2 Caso bidimensionale: problema di Poisson

(1)

Formulazione variazionale di un problema ai limiti o al contorno

Metodi degli elementi finiti per il caso 1D

Alessandra Sestini November 1, 2016

1 Formulazione variazionale di un problema ai limiti

Osserviamo che condizioni agli estremi non omogenee possono essere sos- tituite dalle analoghe omogenee senza perdita di generalità. Infatti basta considerare il problema differenziale verificato da û := u − Rg dove Rg è un polinomio di grado 1 (2 per le Neumann pure) che dicesi rilevamento dei dati sul bordo in quanto verifica le condizioni agli estremi, per esempio R_g(x) := g₀(1 − x) + g₁x nel caso di condizioni di Dirichelet e, tornando a far riferimento al problema modello, si ha

−ˆu⁰⁰+ σ ˆu = (f − σR_g) in I

Per quanto riguarda la regolarità, si osservi che, se f , σ ∈ C^k[0 , 1] , k ≥ 0, allora u ∈ C^k+2([0 , 1]) . Siamo però interessati a risolvere il problema differenziale anche in ipotesi di minore regolarità dei dati, richiedendo in particolare solo che f ∈ L²(I) e che σ ∈ L^∞(I) e quindi lo riformuliamo in forma debole andando a moltiplicare l’equazione differenziale in (??) per una funzione test v ∈ V (spazio funzionale di Hilbert opportuno) e integrando per parti in modo da ottenere

−[u⁰v]|¹₀ + Z 1

0

(u⁰(x)v⁰(x) + σ(x)u(x)v(x)) dx = Z 1

0

f (x)v(x)dx , ∀v ∈ V .

(2)

Di fatto, riferendoci al caso di dati agli estremi omogenei, siamo interessati a scegliere V in modo che gli integrali che appaiono nella suddetta formula siano tutti finitamente calcolabili e anche in modo che sparisca il primo addendo a sinistra del segno di uguaglianza. Se stiamo considerando il problema di Dirichlet, si sceglie allora V = H₀¹(Ω) e si va a risolvere il seguente problema variazionale,

trovare u ∈ V | Z 1

0

(u⁰v⁰ + σuv) dx = Z 1

0

v f dx , ∀v ∈ V . (1) Nel caso del problema di Neumann (con σ 6= 0), si pu`o invece semplicemente assumere V = H¹(Ω) mentre nel caso del problema misto si usa V = {v ∈ H¹(Ω) | v(a) = 0} . Si osservi il diverso trattamento di condizioni di Dirichlet e di condizioni di Neumann ma anche che in ogni caso V risulta essere un sottospazio dello spazio di Hilbert H¹(Ω).

Osserviamo che, nelle sole ipotesi che f ∈ L²(I) e che σ ∈ L^∞(I), si può comunque dimostrare che u ∈ H²(I) . Integrando allora per parti (in senso contrario a quanto fatto prima), si verifica allora che in questo caso quello che si può dire è che la soluzione del problema variazionale (1) verifica le condizioni omogeneee assegnate agli estremi e risolve l’equazione differenziale in senso variazionale, ossia si ha che

Z 1 0

(−u⁰⁰+ σu − f ) v dx = 0 , ∀v ∈ V . (2) Infatti se si integra per parti il primo addendo dell’integrale a sinistra in (1) si ottiene che

u⁰v|¹₀ − Z 1

0

(u⁰⁰ − σ u + f ) v dx = 0 , ∀v ∈ V . (3) Se quindi v ∈ V = H₀¹(I) (3) risulta sicuramente verificata e quindi ha senso dire che la soluzione del problema variazionale per il caso di Dirichlet omogeneo `e soluzione debole del problema differenziale ai limiti assegnato.

La cosa pu`o in effetti essere generalizzata anche al caso in cui si considerino condizioni ai limiti omogenee miste o di Neumann. Riferendoci per esempio al problema misto, questo significa che bisogna prima far vedere che u⁰(1) = 0 (utilizzare a tale scopo una funzione test v polinomiale tale che v(1) 6=

0, v(0) = 0 e tale che l’integrale in (3) si annulli). La seguente proposizione completa quanto ora asserito.

(3)

Proposizione 1. Supponiamo che f , σ ∈ C⁰[0 , 1], e che u ∈ C²[0 , 1], sia la corrispondente soluzione del problema variazionale in (1) per il caso omogeneo misto. Allora si ha che u `e soluzione del corrsipondente problema differenziale (soluzione forte).

Dimostrazione : Dobbiamo far vedere che in I risulta u⁰⁰ − σu + f = 0 e che u⁰(1) = 0 in quanto gi`a si sa che u(0) = 0 per come `e definito V.

Ora utilizzando l’integrazione per parti in senso inverso, dalla formulazione variazionale si ottiene la (3). Se per assurdo non fosse w := u⁰⁰− σu + f = 0 in I, trattandosi di una funzione continua esisterebbe [c , d] ⊂ [0 , 1] tale che w ha in [c , d] segno costante non nullo. Posto allora

v(x) = (x − c)²(d − x)², se x ∈ [c , d] ,

0 , altrimenti ,

essendo v ∈ V e tale che v(0) = 0, avremmo cheR1

0 wv dx = 0 , il che `e assurdo in quanto in [c , d] si ha che wv ha segno costante non nullo e fuori da tale sottointervallo `e nulla. Quindi dobbiamo concludere che w = 0 in I che a sua volta implica che la (3) diventa semplicemente u⁰(1)v(1) = 0, ∀v ∈ V, da cui segue che u⁰(1) = 0 .

Il problema variazionale (1) pu`o essere formalmente riscritto come segue, trovare u ∈ V | a(u, v) = F (v) , ∀v ∈ V , (4) dove a : V × V → IR `e la seguente forma bilineare (simmetrica),

a(u, v) :=

Z 1 0

(u⁰v⁰ + σuv) dx , e F : V → IR `e il seguente seguente funzionale lineare,

F (v) :=

Z 1 0

v f dx .

La formulazione (4) dicesi formulazione astratta del problema differenziale in forma debole. Ora risulta essere un risultato importante di analisi funzionale il cosiddetto Lemma di Lax–Milgram che asserisce che se la forma bilineare a `e continua e coerciva nello spazio di Hilbert V , ossia esistono due costanti C ≥ α > 0 tali che, ∀u, v ∈ V risulta

|a(u, v)| ≤ Ckuk₁kvk₁, e |a(u, u)| ≥ αkuk²₁,

(4)

e il funzionale lineare F `e limitato ( il che significa che esiste una costante K >

0 tale che, ∀v ∈ V risulta |F (v)| ≤ Kkvk₁) allora il problema variazionale (4) ammette una e una sola soluzione. Anche nel caso pluridimensionale che considereremo nel seguito saremo quindi interessati a poter riscrivere formalmente la formulazione debole del problema differenziale considerato in questa forma, in modo da avvalerci di questo importante Lemma.

