Equazioni differenziali ordinarie

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Equazioni differenziali ordinarie

Denis Nardin January 2, 2010

1 Equazioni differenziali

In questa sezione considereremo le propriet`a delle soluzioni del problema di Cauchy. Da adesso in poi (PC) indicher`a il seguente problema di Cauchy:

(u⁰(t) = f (t, u(t)) u(t0) = u0

Dove f `e una funzione almeno continua da Ω aperto di Rⁿ⁺¹ a Rⁿ e t0 ∈ R, u0∈ Rⁿ. Si cercano come soluzioni funzioni u che vanno da un aperto A di R contenente t0a Rⁿ.

1.1 Propriet`a delle soluzioni

Teorema 1.1: (dell’asintoto) Sia f : [a, +∞) → R derivabile tale che esistano i limiti per t → +∞ di f (x) e di f⁰(x). Allora limt→+∞f⁰(t) = 0.

Dim: Consideriamo il limite

t→+∞lim

f (x) + x x

Questo limite vale uno (infatti è uguale al limite di 1 + f (x)/x e il secondo addendo tende a zero. Ma è anche il limite di un rapporto in cui numeratore e denominatore tendono a infinito, per cui si applica il teorema dell’Hôpital e otteniamo

1 = lim

t→+∞

f (x) + x

x = lim

t→+∞f⁰(x) + 1

Da cui la tesi.

Teorema 1.2: (di regolarit`a) Sia u una soluzione di (PC) con f C^∞. Allora anche u `e C^∞.

Dim: Dimostriamo per induzione che u è Cⁿ per ogni n. u è derivabile per ipotesi (è una soluzione di (PC)). Inoltre è C¹ perchè la sua derivata è

u⁰(t) = f (t, u(t))

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che è composizione di funzioni continue. Sia ora u Cⁿ. Allora anche la sua derivata è Cⁿ perchè composizione di funzioni Cⁿ. Quindi u è Cⁿ⁺¹.

1.2 Esistenza e unicit`a

Teorema 1.3: (di esistenza e unicità locale) Sia (PC) un problema di Cauchy con f : Ω → Rⁿ è una funzione da un aperto di Rⁿ⁺¹ continua. Supponiamo che esistano ρ₁, ρ₂ > 0 tali che posto I = B(t₀, ρ₁) e J = B(u₀, ρ₂), f sia lipschitziana nella seconda variabile uniformemente alla prima su I × J , cioè tale che esista un L > 0 tale che

∀u, u⁰ ∈ J, t ∈ I |f (t, u) − f (t, u⁰)| ≤ L|u − u⁰|

Allora esiste un intorno di t₀ U e un intorno di u₀ V tali che U × V ⊆ Ω e che esiste una ed una sola u : U → V che risolve (PC).

Dim: Notiamo che richiedere che u sia soluzione di (PC) `e completamente equiv- alente a chiedere che sia soluzione di questa equazione integrale

u(t) = u0+ Z t

t₀

f (s, u(s))ds Pongo

• L la costante di Lipschitz di f

• M = max{f (x, y) | x ∈ I, y ∈ J }

• ρ₀< min{ρ₁,^ρ_M¹,_L¹}.

• U = [x0− ρ0, x0+ ρ0]

• V = ¯B(u0, ρ1) = {y ∈ Rⁿ| |y − u0| ≤ ρ1} ⊆ J

E dimostriamo che queste scelte di U, V vanno bene. A questo scopo consideriamo l’insieme

X = {u ∈ C⁰( ¯U ) | u(U ) ⊆ V }

Questo è un sottoinsieme chiuso di C⁰(U ) perchè consiste esattamente della palla chiusa centrata nella funzione che vale costantemente u₀ di raggio ρ₁ e perciò forma uno spazio metrico completo. Consideriamo quindi la funzione F : X → C⁰(U ) definita da

F (u)(t) = u0+ Z t

t₀

f (s, u(s))ds

La nostra tesi diventa quindi dimostrare che esiste un unico punto fisso di F . Per farlo dimostreremo che F `e una contrazione su X. Per cominciare dimostriamo che F (X) ⊆ X. Infatti se u ∈ X per ogni t ∈ U

|F (u)(t) − u | = Z t

f (s, u(s))ds ≤

Z t

|f (s, u(s))|ds ≤

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≤ Z t

t0

M ds = M |t − t0| ≤ M ρ0≤ ρ1

Quindi F manda X in se’ stesso. Ci manca unicamente da far vedere che F `e una contrazione. Siano dunque u, v ∈ X. Allora per ogni t ∈ U

|F (u)(t)−F (v)(t)| =

Z t t₀

f (s, u(s)) − f (s, v(s))ds

≤ Z t

t₀

|f (s, u(s))−f (s, v(s))|ds ≤

≤ Z t

t0

L|u(s) − v(s)|ds ≤ Z t

t0

Lku − vkds = L|t − t0|ku − vk ≤ Lρ0ku − vk e quindi F è una contrazione perchè Lρ0 < 1. Ma questo, come già osservato,

implica la tesi.

