrica . . . 63

7.2 Simulazione di un fantoccio omogeneo . . . 64

7.3 Simulazione di un’acquisizione dinamica toracica . . . 66

7.4 Simulazione di un’acquisizione dinamica cerebrale . . . 68

8 Applicazione del software a dati reali 71 8.1 Interfaccia utente realizzata per l’applicazione del software a dataset dinamici reali . . . 72

III Risultati 75

9.2 Stima del macro parametro Ki . . . 80

9.3 Errore di ricostruzione delle immagini dinamiche . . . 82

9.4 Dipendenza dell’errore di ricostruzione dal numero di ripetizioni . . . 84

10 Simulazioni su fantocci anatomici 86 10.1 Ricostruzione immagini dinamiche . . . 86

10.2 Stima immagini parametriche . . . 87 vi

11 Risultati ottenuti con dati reali 94

IV Conclusioni 97

12 Discussione risultati 98

13 Sviluppi futuri 101

Appendici 104

A Diagramma di flusso 104

B Algoritmo PLF - pseudo codice 105

Bibliografia 107

Elenco delle tabelle

4.1 Definizione dei termini tipici dei modelli cinetici compartimentali . . 25 6.1 Definizione dei parametri di ingresso dello script che implementa

l’algoritmo di ricostruzione OTEM . . . 45 6.2 Definizione dei parametri di uscita dello script che implementa l’al-

goritmo di ricostruzione OTEM . . . 48 6.3 Definizione dei parametri di ingresso dell’algoritmo di penalized like-

lihhod fitting (PLF) . . . 48 6.4 Definizione dei parametri di uscita dell’algoritmo di penalized likelih-

hod fitting (PLF) . . . 49 7.1 Parametri cinetici assegnati al fantoccio omogeneo di figura 7.1a uti-

lizzati in un modello compartimentale a 4 costanti per la simulazione delle TAC delle diverse regioni anatomiche. Un primo set di simu- lazioni è stato condotto utilizzando i valori indicati come T1, a cui successivamente ne è seguito un secondo in cui sono stati usati i valori in T2, che descrivono un comportamento cinetico differente. . . 64 7.2 Parametri cinetici dei vari tessuti presenti nel fantoccio di figura

7.1b utilizzati in un modello compartimentale a 4 costanti per la simulazione delle TAC delle diverse regioni anatomiche. . . 66 7.3 Parametri cinetici dei vari tessuti presenti nel fantoccio cerebrale uti-

lizzati in un modello compartimentale a 4 costanti per la simulazione delle TAC delle diverse regioni anatomiche. . . 69 10.1 Fantoccio di sezione toracica: calcolo dell’errore di stima parametrica

in alcune ROI identificative di determinati tessuti. . . 92 10.2 Fantoccio di sezione cerebrale: calcolo dell’errore di stima parametrica

in alcune ROI identificative di determinati tessuti. . . 93

viii

Elenco delle figure

2.1 Rappresentazione grafica di una reazione di annichilazione tra un positrone e un elettrone[5]. . . 7 2.2 Sistema di rilevazione delle coincidenze. Due fotoni, emessi in dire-

zioni opposte in seguito all’evento di annichilazione, vengono rilevati in due punti dell’anello di detettori e classificati come vera coinciden- za attraverso un sistema dedicato che discrimina eventi random e di scatter. La somma di tutti gli eventi registrati porta alla costruzione di un sinogramma, dal quale, alla fine, si ricrea l’immagine 2D o 3D[1]. 8 2.3 Rappresentazione del principio di funzionamento del sistema di rile-

vazione dei fotoni all’interno di unoscanner PET[7]. . . 9 2.4 Diversi tipi di coincidenze che possono verificarsi in uno scanner PET.

Il punto nero indica la posizione in cui si è verificato l’evento di annichilazione. [6] . . . 10 3.1 Effetto del rumore su immagini dinamiche 3D (tomografia 4D). Si

ricostruisce una serie temporale di immagini 3D e successivamente si estraggono delle curve TAC per un voxel o una ROI in modo da poter poi fittare un modello cinetico per ricavare una stima dei parametri funzionali. E’ evidente come, soprattutto se si lavora a livello di voxel, si ottiene un andamento estremamente erratico e non fisiologicamente plausibile. [17] . . . 14 4.1 Le 5 componenti che entrano in gioco durante la ricostruzione di

un’immagine. I parametri stimati alla i-esima iterazione sono usa- ti per creare una rappresentazione della distribuzione di tracciante nel FOV a cui successivamente viene applicato il modello di sistema per ottenere una stima teorica dei dati misurati. La funzione obietti- vo valuta la vicinanza dalla stima fatta ai dati reali rumorosi e regola l’iterazione successiva dell’algoritmo di ottimizzazione che aggiorna il valore dei parametri. [17] . . . 17 4.2 Modello statico della distribuzione di tracciante in un’immagine 2D.