Le ipotesi di regolarità assunte per f e per σ consentono di verificare agevolmente la continuità della forma a e la limitatezza di F mentre la coer- cività nel caso in cui si consideri il problema di Dirichlet e non esista una costante σ₀ > 0 tale che σ ≥ σ₀ quasi ovunque in Ω, richiede l’uso della cosiddetta disuguaglainza di Poincaré valida appunto in H₀¹(Ω),

kvk_L²_(Ω) ≤ C_Ω|v|₁ ∀v ∈ H₀¹(Ω) , (5) dove C_Ω `e una costante che dipende solo dal dominio. Da questa disuguaglianza possiamo infatti dedurre che `e anche kvk²₁ ≤ (1 + C_Ω²)|v|²₁ la quale quindi implica che

|a(u, u)| ≥ |u|²₁ ≥ 1

(1 + C_Ω²)kuk²₁.

In tutti gli altri casi si dimostra la coercivit`a di a solo sotto l’ipotesi aggiuntiva che esista una costante σ0 > 0 tale che σ > σ0 quasi ovunque in Ω.

Il seguente teorema stabilisce che, quando la forma bilineare a `e continua, simmetrica e coerciva, il problema astratto (4) risulta equivalente al problema della minimizzazione del seguente funzionale J : V → IR,

J (v) := 1

2a(v , v) − F (v) . (6)

Teorema 1. Se la forma bilineare a `e continua, simmetrica e coerciva, u ∈ V

`

e soluzione di (4) sse risulta J (u) ≤ J (v) , ∀v ∈ V .

Dimostrazione : Supponiamo che u ∈ V sia la soluzione di (4). Posto w = v − u, essendo v = u + w con w ∈ V, si ha che

J (v) = J (u) + a(u , w) − F (w) + 1

2a(w , w) = J (u) + 1

2a(w , w) ≥ J (u) . Supponiamo invece che sia J (u) ≤ J (v) , ∀v ∈ V . Fissata v ∈ V, la funzione ψ() = J (u + v) deve avere un minimo in = 0 da cui segue che u deve verificare (4) per la v fissata. Considerando l’arbitrariet`a di v ∈ V si completa la dimostrazione.

(5)

2 Caso bidimensionale: problema di Poisson

Consideriamo sul dominio limitato e connesso Ω ⊂ IR² il seguente problema detto di Poisson







−4u = f , in Ω , u = gD in ΓD,

∂u

∂n = g_N in Γ_N ,

(7)

dove ∂Ω = Γ_D ∪ Γ_N,

◦

Γ_D ∩Γ^◦_N = ∅, e dove g_D, g_N sono i dati assegnati sul bordo e f è una funzione assegnata definita su Ω. Se Γ_N = ∅ o Γ_D = ∅ il problema è detto rispettivamente di Dirichlet o di Neumann, mentre nel caso generale è detto problema con condizioni miste. Notiamo che il problema di Neumann non ha unicità di soluzione in quanto se si aggiunge una costante ad una soluzione si ottiene sempre una soluzione e che inoltre occorre assumere la seguente condizione di compatibilità sui dati,

− Z

∂Ω

gNdγ = Z

Ω

f (x) dx ,

che deriva dal teorema della divergenza considerando che 4u = ∇·(∇u) . Allo scopo di assicurare unicit`a di soluzione e di non aver bisogno di condizioni di compatibilit`a sui dati, nel seguito consideremo soltanto il problema di Dirichlet o il problema misto.

Osserviamo che, anche se f ∈ C⁰(Ω) e g_D ∈ C²(Γ_D), g_N ∈ C¹(Γ_N), non

`

e detto che u ∈ C²(Ω). Se per esempio Ω = (0 , 1)², Γ_N = ∅ e si scelgono g_D nulla e f costante e uguale a 1, si verifica facilmente che, mentre in Ω il laplaciano di u deve essere −1, si ha che esso nei quattro corner del dominio deve annullarsi. In generale quindi, anche se i dati sono super regolari come in questo esempio, dovremo accontentarci di cercare u in C⁰(Ω) ∩ C²(Ω).

Tuttavia siamo interessati a risolvere il problema anche in ipotesi di minor regolarità dei dati e quindi dobbiamo dapprima intenderlo in forma variazionale in modo che abbia senso assumere f ∈ L²(Ω). Per quanto riguarda la regolarità della soluzione si tenga comunque presente che, anche supponendo di avere condizioni al contorno di Dirichlet omogenee, a differenza di quanto detto per il caso monodimensionale, se f ∈ L²(Ω) non è detto che esista u ∈ H²(Ω) tale che in senso variazionale risulti −4u = f. Infatti è stato dimostrato che una tale u ∈ H²(Ω) esiste solo se ∂Ω è sufficientemente regolare, il che significa o che si tratta di una curva chiusa regolare (quindi senza spigoli o cuspidi) o di una poligonale chiusa tale che Ω risulti convesso.

(6)

In questi casi si dimostra anzi che

f ∈ H^s(Ω) ⇒ u ∈ H^s+2(Ω) e kuk_H^s+2_(Ω) ≤ Ckf k_H^s_(Ω).

Si noti che comunque per il problema misto, anche quando ∂Ω è regolare, non vale più il suddetto risultato, si può avere cioè una perdita di regolarità.

Per tutti questi motivi, siamo allora interessati a risolvere il problema differenziale in senso debole ricercandone la soluzione in H¹(Ω).

Del problema misto ci occuperemo nella sezione successiva, passando a considerare un problema pi`u generale di quello qui introdotto. Riferendoci quindi al problema di Dirichlet, Γ_N = ∅ , consideriamone per ora il caso omogeneo, g_D = 0, assumendo f ∈ L²(Ω). Osserviamo che, supponendo che gli integrali coinvolti siano calcolabili, dalla (7) deriva che

− Z

Ω

v 4u dx = Z

Ω

v f dx .

Dal teorema della divergenza, considerando che v4u = ∇ · (v∇u) − ∇u · ∇v , si ha quindi

Z

Ω

∇u · ∇v dx − Z

∂Ω

v∂u

∂ndγ = Z

Ω

v f dx . (8)

Poich´e vogliamo ricercare la funzione u nello stesso spazio funzionale V dove prendiamo le funzioni test v, tenendo presente le condizioni di Dirichlet omogenee, scegliamo V = H₀¹(Ω) e quindi otteniamo la seguente formulazione,

trovare u ∈ V | Z

Ω

∇u · ∇v dx = Z

Ω

v f dx ∀v ∈ V . (9) Notiamo che la suddetta formulazione pu`o essere anche scritta in modo astratto come in (4), dove ora, a : V × V → IR `e la seguente forma bilineare,

a(u, v) :=

Z

Ω

∇u · ∇v dx , e F : V → IR `e il seguente seguente funzionale lineare,

F (v) :=

Z

Ω

v f dx .

Verificare che la forma a `e continua `e semplice. Infatti, essendo a(u, v) =< u, v >₁ −R

Ωuv dx , si ha che

|a(u, v)| ≤ kuk₁kvk₁+ kuk_L²_(Ω)kvk_L²_(Ω) ≤ 2kuk₁kvk₁.

