1
Teoria in pillole: funzioni esponenziali
Potenze con esponente reale La potenza ax è definita:
• sea>0, per ogni x∈R;
• sea=0, per tuttiesoligli x∈R+;
• sea<0, per tuttiesoliglix∈Z. Sono definite:
( ) ( ) ( )
. 3 3 1
; 7 7
; 3 3 3
2 2
3 2 3 2
2
=
=
−
⋅
−
=
−
−
Non sono definite:
( )
−2 3 ; 00 ; 0−3.Casi particolari :
• a=1 , ax =1, per ogni x∈ R ;
• x=0, a0 =1, per ognia∈R+;
Le proprietà delle potenze verificate con esponenti interi valgono anche con esponenti reali. Più precisamente:
( )
( )
Se 0, per ogni appartenenti a si ha:
1. ;
2. ;
3. : ;
4. ;
1 1
5.
x y x y
x y x y
x y x y
x x x
x x
x
a x, y
a a
a a a
a a a
a b a b
a a a
⋅
+
−
−
>
=
⋅ =
=
⋅ = ⋅
= =
R
Funzione esponenziale
Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo : .
x a
a
y= x , con >0fissato, ∈R
2
Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è tutto R ; il codominio, cioè l'insieme dei valori che la funzione assume è R+ (la funzione esponenziale è sempre strettamente positiva).
Si distinguono tre casi:
• a>1 : funzione crescente : x1 >x2 ⇒ax1 >ax2 ;
• a=1 : funzione costante : ax =1 per ogni x∈R;
• 0< a<1 : funzione decrescente : x1 >x2 ⇒ax1 <ax2 ;
I seguenti grafici illustrano il comportamento della funzione esponenziale nei vari casi :