Teorema 1.4: (di unicit`a globale) Siano u, v : I → Rⁿ con I intervallo tali che sono soluzioni di (PC). Allora u = v.

Dim: Consideriamo l’insieme {t ∈ I |u(t) = v(t)}. Questo insieme è chiuso perchè u, v sono continue e aperto per l’unicità locale. Infatti se u(t) = v(t) esiste un intorno di t in cui coincidono. Inoltre è non vuoto perchè t₀ ci sta.

Allora `e tutto I.

1.3 Soluzioni massimali e globali

Definizione 1.1: Siano u, v due soluzioni di (PC). u si dice un prolungamento di v se dom u ⊇ dom v.

Definizione 1.2: Una soluzione u si dice massimale se non esistono suoi prolungamenti propri. Una soluzione u si dice globale se dom u = R.

Osservazione 1.1: Se u `e un prolungamento di v per ogni t ∈ dom v u(t) = v(t) per il teorema di unicit`a globale.

Teorema 1.5: Esiste una soluzione massimale di (PC)

Dim: Sia U = {v soluzione di (PC) } l’insieme delle soluzioni di (PC) e sia

∀v ∈ U Iv = dom v. Ricordiamo che due soluzioni di un problema di Cauchy coincidono sempre nell’intersezione dei domini. Allora prendiamo

I = [

v∈U

Iv

Notiamo che I è un intervall perchè unione di intervalli non disgiunti. Definiamo ora u : I → Rⁿ come u(t) = v(t) se t ∈ Iv. Notiamo che u è ben definita per il teorema di unicità globale (il valore v(t) non dipende dalla particolare v scelta). Allora u è una soluzione perchè lo è localmente (se t ∈ Iv allora u⁰(t) = v⁰(t) = f (t, v(t) = f (t, u(t))) e inoltre u(0) = u0. Inoltre è un estensione di qualunque soluzione perchè il suo dominio contiene il dominio di qualunque altra soluzione. Quindi è una soluzione massimale.

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Per analizzare i comportamenti della soluzione massimale agli estremi del dominio abbiamo bisogno di un lemma preliminare

Lemma 1.1: Sia u : (a, b) → Rⁿ una soluzione di (PC) con b < +∞, e sia tk una successione convergente a b tale che u(tk) → ub∈ Rⁿ. Allora esiste

lim

t→bu(t) = u_b

Dim: Intanto notiamo che `e possibile scegliere i t_k in modo che convergano in modo monotono (eventualmente prendendone una sottosuccessione). Supponi- amo ora per assurdo che il limite di u(t) per t → b non sia ub. Allora possiamo scegliere un > 0 tale che l’insieme

R = {t ∈ (a, b) | |u(t) − ub| > }

sia non vuoto e abbia b come estremo superiore (cioè ci sono punti t arbitraria- mente vicini a b tali che u(t) disti più di da ub). Poichè Ω è aperto possiamo scegliere quindi c ∈ (a, b) tale che [c, b] × [−, ] ⊆ Ω. Sia quindi

M = max

x∈[c,b]×[−,]

f (x)

Dove il massimo esiste perch`e l’insieme `e compatto. Prendiamo ora N ∈ N tale che per ogni n ≥ N

|t_n− b| ≤ /4M e |u(t_n) − u_b| ≤ /4 e inoltre t_N > c. Poniamo quindi

¯t = inf{t ∈ (tN, b) | |u(t) − ub| > } = R ∩ (tN, b)

Questo estremo inferiore possiamo prenderlo perch`e l’insieme al secondo membro

è non vuoto perchè sup R = b. Allora, per la continuità della funzione u(t) − ub

|u(¯t) − ub| = Ma

|u(¯t) − u_b| ≤ |u(¯t − u(t_N)| + |u(t_N) − u_b| =

= |u⁰(η)||¯t − t_N| + /4 = |f (η, u(η))||¯t − t_N| + /4

dove η ∈ (tN, ¯t) e quindi (η, u(η)) ∈ [c, b] × [−, ]. Infine sostituendo le stime abbiamo che

= |u(¯t) − ub| ≤ M 4M +

4 = /2

Assurdo.