(7)

Anche verificare che il funzionale F risulta limitato `e semplice. Infatti, usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in L²(Ω), si ottiene che

|F (v)| ≤ kf k_L²_(Ω)kvk_L²_(Ω) ≤ kf k_L²_(Ω)kvk₁.

Per verificare la coercività di a invece abbiamo bisogno di ricordare la validità della disuguaglianza di Poincaré riportata in (5).

Dal Lemma di Lax–Milgram possiamo quindi concludere che anche in questo caso esiste ed `e unica la soluzione del problema (4).

Se consideriamo il problema di Dirichlet non omogeneo, sempre chiedendo che f ∈ L²(Ω) e che g_D ∈ H^1/2(∂Ω), dalla (8) arriviamo alla seguente formulazione,

trovare u ∈ V_D | Z

Ω

∇u · ∇v dx = Z

Ω

v f dx , ∀v ∈ V = H₀¹(Ω) , dove

V_D := {v ∈ H¹(Ω) | v|∂Ω = g_D} .

Tuttavia non siamo soddisfatti di questa formulazione in quanto, per usare Lax-Milgram, abbiamo bisogno che le funzioni test v e la funzione ricercata u appartengano allo stesso spazio di Hilbert (si osservi che V_D non `e neanche uno sottospazio di H¹(Ω)). Allora definiamo

ˆ

u := u − R_g,

dove R_g è una funzione di H¹(Ω), detta rilevamento del dato di Dirichlet al bordo , che ha g_D come traccia su Γ_D, ossia tale che γ_Γ_D(R_g) = g_D e quindi si ha γ_Γ_D(û) = 0 (che per brevità scriveremo semplicemente û|Γ_D = 0).

Riformulato in termini di ˆu, il problema debole torna quindi ad essere quello in (9).

Osservazione 1. Costruire un rilevamento R_g del dato di Dirichlet g_D può in effetti non essere semplice. Tale compito risulterà però molto più semplice nell’ambito dell’approssimazione numerica, dove si costruisce soltanto un rilevamento di un’approssimazione di g_D.

Osservazione 2. La forma bilineare associata alla formulazione debole di un problema di Poisson risulta anche simmetrica. Ci`o sar`a utile in fase di risoluzione numerica.

(8)

2.1 Un problema bidimensionale pi` u generale

Consideriamo ora il seguente problema







−∇ · (µ ∇u) + σu = f , in Ω ,

u = g_D in Γ_D,

µ_∂n^∂u = g_N in Γ_N,

(10) dove, al solito g_D e g_N sono i dati assegnati sul bordo, rispettivamente di Dirichlet e di Neumann, f ∈ L²(Ω) e dove µ , σ ∈ L^∞(Ω) sono anch’esse funzioni assegnate con µ(x) ≥ µ0 > 0 e σ(x) ≥ σ0 > 0 q.o. in Ω. Notiamo che l’ipotesi su σ garantisce l’unicità della soluzione anche per il problema di Neumann puro in questo caso. Circa la regolarità dei dati sul bordo, come per Poisson si richiede che gN ∈ L²(ΓN) e che gD sia in ΓD un po’ più regolare (vedi quanto detto nella sottosezione precedente).

Per arrivare alla formulazione debole di questo problema si procede come prima moltiplicando ambo i membri dell’equazione differenziale per la fun- zone test v e utilizzando quindi il teorema della divergenza. Si ottiene quindi,

Z

Ω

(µ ∇u · ∇v + σ u v) dx − Z

∂Ω

v µ∂u

∂ndγ = Z

Ω

v f dx , che riscriviamo scindendo Γ_D da Γ_N,

Z

Ω

(µ ∇u · ∇v + σ u v) dx − Z

ΓD

v µ∂u

∂ndγ = Z

Ω

v f dx + Z

ΓN

µ v g_Ndγ . Al solito poniamo poi û := u − R_g_D e riscriviamo formalmente il problema come in (4) in termini della funzione incognita û, dove lo spazio di Hilbert V in cui si lavora è l’insieme delle funzioni di H¹(Ω) la cui traccia ristretta a Γ_D è nulla e ora

a(u, v) := R

Ω(µ ∇u · ∇v + σ u v) dx , F (v) :=R

Ωv f dx + R

ΓNµ v g_Ndγ − a(R_g_D, v) .

Si tratta quindi di determinare ˆu ∈ V tale che a(ˆu, v) = F (v) , ∀v ∈ V . Osservazione 3. Nel problema misto le condizioni di Neumann vengono dette naturali in quanto appaiono esplicitamente nella formulazione del problema variazionale mentre quelle di Dirichlet sono dette essenziali in quanto concorrono alla determinazione dello spazio funzionale di Hilbert V nel quale il problema differenziale viene formulato in forma debole. Nel caso del problema puro di Dirichlet, omogeneo e non, V = H₀¹(Ω).

(9)

La forma bilineare a cos`ı modificata `e ancora continua e coerciva grazie alle ipotesi assunte sulle funzioni µ e σ. Infatti, indicando con µ_M e σ_M due costanti positive che rispettivamente maggiorano q.o. in Ω le funzioni µ e σ, si ha

|a(u, v)| ≤ µ_Mkuk₁kvk₁ + σ_Mkuk_L²_(Ω)kvk_L²_(Ω) ≤ (µM + σM) kuk1kvk1.

Inoltre si ha

a(u, u) ≥ min{µ₀, σ₀} kuk²₁.

Il funzionale F `e ovviamente ancora lineare ed esso `e pure limitato essendo, grazie a (26),

||F (v)| ≤ kf k_L²_(Ω)kvk_L²_(Ω)+ kv|Γ_Nk_L²_(Γ_N₎kg_Nk_L²_(Γ_N₎+ (µ_M + σ_M) kR_gk₁kvk₁ ≤ kf k_L²_(Ω)+ C₀kg_Nk_L²_(Γ_N₎+ (µ_M + σ_M) kR_gk₁ kvk₁.

Si conclude quindi che sotto le ipotesi assunte per le funzioni µ e σ anche la forma debole di questo problema ammette una e una sola soluzione.

Osservazione 4. Quando la forma a `e continua e corciva sulla spazio di Hilbert V e il funzionale F `e ivi lineare e limitato, l’unica soluzione u del problema astratto (4) verifica la seguente disuguaglianza,

kuk_V ≤ 1

αkF k_V⁰. (11)

Infatti si ha αkuk²_V ≤ a(u, u) = F (u) ≤ |F (u)| ≤ kF k_V⁰kuk_V .

3 Metodo di Galerkin

Numericamente ci accontentiamo di determinare un’approssimazione u_h ∈ V_h della soluzione u ∈ V del problema debole (4), dove V_h `e un sottospazio di V di dimensione finita N_h+ 1. Notiamo che qui h rappresenta uno scalare positivo tale che, quando h → 0, si ha che corrispondentemente N_h → +∞.

Naturalmente la cosa ha un senso se innanzi tutto l’approssimazione u_h esiste ed `e unica per ogni h fissato e inoltre risulta che u_h → u quando h tende a 0.

