meccanismo di aggiornamento delle probabilit `a
5.7 ê Il caso del sospetto baro
ÓRú9]
dove con ³
ÓR· `e stata indicata la probabilit`a iniziale che una persona pos-sa telefonare e con ³R¶ÆÞÝ la probabilit`a finale condizionata dallo stato di informazione Ý .
Nello schema bayesiano la probabilit`a finale si riaggiorna ogni qualvolta intervengono nuove osservazioni. ³¸Ý¥Æj R· invece indica quanto `e verosimi-le che verosimi-le informazioni siano prodotte dall’interazione con la persona R. Per esplicitare il fatto che l’informazione Ý dipende dal tempo e che sia la proba-bilit`a iniziale che la verosimiglianza dipendono dalla conoscenza iniziale Ý
, la relazione dovrebbe essere scritta come
³ ÓR ÆÞÝ^ g Ý ¼³¸Ý^ g ÆjÓR Ý ½èO³ÓRXÆÝ 9C
5.7
êIl caso del sospetto baro
Poich´e daremo una notevole importanza all’approccio bayesiano nella parte dedicata all’inferenza statistica facciamo ora un simpatico esempio relativo ai giochi. Anche se alcuni aspetti possono suonare ameni, questo esempio va pre-so molto sul serio e studiato molto attentamente, poich´e presenta molti paralleli con le problematiche che entrano nelle inferenze su questioni scientifiche.
5.7.1 I “fatti”
Supponiamo che un signore incontri un bel giorno al bar sotto casa un vecchio amico (e non una persona qualsiasi!) e che questo lo inviti a giocarsi l’aperitivo estraendo da un mazzo di carte da gioco una carta ciascuno. Colui che estrae la carta dal valore pi`u alto vince. In caso di parit`a si estrae di nuovo.
Supponiamo che l’amico vinca. Qual’`e la probabilit`a che egli sia un baro? Nelle settimane successive ogni tanto i due si rincontrano, si giocano l’a-peritivo nello stesso modo e il vecchio amico vince ogni volta. Quanto vale, ad ogni nuova vittoria, la probabilit`a che l’amico sia diventato un baro?
5.7.2 Riaggiornamento della probabilit `a
Le ipotesi a cui siamo interessati sono quelle della partizione dell’evento certo
5.7 Il caso del sospetto baro 97
con S l’evento “vince volte consecutive”. Supponiamo, per semplificare i conti, che se l’amico `e baro vinca sempre (³ S ÆÞëAÜ0 ), mentre se `e onesto vinca secondo le leggi della probabilit`a, ossia³ SÆ>ø¤éð021NE
S
. Applican-do la formula di Bayes otteniamo la probabilit`a dell’ipotesi Baro subordinata alle vincite: ³¸ëäÆ> S ³ SÙÆÞëÓ½èO³ ¸ëA ³ ñSÙÆÞëA½è2³ ¸ëAz"'³ ñS¥Æ>ø GèO³ ø 0 è2³ ¸ëÓ 0Yè;³ ¸ëAz" î < ï S è2³ ø C (5.20)
Rimane da assegnare la probabilit`a iniziale ³
¸ëA. Chiaramente un estraneo che ci invitasse a giocare d’azzardo si renderebbe immediatamente sospetti e la probabilit`a iniziale sarebbe ritenuta prossima a 1. Volendo essere generosi, in quanto si tratta pur sempre di un vecchio amico, fissiamo un valore basso, pari alJ¤ : ³
¸ëA7DC7J ,³
ø /7DCFá.J .
La seguente tabella riporta i valori della probabilit`a in funzione del numero di vittorie consecutive: ³¸ëäÆ> SD ³ ø!Æ>ñSñ (%) (%) 0 5.0 95.0 1 9.5 90.5 2 17.4 82.6 3 29.4 70.6 4 45.7 54.3 5 62.7 37.3 6 77.1 22.9 . . . .
