PROGRAMMA DI FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2 Ingegneria Civile 1a e 2a Squadra, A.A. 2009/10
Prof. C. Sartori
Il testo cui si fa riferimento `e il
Calculus, 2a Parte di E. Barozzi, E. Gonzalez. Ed. Progetto, 2009 e per le Serie il testo Calculus, 1o Corso di E. Barozzi, E. Gonzalez. Ed.
Progetto, 2008
I paragrafi dei vari capitoli che non sono esplicitamente menzionati sono da considerarsi esclusi. I teoremi dei paragrafi elencati sono da considerarsi tutti con dimostrazione a meno che questa non venga esplcitamente esclusa. Si consiglia di consultare l’errata corrige del testo.
Capitolo X: Lo spazio Rn: Elementi di topologia in Rn. Distanza fra punti in Rn. Sfere n−dimensionali. Insiemi aperti. Insiemi chiusi. La frontiera di un insieme. Chiusura di un insieme. Successioni convergenti in Rn. Insiemi compatti. Insiemi limitati. Teorema di Tychonoff. Principio di incastro di Cantor.
Capitolo XI: Funzioni di pi`u variabili: Funzioni di n variabili reali.
Funzioni continue. Funzioni lineari. Funzioni uniformemente continue. Teo- rema di Weierstrass. Calcolo differenziale. Funzioni differenziabili. Dif- ferenziale e matrice Jacobiana. Piano tangente e retta normale. Derivate direzionali. Funzioni composte, regola della catena. Funzioni omogenee, Teorema di Eulero. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz (senza dim.). Funzioni implicite. Teorema della funzione implicita (dim. in R2.) Ortogonalit`a fra gradiente e superfici o curve di livello.
Capitolo XII: Massimi e minimi: Massimi e minimi locali. Punti cri tici. Condizioni necessarie per l’esistenza di estremo locale. Punti di sella.
Forme quadratiche. Estremi di forme quadratiche e autovalori. Formula di Taylor di ordine 2. Condizioni sufficienti per l’esistenza di estremo. Segno di una forma quadratica e matrice Hessiana. Estensioni a funzioni di tre o pi`u variabili. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Capitol XIII: Integrali multipli: Funzioni a scala. Integrale di una fun- zione continua su un rettangolo. Teorema di Fubini su un rettangolo. Inte- grali di funzioni continue su domini normali. Teorema di Fubini per domini normali. Somme di Riemann. Propriet`a elementari dell’integrale. Integrali di funzioni di tre variabili. Volume dei solidi di rotazione. Il teorema della media integrale. Cambio di variabili negli integrali doppi. Teorema della funzione inversa (no dim.). Formula del cambio di variabili (no dim.). Co- ordinate cilindriche. Coordinate sferiche. Il baricentro di un insieme. Il Teorema di Pappo Guldino.
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Capitolo XIV: Curve e superfici: Integrazione lungo le curve. Integrale al differenziale d’arco e al differenziale delle coordinate. Loro indipendenza da parametrizzazioni equivalenti di una curva. Definizione di superficie re- golare. Il piano tangente e il vettore normale. Superfici cartesiane. L’area di una superficie. Superici di rotazione. Il Teorema di Pappo Guldino. Forme differenziali e loro integrali. Potenziali. Forme chiuse. Insiemi connessi.
Unicit`a del potenziale. Caratterizzazione delle forme esatte. Iniemi sem- plicemente connessi. Forme differenziali in R3. Il campo elettrico. Lavoro.
Il campo di forze newtoniano. Le formule di Green - Gauss. Orientamento.
La formula dell’area. Flusso di un campo vettoriale. Il teorema della diver- genza (dim solo in R2). Il Teorema di Stokes (no dim.).
CapitoloXVI: Equazioni differenziali: (vedasi anche: Complementi su serie e equazioni differenziali ) Equazioni differenziali ordinarie. Consider- azioni geometriche. Isocline. Teoremi di esistenza e unicit`a locale e globale (no dim.). Equazioni differenziali lineari omogenee di ordine n. Spazio delle soluzioni. Insiemi di funzioni linearmente indipendenti. Wronskiano. Lo spazio delle soluzioni ha dimensione n. Equazioni differenziali lineari di or- dine n non omogenee. Integrale generale per tali equazioni. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
CapitoloXVI: Serie (vedasi: Complementi su serie e equazioni differen- ziali e Calculus 1o corso) Definizione di serie. Carattere di una serie. Con- dizione necessaria per la converegneza di una serie. Criterio del confronto, del confronto asintotico, del rapporto e della radice per serie a termini posi- tivi. Serie geometrica e serie armonica generalizzata. Convergenza assoluta.
Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibnitz. Serie di potenze. In- tervallo di convergenza per una serie di potenze reali. Convergenza assoluta all’interno dell’intervallo di convergenza. Serie derivata. Teorema sulla serie derivata. Serie di Taylor. Serie ed equazioni differenziali.
Modalit`a di esame
L’esame pu`o essere superato tramite una prova scritta in un appello ordi- nario (previa iscrizione sulSIS) . La prova `e formata da due parti una teorica e una di esercizi. La parte teorica consiste di quesiti (di solito 2) che pos- sono essere definizioni, enunciati e dimostrazioni di teoremi oppure esercizi di carattere teorico. La parte di esercizi `e formata da esercizi (solitamente 3) sulla parte del programma svolta.
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