Nel metodo di Galerkin, fissato il sottospazio V_h di V, u_h viene determinata come soluzone del seguente problema,

trovare u_h ∈ V_h | a(u_h, v_h) = F (v_h) ∀v_h ∈ V_h, (12)

(10)

Notiamo che, essendo V_hun sottospazio di V, anch’esso è uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare definito in V e quindi si può ancora utilizzare il lemma di Lax-Milgram per concludere che esiste ed è unica anche la soluzione u_h ∈ V_h di (12). Al fine di determinare costruttivamente u_h, osserviamo che, se {ϕ_j(·), j = 0, . . . , N_h} definisce una base per V_h, si ha che (12) è verificato sse si ha che

a(u_h, ϕ_i) = F (ϕ_i) , ∀ϕ_i, i = 0, . . . , N_h. Ponendo allora u_h(·) =

Nh

X

j=0

u_jϕ_j(·) si ottiene che deve essere

Nh

X

j=0

uja(ϕj, ϕi) = F (ϕi) , i = 0, . . . , Nh.

Queste N_h+ 1 condizioni, essendo lineari nelle alrettante incognite u_j, j = 0, . . . , N_h, possono essere quindi compattamente riscritte come il seguente sistema lineare quadrato,

A u = f , (13)

dove si `e posto , u := (u₀, · · · , u_N_h)^T, f := (F (ϕ₀), · · · , F (ϕ_N_h))^T , e dove A_i,j := (a(ϕ_j, ϕ_i)) . La matrice A dicesi matrice di rigidezza o anche matrice di stiffness mentre il vettore f dicesi vettore di carico. Riguardo alla matrice A si noti che, essendo la forma a coerciva, segue che A `e definita positiva, ossia

∀x ∈ IRⁿ con x 6= 0, risulta x^TAx > 0 . Infatti, tenendo in considerazione come è definita A e la bilinearità della forma a, si ottiene che x^TAx = a(w_h, w_h), dove si è posto w_h =PNh

j=1x_jϕ_j. Segue quindi che x^TAx ≥ αkw_hk²₁ con α > 0 (coefficiente di coercività) e w_h 6= 0. Le definita positività assicura quindi effettivamente l’esistenza e l’unicità della soluzione u_h. Se poi la forma bilineare a è anche simmetrica, come accade per i problemi ellittici esaminati, la A risulta essere sdp e quindi ci si può avvantaggiare di ciò per la risoluzione del sistema lineare in (13).

Osserviamo che (4) e (12) implicano la seguente propriet`a di ortogonalit`a della differenza u − u_h rispetto allo spazio V_h,

a(u − u_h, v_h) = 0 , ∀v_h ∈ V_h. (14) Inoltre, analogamente a quanto fatto per ottenere la disuguaglianza (11), si pu`o dimostrare che la norma di u_h rimane limitata superiormente al tendere

(11)

di h a zero in quanto

ku_hk_V ≤ 1

αkF k_V⁰. Dimostriamo ora il seguente importante risultato,

Teorema 2. La soluzione u_h di (12) verifica la seguente disuguaglianza, ku − u_hk_V ≤ M

α inf_v_h_∈V_hku − v_hk_V , ∀v_h ∈ V_h,

dove u è la soluzione di (4) e α e M sono rispettivamente le costanti di coercività e di continuità della forma bilineare a.

Dimostrazione : Osserviamo innanzi tutto che αku − uhk²_V ≤ a(u − uh, u − u_h) = a(u − u_h, u − v_h) + a(u − u_h, v_h − u_h), ∀v_h ∈ V_h. Ma, per la proprietà di ortogonalità di u − u_h, il secondo addendo è zero. Quindi, dalla continuità di a si deduce che αku − uhk²_V ≤ M ku − uhkVku − vhkV, da cui discende la tesi.

L’importanza di questo risultato è insita nel fatto che se nello spazio V_h al tendere di h a zero si approssima sempre meglio u ∈ V (il che significa che l’inf a destra nella suddetta disuguaglianza tende a zero), allora anche l’errore di approssimazione ku − u_hk_V tenderà a zero e avremo che l’ordine di approssimazione (infinitesimo rispetto a h) con cui u_h approssima u sarà analogo a quello della migliore approssimazione di u in V_h.

4 Il metodo degli elementi finiti

Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, per completare la risoluzione numerica di un problema ellittico in forma debole utilizzando Galerkin, abbiamo bisogno di fissare lo spazio V_h e di scegliere una base in esso. Vediamo in questa sezione come questo viene fatto utilizzando il metodo degli elementi finiti, riferendoci in particolare ad elementi finiti cosiddetti lagrangiani. Ci occuperemo esplicitamente solo del caso 1D e del caso 2D facendo riferimento ai problemi modello precedentemente introdotti.

4.1 Caso 1D: scelta di V

h

e delle basi

Assumiamo quindi qui Ω = I = (0 , 1) ⊂ IR e ricordiamo che in tal caso si ha H¹(I) ⊂ C⁰( ¯I) . Fissata una partizione ∆_h di (0 , 1), ossia un insieme

(12)

di ascisse x_i, i = 0, . . . , N tali che 0 = x₀ < x₁ < · · · < x_{N −1} < x_N = 1 , poniamo I_i := (x_i−1, x_i) , h_i := x_i− x_i−1, i = 1, . . . , N e

h := max

i=1,...,Nh_i.

Con questa notazione, nel metodo degli elementi finiti, fissato r > 0 ∈ IN , si sceglie V_h come segue,

V_h := {v_h ∈ X_h^r| v_hverifica le cond. di Diric. omogenee assegnate} , (15) dove X_h^r indica lo spazio delle splines generalizzate di grado r definite sulla partizione ∆_h e che nei nodi devono solo essere continue,

X_h^r := {v_h ∈ C⁰([0 , 1]) | v_h|I_k ∈ Π_r, k = 1, . . . , N } .

Come sappiamo tale spazio ha dimensione N (r + 1) − (N − 1) = N r + 1 e effettivamente esso costituisce una scelta ammissibile in quanto X_h^r ⊂ H¹(Ω) . Infatti ogni funzione v_h ∈ X_h^r `e continua in [0 , 1] ed `e tale che v_h⁰ ∈ L₂(I), essendo v⁰_h ∈ C(I_k), k = 1, . . . , N e con un salto finito in ciascun nodo interno.