Come funzione spaziale si è usata una funzione rettangolare 2D (pixel) e ad ognuna di essere è associato un valore θj che rappresenta il livello di tracciante in quella regione del FOV. [17] . . . 19

4.3 Modello dinamico della distribuzione di tracciante in un’immagine 2D. Come funzione base spaziotemporale si è usata una funzione ret- tangolare 3D (individua un pixel e la sua estensione nel tempo come terza dimensione) e ad ognuna di essere è associato un insieme di P parametri θ [17] . . . 21 4.4 Rappresentazione generale del tipico modello compartimentale uti-

lizzato per modellare la cinetica dei traccianti nella tomografia ad emissione. Per il significato dei vari termini cfr. tab.4.1 [17] . . . 24 4.5 Visualizzazione di una iterazione dell’algoritmo di ricostruzione diret-

ta in due passaggi di immagini parametriche PET. [17] . . . 35 7.1 Fantocci 2D segmentati, utilizzati per la simulazione di un dataset

dinamico. In (a) vediamo una sezione assiale del fantoccio cilindrico omogeneo usato per i test Monte Carlo. In (b) abbiamo una sezio- ne assiale a livello toracico in cui possiamo individuare la presenza di tessuto polmonare, muscolare e osseo, di sangue all’interno delle cavità cardiache e di una lesione tumorale. In (c) infine abbiamo una sezione dello Zubal Phantom cerebrale in cui possiamo distingue- re materia bianca, materia grigia, un generico tessuto di background non specializzato, sangue e una lesione tumorale. . . 52 7.2 Qui possiamo vedere un esempio dell’effetto di aggiunta di rumore al

sinogramma. In (a) vediamo il sinogramma non rumoroso prodotto dall’applicazione della matrice di sistema al volume dinamico gene- rato. In (b) invece vediamo come varia l’aspetto del sinogramma in seguito all’aggiunta di AC (30%), RS (30%) e GN(2%). Entrambi i sinogrammi sono relativi al fantoccio cilindrico e in particolare al primo frame temporale acquisito. . . 55 7.3 Interfaccia utente da utilizzare per impostare i parametri di simulazio-

ne, generare i dati ideali con eventuale rumore sovrapposto, elaborarli con metodo OTEM per stimare i parametri cinetici e ricostruire la sequenza di immagini dinamiche e, infine, esplorare i risultati ottenuti. 56 7.4 GUI di esplorazione del risultato della ricostruzione del volume dina-

mico: consente di selezionare una ROI, calcolarne le costanti cineti- che caratteristiche e visualizzarne la curva TAC in confronto con il corrispondente ideale simulato. . . 60 7.5 Visualizzazione del grafico di Patlak relativo alla ROI selezionata con

possibilità di individuare manualmente il punto di inizio dell’opera- zione di fitting necessaria alla stima del parametri Ki . . . 61 7.6 Interfaccia utente che consente di visualizzare il risultato della sti-

ma diretta delle immagini parametriche metodo diretto OTEM, di selezionare un ROI e calcolarne le costanti cinetiche caratteristiche, confrontandole con il corrispondente ideale simulato. . . 62

x

7.7 Visualizzazione del fantoccio segmentato utilizzato per la simulazione con possibilità di individuare manualmente delle ROI di interesse in corrispondenza delle quali verrà calcolato il valore dei 5 parametri incogniti. . . 63 7.8 Output riassuntivo della stima dei parametri cinetici per la ROI di

interesse con indicazione dell’errore percentuale relativo. . . 63 7.9 In questa figura possiamo vedere il risultato della simulazione delle

curve TAC relative ai due tipi di tessuto associati al fantoccio omo- geneo di figura 7.1a. In rosso abbiamo l’andamento temporale della input function simulata. In nero abbiamo invece la curva TAC ge- nerata a partire dai parametri cinetici indicati in tab.7.1 con T1. In blu, infine, la curva TAC relativa alle costanti indicate come T2 in tab.7.1. . . 65 7.10 In questa figura possiamo vedere il risultato della simulazione delle

curve TAC relative ai vari tessuti del fantoccio di figura 7.1b utiliz- zato nella simulazione di imaging dinamico di una sezione toracica.