Teorema 1.6: Sia u : [t0, l) → Rⁿ una soluzione massimale di (PC) con l < +∞. Allora per ogni compatto K contenuto in Ω esiste δ > 0 tale che

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(La soluzione “scoppia” quando si avvicina all’estremo superiore del suo dominio).

Dim: Fissiamo K ⊆ Ω compatto. Per assudo esista tk successione di reali convergente a l tale che (tk, u(tk)) ∈ K. Allora posso estrarne una sottosuccessione (tn_k, u(tn_k)) convergente a un certo (l, ˜u). Ma allora per il lemma la soluzione

`e estendibile su [t₀, l] e quindi non `e massimale. Assurdo.

1.4 Stime di soluzioni

Lemma 1.2: (di Gronwall) Sia u : [a, b] → Rⁿ di classe C¹ tale che esistono

, Q > 0 tali che

∀t ∈ [a, b] |u⁰(t)| ≤ + Q|u(t)|

E sia t0∈ [a, b]. Allora ∀t ∈ [a, b]

|u(t)| ≤

Q+ |u(t₀)|e^Q|t−t⁰^| Dim: Per ogni σ > 0 consideriamo z : [a, b] → R definita da

z(t) =p

σ²+ |u(t)|² Allora z(t) ≥ |u(t)|. Inoltre

z⁰(t) = 1

2pσ²+ |u(t)|²2 < u(t), u⁰(t) >

≤ |u(t)||u⁰(t)|

pσ²+ |u(t)|² ≤ |u⁰(t)| ≤ + Q|u(t)| ≤ + Qz(t)

Supponiamo ora t > t0. Ma allora, dividendo entrambi i membri per + Qz(t) (che `e sempre positiva) e integrando otteniamo

Z t t₀

z⁰(s)

+ Qz(s)ds ≤ t − t₀⇒ Z z(t)

z(t₀)

1

+ Qzdz ≤ t − t₀⇒ ln( + Qz(t)) − ln( + Qz(t₀)

Q ≤ t − t0⇒

Qz(t) ≤ + Qz(t) ≤ ( + Qz(t0))e^Q(t−t⁰⁾ Da cui infine

z(t) ≤ (/Q + z(t0))e^Q(t−t⁰⁾

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Procedendo analogamente per t < t0 otteniamo la formula generale z(t) ≤ (/Q + z(t₀))e^Q|t−t⁰^|

E

|u(t)| ≤ z(t) ≤ (/Q + z(t₀))e^Q|t−t⁰^|= (/Q +p

σ²+ |u(t₀)|²)e^Q|t−t⁰^| Da cui prendendo l’estremo inferiore per σ → 0 otteniamo la tesi.

Teorema 1.7: (Controllo lineare) Sia u una soluzione massimale di (PC) con f : I × R → R, I intervallo. Se esistono α, β : I → R continue tali che

∀t ∈ I x ∈ R

|f (t, x)| ≤ α(t)|x| + β(t) Allora u `e soluzione globale.

Dim: Sia J il dominio di u e supponiamo che J 6= I. Ma allora J ⊂ ¯J ⊂ I. Ora i moduli di α, β hanno un massimo su ¯J . Siano questi A, B. Allora ∀t ∈ J

|u⁰(t)| ≤ A + B|u|

e per il lemma di Gronwall

|u(t)| ≤ (A/B + |u(t0)|)e^B|t−t⁰^|

Quindi u `e limitata su J , per cui si estende a ¯J . Assurdo Definizione 1.3: Sia (PC) un problema di Cauchy con f continua e localmente lipschitziana. Una funzione v `e detta soprasoluzione (sottosoluzione) di (PC) se per ogni t ≥ t0 vale

(v⁰(t) ≥ f (t, v(t)) v(t₀) ≥ u₀

(v⁰(t) ≤ f (t, v(t)) v(t₀) ≤ u₀

!