Naturalmente in questo spazio potremmo usare la base delle B-splines definita usando il vettore esteso dei nodi (introducendo quindi nodi interni multipli tutti con molteplicità r). Facendo però qui riferimento all’implemen- tazione più comune del metodo degli elementi finiti, andremo ad utilizzare una base diversa, per definire la quale introduciamo la seguente partizione allargata Y ⊃ ∆ di (0 , 1) ,

Y := ∪^N

k=1{y_i,k, i = 0, . . . , r} , con y_i,k := x_k−1+ih_k

r , i = 0, . . . , r , (num. locale) . Si osservi che la partizione allargata Y `e ottenuta aggiungendo a ∆ altre (r − 1) ascisse equispaziate a distanza h_k/r in ogni sottointervallo I_k. Si osservi inoltre che ]Y = N r + 1 e che nel caso particolare r = 1 risulta Y = ∆ . Come si diceva, la partizione Y viene utilizzata per definire una base {ϕ_i, i = 0, . . . , N r} lagrangiana di X_h^r, ossia tale che

ϕ_i(y_j) = δ_i,j, i, j = 0, . . . , N r , (16) dove δ_ij indica il δ di Kronecker. e dove le ascisse di Y sono state rinumerate globalmente, ossia si `e posto

(13)

y_j := y_i,k, k := 1 + b^j_rc , i := j + r − rk , j = 0, . . . , N r − 1 ,

y_{N r} := y_r,N (num. globale) . (17)

Queste funzioni, grazie a (16), risultano essere sicuramente linearmente indipendenti. Inoltre esse si determinano facilmente utilizzando la loro rap- presentazione polinomiale a tratti. Infatti φ_j deve essere identicamente nulla in ¯I_k se y_j ∈ ¯/ I_k mentre, se y_j ∈ ¯I_k e in particolare si ha y_j = y_i,k, essa deve necessariamente coincidere con il polinomio di Lagrange definito utilizzando le r + 1 ascisse y_s,k, s = 0, . . . , r . Se quindi y_j ∈ Y \ ∆, la corrispondente ϕ_j sar`a diversa da zero solo in quel sottointervallo I_k cui appartiene y_j. Se invece y_j ∈ ∆, allora essa sar`a diversa da zero in quei due sottointervalli con- tigui che condividono y_j come estremo (ad eccezione naturalmente del caso y₀ = x₀ = 0 e y_{N r} = x_N = 1).

Per capire meglio come sono definite queste funzioni, analizziamo in det- taglio i casi r = 1 e r = 2. Se r = 1 abbiamo detto che Y = ∆ e quindi avremo che ϕ_i sarà la funzione continua lineare a tratti sulla partizione ∆ (spline classica) che vale 1 in x_i e che vale 0 in tutti gli altri punti della partizione ∆ il cui grafico è quello della funzione a tettuccio con supporto [x_i−1, x_i+1]. Essa è quindi definibile a tratti come segue,

ϕi(x) :=







x−xi−1

xi−xi−1 se x ∈ [x_i−1, x_i) ,

xi+1−x

xi+1−x se x ∈ [x_i, x_i+1) , 0 altrimenti .

In questo caso quindi tutte le funzioni di base (escluse la prima e l’ultima) hanno come supporto due sottointervalli consecutivi.

Se invece r = 2, si ha che, quando j = 2k − 1 (dispari), ϕ_j `e diversa da zero solo in I_k e risulta definibile a tratti come segue,

ϕj(x) :=

( _(x−y

j−1)(x−yj+1)

(yj−y_j−1)((yj−y_j+1) se x ∈ [x_k−1, x_k) ,

0 altrimenti . k = (j + 1)/2 (j dispari) . Quando invece j = 2k (pari), si ha che ϕ_j `e diversa da zero sia in I_k che in I_k+1 e essa risulta definibile a tratti come segue,

ϕ_j(x) :=







(x−yj−2)(x−yj−1)

(yj−y_j−2)((yj−y_j−1) se x ∈ [xk−1, xk) ,

(x−yj+1)(x−yj+2)

(yj−y_j+1)((yj−y_j+2) se x ∈ [x_k, x_k+1) ,

0 altrimenti .

k = j/2 (j pari) ,

(14)

con opportune modifiche per j = 0 e j = 2N . In generale, per come `e definita la numerazione globale si ha che, se y_j = y_i,k con j non multiplo di r, allora ϕj 6= 0 nel solo sottointervallo Ik e risulta

ϕ_j|I_k = L^(k)_i,r ,

dove L^(k)_i,r indica l’ i–esimo polinomio di Lagrange di grado r definito usando le ascisse (uniformi) di Y appartenenti ad I_k. Se invece j `e multiplo di r, essa risulta non nulla sia in I_k, con k definito come in (17), che nel precedente sottointervallo, con ϕ_j|I_k = L^(k)_0,r e ϕ_j|I_k−1 = L^(k−1)r,r .

Ora, se per ogni sottointervallo I_k si definisce il mapping lineare x = m_k(ξ) : [0 , 1] → I_k,

m_k(ξ) = x_k−1+ ξh_k, si ha che

L^(k)_j,r(x) = `_j,r(ξ) ,

avendo indicato con `_j,r(ξ), j = 0, . . . , r i polinomi di Lagrange di grado r e nodi 0 = ξ₀ < ξ₁ < · · · < ξ_r−1 < ξ_r= 1 con ξ_j = j/r, j = 0, . . . , r, ossia

`_j,r(ξ) =

r

Y

i=0,i6=j

rξ − i

j − i , j = 0, . . . , r .

Facendo allora riferimento al problema ellittico considerato in Sezione ??, avremo quindi per la matrice di rigidezza che

Ai,j =

N

X

k=1

Z

Ik

ϕ⁰_j(x) ϕ⁰_i(x) + σ(x)ϕj(x) ϕi(x)

dx i, j = 1, . . . , N r + 1.

Si osservi innanzi tutto che A `e simmetrica, il che implica che si possono sostanzialmente dimezzare i calcoli supponendo per esempio i ≥ j. L’assemblaggio della matrice A comunque viene usualmente fatto element–by–element:

inizializzata A a zero, per ogni sottointervallo Iksi calcolano tutti gli integrali I_i,j^k :=

Z

Ik

ϕ⁰_j(x) ϕ⁰_i(x) + σ(x)ϕ_j(x) ϕ_i(x) dx ,

che sono non nulli ossia per quelle coppie di indici i e j tali che esistono dei corrispondenti indici 0 ≤ s_i ≤ r e 0 ≤ s_j ≤ r tali che y_i = y_s_i_,k e y_j = y_s_j_,k (limitandosi per la simmetria a quelli per cui s_i ≥ s_j). Si tratta quindi in

(15)

tutto di (r + 2)(r + 1)/2 integrali da calcolare su ogni I_k. Utilizzando la sostituzione lineare x = m_k(ξ), per ciascuno di tali sottointervalli si ha che

I_i,j^k = 1 hk

I₁(s_j, s_i) + h_kI₀^k(s_j, s_i) , dove, per s₁, s₂ = 0, . . . , r, si pone

I₁(s₁, s₂) :=R1

0 `⁰_s₁_,r(ξ) `⁰_s₂_,r(ξ) dξ , I₀^k(s₁, s₂) :=R1

0 σ(m_k(ξ)) `_s₁_,r(ξ) `_s₂_,r(ξ) dξ .

Osserviamo per`o che solo I₁(s₁, s₂) non dipende dall’intervallo I_k e il suo calcolo consiste nel calcolo dell’integrale di un polinomio. Il calcolo di I₀^k(s₁, s₂) richiede invece in generale l’uso di formule di quadratura.