A sinistra abbiamo l’andamento temporale della input function si- mulata. A destra abbiamo invece le curve TAC generate a partire dai parametri cinetici scelti per i vari tessuti, in funzione della input function stessa. . . 67

7.11 In questa figura possiamo vedere il risultato della simulazione delle curve TAC relative ai vari tessuti del fantoccio Zubal utilizzato nella simulazione di imaging dinamico di una sezione cerebrale. A sini- stra abbiamo l’andamento temporale della input function, misurato da un set di dati sperimentali. A destra abbiamo invece le curve TAC simulate a partire dai parametri cinetici scelti per i vari tessuti: pos- siamo vedere come siano significativamente differenti rispetto al caso in fig. 7.10 dal momento che ora tutti i tessuti, non solo il patologico, mostrano una tendenza ad accumulare tracciante. . . 70 8.1 Interfaccia utente da utilizzare per importare il dataset dinamico di

partenza e il sinogramma dinamico generato a partire da esso, ela- borare quest’ultimo con con metodo OTEM per stimare i parame- tri cinetici e ricostruire la sequenza di immagini dinamiche e, infine, esplorare i risultati ottenuti. . . 72

9.1 Andamento dell’errore percentuale e della deviazione standard nella stima dei parametri incogniti F V , K1, k2, k3 e k4 e ki nel caso in cui si siano utilizzati con input i valori di k indicati come T 1 in tabella 7.1. La linea rossa tratteggiata rappresenta il riferimento di errore nullo. La linea verde rappresenta invece l’errore di stima intrinseco all’algoritmo implementato nel caso in cui gli vengano sottoposti dei dati non rumorosi. In blu abbiamo invece gli andamenti dell’errore in presenza di rumore: i risultati in (a) sono ottenuti mantenendo fisso RS al 30% e GN al 2%, mentre quelli in (b) sono ottenuti con AC fisso al 30% e GN al 2%. . . 78 9.2 Andamento dell’errore percentuale e della deviazione standard nella

stima dei parametri incogniti F V , K1, k2, k3 e k4 e ki nel caso in cui si siano utilizzati con input i valori di k indicati come T 2 in tabella 7.1. La linea rossa tratteggiata rappresenta il riferimento di errore nullo. La linea verde rappresenta invece l’errore di stima intrinseco all’algoritmo implementato nel caso in cui gli vengano sottoposti dei dati non rumorosi. In blu abbiamo invece gli andamenti dell’errore in presenza di rumore: i risultati in (a) sono ottenuti mantenendo fisso RS al 30% e GN al 2%, mentre quelli in (b) sono ottenuti con AC fisso al 30% e GN al 2%. . . 79 9.3 I grafici in (a) e (b) sono relativi alla simulazione T 1, mentre (c) e

(d) sono relativi alla simulazione T2. In rosso abbiamo il riferimento di errore nullo. In verde l’errore relativo commesso nella stima del k_i da dati non rumorosi. In blu in caso di dati rumorosi ((a) e (c) mantengono fisso RS a 30%, mentre (b) e (d) mantengono fisso AC a 30%). In nero, infine abbiamo il valore del ki stimato mediante metodo grafico di Patlak. . . 81 9.4 Errore di ricostruzione delle immagini dinamiche valutato secondo l’e-

quazione 9.3, con sovrapposta la corrispondente curva TAC (in mar- rone). Tutti i grafici sono relativi ad un GN = 2%. In blu AC = 0%

e RS = 0%. In nero AC = 0% e RS = 30%. In rosso AC = 30% e RS = 0%. In verde AC = 30% e RS = 30%. . . 83 9.5 Andamento dell’errore di ricostruzione in funzione del numero di ite-

razione dell’algoritmo OTEM, nel caso T 1 (a) e T 2 (b). In blu ab- biamo l’andamento del errore in caso di dati rumorosi (GN = 2%, AC = 30% e RS = 30%), mentre in rosso abbiamo il corrispondente studio del caso non rumoroso. . . 85 10.1 Immagini dinamiche ricostruite dai dati di proiezione simulati su fan-

toccio rappresentante una regione anatomica a livello toracico. Ogni immagine mostra il confronto tra un certo frame temporale simulato e il suo corrispondente ricostruito. . . 88

xii

10.2 Immagini dinamiche ricostruite dai dati di proiezione simulati su fan- toccio rappresentante una regione anatomica a livello cerebrale. Ogni immagine mostra il confronto tra un certo frame temporale simulato e il suo corrispondente ricostruito. . . 89 10.3 Immagini parametriche stimate con metodo OTEM diretto dai dati

di proiezione simulati su fantoccio rappresentante una regione anato- mica a livello toracico. Ogni immagine mostra il confronto tra il caso simulato e il suo corrispondente ricostruito. (a) F V , (b) K1, (c) k2, (d) k3, (e) k4, (f) Ki . . . 90 10.4 Immagini parametriche stimate con metodo OTEM diretto dai dati di

proiezione simulati su fantoccio rappresentante una regione anatomica a livello cerebrale. Ogni immagine mostra il confronto tra il caso simulato e il suo corrispondente ricostruito. (a) F V , (b) K₁, (c) k₂, (d) k3, (e) k4, (f) Ki . . . 91 11.1 Confronto tra le immagini dinamiche di partenza relative ad una re-

gione cerebrale e il corrispondente frame ricostruito mediante metodo OTEM. . . 95 11.2 Immagini parametriche stimate, risultato dell’applicazione del meto-

do OTEM a dei dati reali. (a) F V , (b) K₁, (c) k₂, (d) k₃, (e) k₄, (f) K_i . . . 96