Come naturale, all’aumentare del numero di vittorie consecutive, cresce il sospetto che il vecchio amico stia imbrogliando.
5.7.3 Confronto fra inferenza diretta e inferenza iterativa
Per seguire meglio come nell’approccio bayesiano la probabilit`a si riaggiorni dopo ogni dato sperimentale, indichiamo con³¸ëäÆ>^SEC <w la probabilit`a asse-gnata dopo la vincita precedente, e applichiamo ricorsivamente la formula di Bayes. Essendo³ !ÆÞëÓ #0 e³ !Æ>ø &021NE le probabilit`a di vincere in un singolo tentativo, otteniamo:
³¸ëäÆ> S ³ ÆÞëA½è2³¸ëäÆ> SDC <( ³ ÆÞëA½è2³¸ëäÆ> SDC <wz"'³ Æ>ø ½è2³ ø Æ>ñSEC <( 0Yè;³¸ëäÆ> SDC <( 0Yè;³ ¸ëfÆ> SEC <( " < è;³ ø ÆSñSEC <( C (5.21)
Il risultato interessante `e che si ottengono esattamente gli stessi valori di pro-babilit`a ottenuti direttamente, come gi`a mostrato nell’esempio precedente del rivelatore di particelle e come sar`a mostrato pi`u formalmente nel paragrafo 5.9
5.7.4 Dipendenza dalla probabilit `a iniziale
`
E importante notare la dipendenza della probabilit`a finale da quelle iniziale. Riportiamo nella seguente tabella le conclusioni a cui sia arriva, in funzione di
per i diversi valori di³
¸ëA : ³ ¸ëfÆ> SD ³ ¸ëA úA üJ hÜ07 üÜ0;J hfEN7 04 24 91 99.7 99.99 J¤ 63 98 99.94 99.998 JN7/ 97 99.90 99.997 99.9999
5.7.5 Pregiudizio, indizi e conclusioni
La tabella precedente mostra che, come `e naturale, all’inizio la probabilit`a `e dominata da³
, poi a mano a mano che gli indizi (leggi “osservazioni speri-mentali”) a favore dell’ipotesi “Baro” aumentano i pregiudizi iniziali diventano sempre meno influenti. Anche la dipendenza delle conclusioni dal pregiudizio e dagli indizi sperimentali segue la prassi di quanto avviene nella ricerca:
Z
se una teoria risulta gi`a molto credibile dalla comunit`a scientifica - sia per l’autorevolezza di chi l’ha proposta, sia per ragioni estetiche, sia perch´e riesce a descrivere in modo economico le osservazioni precedenti - sono sufficienti poche “verifiche” affinch´e essa sia accettata;
Z
se una teoria `e ben consolidata da secoli di sperimentazione, non bastano poche osservazioni “poco probabili” all’interno della teoria stessa per convincere la comunit`a scientifica ad abbandonarla. In tal caso si tende a credere di pi`u che sia sbagliato l’esperimento o che si tratti soltanto di una fluttuazione statistica.
In particolare se ³
¸ëA `e nulla, la probabilit`a finale rimarr`a sempre nulla. Anche questo `e abbastanza naturale: se la persona `e di provata fiducia, an-che se si verificano degli eventi ritenuti “a priori” poco probabili bisogna semplicemente constatare la loro occorrenza.
5.7.6 Probabilit`a e decisione
Lo schema di riaggiornamento bayesiano della probabilit`a modifica il grado di fiducia di una certa ipotesi, ma non pu`o mai giungere a certezze (a meno di non partire gi`a da certezze, ma questa `e materia di dogmatici e non di persone di scienza). Alla fine, avendo tratto conclusioni probabilistiche su un certo evento bisogna prendere delle decisioni che sono responsabilit`a di chi agisce. Ad esempio, nel caso del sospetto baro, si pu`o
Z
accettare di giocare la (h"Ü0 )-ma partita con probabilit`a ³¸ëäÆ> S di perdere con sicurezza;