Anche il vettore di carico f viene assemblato procedendo element–by–

element e tale assemblaggio richiede su ogni sottointervallo I_k il calcolo delle seguenti quantit`a,

I_f^k(s₁) :=

Z 1 0

f (m_k(ξ)) `_s_i_,r(ξ) dξ , s₁ = 0, . . . , r ,

dove il prodotto h_kI_f^k(s_i) deve essere accumulato in f (i), essendo y_i = y_s_i_,k.

4.2 Caso 1D: convergenza di u

_h

a u

Naturalmente la scelta dello spazio V_h risulta adeguata solo se infv_h∈V_hku − vhkV → 0 , quando h → 0 ,

dove u ∈ V ⊆ H¹(Ω) è la soluzione di (4) che, nelle ipotesi assunte per f e per σ sappiamo in effetti appartenere almeno ad H²(I). Dobbiamo quindi fare vedere che questo è vero se si sceglie V_h ⊆ X_h^r come definito in (15), con X_h^r che indica lo spazio delle splines generalizzate definito nella sezione precedente. Ciò si dimostra facendo vedere che

h→0limku − s^r_hk₁ = 0 ,

dove s^r_h indica la funzione di X_h^r che interpola u nell’insieme delle ascisse prima indicato con Y. Infatti si ha che

inf_v_h∈V_hku − v_hk_V ≤ ku − s^r_hk₁.

(16)

Si noti che u ∈ C⁰[0 , 1] e che la sua interpolante su Y, s^r_h ∈ X_h^r, `e uni- vocamente definita. Per come `e definito X_h^r, si ha che s^r_h| I_k risulta essere il polinomio di grado r che interpola u sulle r + 1 ascisse equispaziate y_i,k, i = 0, . . . , r appartenenti a I_k, ossia

s^r_h(x) =

r

X

i=0

u(y_i,k) L^(k)_i,r(x) , ∀x ∈ I_k, k = 1, . . . , N .

Avendo i polinomi di Lagrange somma costante uguale a 1, si pu`o scrivere

u(x) − s^r_h(x) =

r

X

i=0

(u(x) − u(y_i,k)) L^(k)_i,r(x) , ∀x ∈ I_k,

e quindi ottenere

|u(x) − s^r_h(x)| ≤ ω(u, h_k) k

r

X

i=0

|L^(k)_i,r|k_∞,I_k, ∀x ∈ I_k,

dove ω(u, h) `e il modulo di continuit`a della funzione u che tende a zero per h che tende a zero, essendo u continua. Dato che per ascisse uniformi si ha

k

r

X

i=0

|L^(k)_i,r|k∞,I_k = k

r

X

i=0

|`_i,r| k∞,[0,1], ∀k ,

indicata con Λ_r (costante di Lebesgue) tale quantit`a, si pu`o allora concludere che

max

x∈[0 , 1]|u(x) − s^r_h(x)| ≤ Λrω(u, h) .

Questo ovviamente garantisce la convergenza di s^r_h ad u nella norma uniforme di C⁰[0 , 1] . Ma vediamo ora l’ordine di convergenza con cui s^r_h tende ad u al tendere di h a zero nella norma di H¹(Ω), ricordando che u appartiene almeno a H²(Ω). A tale scopo si dimostra il seguente teorema,

Teorema 3. Sia Ω = (0 , 1) e u ∈ H^r+1(Ω), r ≥ 1 . Allora esistono due costanti C_0,r e C_1,r indipendenti da u e da h tali che

|u − s^r_h|₁ ≤ C_1,rh^r|u|_r+1,

ku − s^r_hk_L² ≤ C_0,rh^r+1|u|_r+1. (18)

(17)

Dimostrazione : Facciamo la dimostrazione solo nel caso r = 1, ricordando che in tal caso, essendo il dominio monodimensionale, si ha che u ∈ C¹(Ω) . Se quindi poniamo e := u − s¹_h, abbiamo che e ∈ C¹(Ik) e, essendo e(xi) = 0, i = 0, . . . , N, si ha che per il teorema di Rolle esistono z_k∈ I_k, k = 1, . . . , N tali che e⁰(z_k) = 0 . Questo ci permette di scrivere

e⁰(x) = Z x

zk

e⁰⁰(s)ds = Z x

zk

u⁰⁰(s) ds , ∀x ∈ Ik, che implica che

|e⁰(x)| ≤ Z xk

xk−1

|u⁰⁰(s)|ds , ∀x ∈ Ik.

Usando la disuguaglianza di Cauchy–Schwarz in L²(I_k) per le funzioni 1 e

|u⁰⁰|, si ottiene quindi,

|e⁰(x)| ≤ h^1/2_k

Z xk

xk−1

(u⁰⁰(s))²ds

!1/2

, ∀x ∈ I_k. (19)

A sua volta si ha quindi allora che Z xk

xk−1

(e⁰(x))²dx ≤ h² Z xk

xk−1

(u⁰⁰(s))²ds ,

dove h_k `e stato maggiorato con h . Sommando su k e e elevando a 1/2 ambo i membri si ottiene allora la prima disuguaglianza in (18) ponendo C_1,1 = 1. Dobbiamo ora maggiorare e(x). Per fare questo si nota che

e(x) = Z x

xk−1

e⁰(s)ds , ∀x ∈ I_k, e quindi, dalla (19), si ottiene che

|e(x)| ≤ Z xk

xk−1

|e⁰(x)|dx ≤ h^3/2_k

Z xk

xk−1

(u⁰⁰(s))²ds

!1/2

, ∀x ∈ I_k.

Quindi, quadrando e maggiorando di nuovo hk con h si ottiene Z xk

xk−1

(e(x))²dx ≤ h⁴ Z xk

xk−1

(u⁰⁰(s))²ds .

(18)

Infine, sommando su k e e elevando poi a 1/2 ambo i membri si ottiene la seconda disuguaglianza in (18) ponendo ancora C_0,1 = 1.

Per quanto prima detto, questo teorema implica allora che, se la soluzione u del nostro problema variazionale appartiene a H^r+1(Ω) con r ≥ 2 e si usano elementi finiti proprio di grado r, allora esiste una costante indipendente da h e da u tale che

ku − u_hk₁ ≤ Ch^r|u|_r+1.

Si pu`o inoltre dimostrare che se u ∈ H^s+1(Ω) con s ≥ 1 e si usano elementi finiti di grado r > s si ha soltanto

ku − u_hk₁ ≤ Ch^s|u|_s+1.

Da questo si deduce che non conviene utilizzare elementi finiti di grado r > s.

Si noti che nell’approccio classico qui analizzato non si contempla la possi- bilit`a di utilizzare come V_h uno spazio di splines con regolarit`a globale mag- giore di C⁰.

5 Appendice A

In questa sezione si introducono le definizioni e gli enunciati dei teoremi di analisi funzionale cui viene fatto riferimento in queste note.