Teorema 1.8: (Confronto) Sia (PC) un problema di Cauchy con f continua e localmente lipschitziana. Siano u una soluzione e v una soprasoluzione (sottosoluzione). Allora

∀t ≥ t0 u(t) ≤ v(t) (u(t) ≥ v(t))

∀t ≤ t0 u(t) ≥ v(t) (u(t) ≤ v(t))

Dim: Consideriamo la funzione w(t) = u(t) − v(t). w `e continua perch`e lo sono u e v. Consideriamo l’insieme

J := {t > t₀| w(t) > 0}

Notiamo che J è aperto perchè w è continua (è la controimmagine dell’aperto

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t0| (t, ξ) ⊆ J } (l’insieme è non vuoto perchè J è aperto, quindi esiste una palla centrata in ξ tutta contenuta in J ). Allora, per la continuità di w abbiamo che w(¯t) = 0. Ma allora ∀t ∈ [¯t, ξ]

|w⁰(t)| = |(u−v)⁰(t)| = |u⁰(t)−v⁰(t)| = |f (t, u(t))−f (t, v(t))| ≤ L|u(t)−v(t)| = L|w(t)|

Dove L `e la costante di Lipschitz per f . E infine per il lemma di Gronwall u(t) − v(t) = |w(t)| ≤ (u(¯t) − v(¯t))e^L(t−¯^t)= 0

Assurdo perch`e u(t) − v(t) > 0 per ogni t ∈ J .

1.5 Dipendenza continua

Teorema 1.9: (Dipendenza continua dai dati iniziali) Sia f : I × R → R continua, L-lipschitziana nel secondo argomento, I intervallo e x₀ ∈ I. Sia in oltre per ogni α ∈ R yα l’unica soluzione del problema di Cauchy:

(y_α⁰(t) = f (t, yα(t)) y_α(x₀) = α Allora per ogni α, α⁰ ∈ R

∀x ∈ I |yα(x) − yα⁰(x)| ≤ |α − α⁰|e^L|x−x⁰^|

Dim: Consideriamo w(x) = yα(x) − yα⁰(x). Allora

|w⁰(x)| = |y⁰_α(x)−y_α⁰0(x)| = |f (x, yα(x))−f (x, yα⁰(x))| ≤ L|yα(x)−yα⁰(x)| = L|w(x)|

Da cui per il lemma di Gronwall

|w(x)| ≤ |w(x0)|e^L|x−x⁰^|

che `e la tesi.

Corollario 1.1: Con le notazioni del teorema precedente, se α⁰→ α allora y_α⁰ → y_α uniformemente su ogni compatto in I.

Osservazione 1.2: L’enunciato del corollario si estende anche al caso di due successioni, αn → α e fn → f uniformemente su ogni compatto, tali che le fn

siano continue e equilipschitziane. Allora le soluzioni yndei problemi di Cauchy (y⁰_n(x) = f_n(x, y_n(x))

yn(x0) = αn

tendono alla soluzione del problema di Cauchy limite uniformemente su tutti i compatti.

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1.6 Sistemi lineari

Definizione 1.4: Sia A ∈ M (n, R). L’esponenziale di A `e la matrice cos`ı definita:

e^A=

∞

X

n=0

Aⁿ n!

Osserviamo che la serie converge in quanto lo fa la serie delle norme (con una qualunque norma matriciale indotta). Inoltre è facile verificare che la funzione f (t) = eÂtè derivabile e vale

f⁰(t) = Ae^At

Infine notiamo che e^A commuta con A perch`e limite di polinomi in A.

Teorema 1.10: Sia dato il problema di Cauchy (u⁰(t) = Au(t)

u(t0) = u0

Dove A è una matrice n × n a coefficienti reali e u0 ∈ Rⁿ. Allora la soluzione esiste ed è unica su tutto R e inoltre è data da

u(t) = e^A(t−t⁰⁾u₀

Dim: Poichè la funzione u → Au è lipschitziana i teoremi già visti ci garantiscono esistenza e unicità globale. Inoltre quella mostrata è manifestatamente una

soluzione, e quindi `e lei.

Teorema 1.11: Sia dato il problema di Cauchy (u⁰(t) = Au(t) + b(t)

u(t₀) = u₀

Dove A è una matrice n×n a coefficienti reali, u₀∈ Rⁿb è una funzione continua a valori in Rⁿ. Allora la soluzione esiste ed è unica su tutto R e inoltre è data da

u(t) = e^A(t−t⁰⁾

u0+

Z t t₀

e^−A(s−t⁰⁾b(s)ds

Dove l’integrale si intende effettuato componente per componente.

Dim: La dimostrazione `e del tutto analoga al caso precedente. Per ricordarla meglio per`o presentiamo un metodo per ricavarsi la formula, piuttosto oscura, della soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri a destra per e^−A(t−t⁰⁾e con semplici passaggi otteniamo

e^−A(t−t⁰⁾u⁰(t) − Ae^−A(t−t⁰⁾u(t) = e^−A(t−t⁰⁾b(t) ⇒

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Integrando

e^−A(t−t⁰⁾u(t) − u₀= Z t

t₀

e^−A(s−t⁰⁾b(s)ds

che `e la tesi.