5.1 Gli spazi L

^p

(Ω), 1 ≤ p ≤ +∞

Si tratta di spazi di funzioni definite su Ω che sono tutti spazi di Banach (ciascuno rispetto ad una sua specifica norma) e che nel caso da noi assunto di Ω limitato sono annidati nel senso che, se q > p ≥ 1 si ha

L^∞(Ω) ⊂ L^q(Ω) ⊂ L^p(Ω) ⊂ L¹(Ω) . Se p < +∞ si ha:

L^p(Ω) := {v : Ω → IR | Z

Ω

|v(x)|^pdx < +∞}

e, conseguentemente, la norma di v ∈ L^p(Ω) `e definita come segue, kvk_L^p_(Ω):=

Z

Ω

|v(x)|^pdx

1/p

.

(19)

In particolare L²(Ω) `e uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare

< v , w >_L²_(Ω):=

Z

Ω

v(x) w(x) dx .

Come in tutti gli spazi di Hilbert, vale quindi in L²(Ω) la cosiddetta disuguaglianza di Cauchy-Schwartz,

| Z

Ω

u(x) v(x) dx | = | < u , v >_L²_(Ω) | ≤ kuk_L²_(Ω)kvk_L²_(Ω).

(dimostrabile considerando che, ∀α ∈ IR, risulta < u − αv , u − αv >=

ku − αvk² ≥ 0 e scegliendo α = <u , v>

<v , v>).

Osserviamo che, se u, v ∈ L²(Ω), anche |u|, |v| ∈ L²(Ω). Quindi Cauchy- Schwartz implica anche che (disuguaglianza di H¨older),

Z

Ω

|u(x) v(x)| dx ≤ kuk_L²_(Ω)kvk_L²_(Ω). (20) Inoltre si ha che

L^∞(Ω) := {v : Ω → IR | sup{|v(x)|, con x q. o. ∈ Ω} < +∞}

e

kvk_L^∞_(Ω):= sup{|v(x)| , q.o. in Ω} .

Si noti che, essendo Ω aperto, non `e detto che una funzione continua in Ω appartenga ad L¹(Ω) . Ad esempio la funzione f (x) = 1/x `e continua in Ω = (0 , 1) ma non appartiene a L¹(Ω) . Naturalmente invece se f ∈ C( ¯Ω) , allora f ∈ L^∞(Ω) .

5.2 Derivate nel senso delle distribuzioni

Vogliamo qui introdurre una generalizzazione del concetto di derivata che, fra l’altro, ci permetter`a di definire la derivata (nel senso delle distribuzioni appunto) per una qualsiasi f ∈ L²(Ω) (funzione a quadrato sommabile).

Preliminarmente comunque ricordiamo che se f ∈ C^k(Ω) con Ω ⊆ IR^d, d ≥ 2, per brevit`a si utilizzano i multi–inidici α = (α₁, · · · , α_d) ∈ IN^d, |α| := α₁+

· · · + αd = r ≤ k , per indicare una ben precisa derivata parziale di ordine r della f = f (x) = f (x₁, · · · , x_d),

D^αf (x) = ∂^rf (x)

∂x^α₁¹· · · ∂x^α_d^d , |α| = r .

(20)

Ma andiamo per ordine e definiamo innanzi tutto lo spazio delle distribuzioni che indicheremo con D⁰(Ω) come lo spazio duale dello spazio

D(Ω) := {φ : Ω → IR | φ ∈ C^∞(Ω) e φ ha supp. comp. in Ω}

Abbiamo quindi che D⁰(Ω) è lo spazio dei funzionali lineari e continui definiti sulle funzioni di D(Ω). Ora possiamo osservare che L²(Ω) è isomorfo a un sottospazio proprio di D⁰(Ω). Infatti è possibile identificare ogni f ∈ L²(Ω) con la distribuzione T_f tale che

T_f(φ) :=

Z

Ω

f (x) φ(x)dx .

Notiamo che per brevità spesso si identifica f ∈ L²(Ω) con la distribuzione T_f ad essa associata. Con tale abuso di linguaggio possiamo quindi anche dire che L²(Ω) è un sottospazio di D⁰(Ω). Il fatto che si tratti di un sottospazio proprio si dimostra facendo vedere che non è possibile trovare f ∈ L²(Ω) tale che f = δ_a, (nel senso quindi di T_f = δ_a,) dove δ_a ∈ D⁰(Ω), a ∈ Ω, è detta distribuzione di Dirac ed è definita come segue:

δ_a(φ) := φ(a) . Definiamo quindi la derivata _∂x^∂T

i di una distribuzione T come quella distribuzione tale che

∂T

∂x_i(φ) := −T (∂φ

∂x_i) . (21)

In particolare avremo quindi che,^∂δ_∂x^a

i(φ) = −_∂x^∂φ

i(a) . Inoltre, se f ∈ L²(Ω), per la derivata di T_f vale la seguente formula,

∂T_f

∂x_i(φ) = − Z

Ω

f (x) ∂φ

∂x_idx . (22)

Dalla definizione in (21) si deduce innanzi tutto che le distribuzioni sono infinitamente derivabili (nel senso delle distribuzioni!) e per recursione si ottiene che, se α ∈ IN^d `e un multiindice assegnato, ∀T ∈ D⁰(Ω) risulta

D^αT (φ) = (−1)^|α|T (D^αφ) .

Osserviamo poi che l’espressione in (22) implica che, se f ∈ C¹(Ω), allora ^∂T_∂x^f

i = T∂f

∂xi

che implica che in questo caso la derivata nel senso delle

(21)

distribuzioni coincide con la derivata classica. Infatti usando il teorema di Green (detto anche della divergenza) e considerando che ogni φ ∈ D(Ω) ha supporto compatto in Ω, si ha che

Z

Ω

φ(x)∂f

∂x_i(x) + f (x)∂φ

∂x_i(x)dx = 0 che implica che

∂T_f

∂x_i(φ) = Z

Ω

φ(x) ∂f

∂x_idx = T^∂f

∂xi(φ) .

Se per`o si sa solo che f sta in L²(Ω) non `e neanche detto che esista g ∈ L²(Ω) tale che T_g = ^∂T_∂x^f

i, cio`e, in altre parole, la derivata nel senso delle distribuzioni di una funzione di L²(Ω) non necessariamente `e una funzione di L²(Ω). Questo si verifica in modo costruttivo, considerando la funzione monovariata di Heaviside H(x) : IR → IR,

H(x) = 1 se x > 0 ,

0 altrimenti. (23)

Tale funzione appartiene naturalmente a L²(Ω), Ω ⊂ IR, essendo Ω limitato per ipotesi. Se Ω = (a , b) con a < 0 < b, avremo

dT_H

dx (φ) = −TH(dφ

dx) = − Z b

a

H(x)dφ

dx(x) = − Z b

0

dφ

dxdx = φ(0) = δ0(φ) . Essendo quindi ^dT_dx^H = δ₀, segue che ^dT_dx^H ∈ L/ ²(Ω).

5.3 Gli spazi di Sobolev H

^m

(Ω)

Il fatto che la derivata nel senso delle distribuzioni di una funzione di L²(Ω) non necessariamente appartenga ad L²(Ω), ci porta quindi ad introdurre un sottospazio di L²(Ω) che viene detto spazio di Sobolev H¹(Ω),

H¹(Ω) := {f ∈ L²(Ω)| ∂f

∂x_i ∈ L²(Ω), i = 1, . . . , d} , (24) dove le derivate devono essere intese nel senso delle distribuzioni.

(22)

Si noti che H¹(Ω) `e uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare

< f , g >₁:=

Z

Ω

f g + ∇f · ∇g dx , che induce la norma

kf k1 :=

Z

Ω

f² + |∇f |² dx

1/2

.

E’ anche possibile definire una seminorma in H¹(Ω) che talvolta viene utilizzata in certi teoremi,

|f |₁ :=

Z

Ω

|∇f |² dx

1/2

.

Dal punto di vista della regolarità puntuale, si dimostra che se d = 1 e Ω = (a , b) (caso monodimensionale), allora H¹(Ω) ⊂ C⁰(Ω). Questo però non è più vero se d > 1. Si noti anche che può succedere che si possa scrivere Ω =¯ ∪^`

j=1

K¯_j con K_j ∩ K_s = ∅ se j 6= s, e che risulti che una funzione f /∈ H¹(Ω) sebbene sia f ∈ H¹(K_j), j = 1, . . . , ` . Basti pensare alla funzione di Heaviside. In effetti si dimostra che se f ∈ H¹(K_j), j = 1, . . . , ` e si ha anche che f ∈ C⁰( ¯Ω) , allora si pu`o concludere che f ∈ H¹(Ω) .

La definizione di H¹(Ω) pu`o essere generalizzata per definire lo spazio di Sobolev H^m(Ω), dove

H^m(Ω) := {f ∈ L²(Ω)| D^αf ∈ L²(Ω), |α| ≤ m} , (25) dove quindi naturalmente si ha H^m(Ω) ⊂ · · · ⊂ H¹(Ω) ⊂ L²(Ω) . Il prodotto scalare in H^m(Ω) `e definito come segue,

< f , g >_m:=

Z

Ω

X

|α|≤m

D^αf D^αg dx

Seminorma e norma in H^m(Ω) sono quindi rispettivamente definite come segue,

|f |_m :=



 Z

Ω

X

|α|=m

(D^αf )²dx





1/2

kf k_m :=



 Z

Ω

X

|α|≤m

(D^αf )²dx





1/2

(23)

5.4 Traccia su ∂Ω di funzioni di H

^m

(Ω)

Se d > 1 e u ∈ H¹(Ω), abbiamo visto che non necessariamente u `e continua in Ω. Occorre allora precisare cosa si intende per “restrizione di u a ∂Ω”, supponendo comunque ∂Ω sufficientemente regolare. A tale scopo ci viene in aiuto il teorema di traccia che asserisce che, ∀m ≥ 1, esiste una e una sola applicazione lineare e continua γ₀ : H^m(Ω) → L²(∂Ω) tale che, ∀v ∈ H^m(Ω) ∩ C⁰(Ω) risulta γ₀(v) = v|∂Ω. La continuit`a di γ₀ implica che esiste una costante C₀ tale che, ∀u ∈ H^m(Ω) si ha

kγ₀(u)k_L²_(∂Ω) ≤ C₀kuk_m. (26) Si noti che il risultato resta valido se si considera ΓD ⊂ ∂Ω, invece di

∂Ω, purch´e Γ_D abbia misura non nulla. In tal caso usualmente si indica l’operatore di traccia con γ_Γ_D (operatore di traccia ristretta).

Osservazione 5. L’operatore γΓ_D non `e suriettivo in L²(ΓD) . Si indica allora con H^1/2(Γ_D), il sottospazio di L²(Γ_D) definito come segue,

H^1/2(Γ_D) := {g ∈ L²(Γ_D) | ∃v ∈ H¹(Ω) : γ_Γ_D(v) = g} .

Tale spazio ha propriet`a di regolarit`a intermedie fra quelle di H¹(Γ_D) e di L²(Γ_D) , essendo H¹(Γ_D) ⊂ H^1/2(Γ_D) ⊂ L²(Γ_D) .

Mediante l’operatore di traccia γ₀possiamo definire il seguente sottospazio di H¹(Ω),

H₀¹(Ω) := {v ∈ H¹(Ω)| γ₀(v) = 0} (27) Nel caso quindi della formulazione debole del problema di Poisson o anche della sua generalizzazione considerata, la condizione di Dirichlet u|Γ_D = g_D deve essere intesa come γ_Γ_D(u) = g_D, con g_D dato assegnato tale che g_D ∈ H^1/2(Γ_D) .

Osserviamo che si pu`o anche dimostrare che D(Ω) risulta denso in H₀¹(Ω).

Questo ci permette di dimotrare il seguente importante teorema (disuguaglianza di Poincar`e),

Teorema 4. Se Ω ⊂ IR^d `e limitato, allora esiste una costante positiva C_Ω tale che

kuk_L²_(Ω) ≤ C_Ω|u|₁, ∀u ∈ H₀¹(Ω) . (28)

(24)

Dimostrazione : innanzi tutto osserviamo che, essendo D(Ω) denso in H₀¹(Ω), se il teorema risulta dimostrato per ogni u ∈ D(Ω) , allora esso vale anche in tutto H₀¹(Ω) (ragionare per successioni e passare al limite). Sia quindi u ∈ D(Ω) e sia r > 0 tale che la palla di centro g ∈ Ω e raggio r contenga Ω.

Allora, tenendo presente che ∇ · (x − g) = d , si ha che kuk²_L2(Ω)=

Z

Ω

u²(x) dx = d⁻¹ Z

Ω

u²(x) ∇ · (x − g) dx . Da questo discende che

kuk²_L2(Ω) = d⁻¹ Z

Ω

∇ · u²(x) (x − g) dx − 2d⁻¹ Z

Ω

u(x) ∇u(x) · (x − g) dx . Usando il teorema della divergenza, si dimostra che il primo degli integrali a destra in questa formula risulta nullo, essendo u ∈ D(Ω) . Per quanto riguarda il secondo termine, esso pu`o essere maggiorato con

2d⁻¹r

d

X

i=1

Z

Ω

|u(x)| |∂u

∂x_i(x)| dx .

Utilizzando la disuguaglianza di H¨older in (20) si ottiene allora,

kuk²_L2(Ω)≤ 2d⁻¹r

d

X

i=1

kuk_L²_(Ω)k∂u

∂x_ik_l²_(Ω) ≤ 2r kuk_L²_(Ω)|u|1

e quindi la tesi ponendo C_Ω = 2r .

References

[1] S. C. Brenner, L. Ridgway Scott (1994), The mathematical theory of Finite Element Methods, Spriger Verlag, New York.

[2] V. Comincioli (1990), Analisi Numerica, Metodi, Modelli e Aplicazioni, Mc Graw Hill, Milano.

[3] A. Quarteroni (2012), Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, quinta edizione, Springer–Verlag, Milano.