meccanismo di aggiornamento delle probabilit `a
5.5 Esempi tipici di applicazione
P(π|L) P(µ L)| ipotesi osservazioni
Figura 5.5: Schematizzazione in termini induttivi e deduttivi del problema dell’i-dentificazione di particelle con strumento non ideale. Lo spessore delle freccie indica le direzioni favorite dei processi di deduzione e di induzione in questo esempio.
dove sta per “funziona dopo 10 anni”. Si riconosce in questa formula particolare la (5.5).
5.5 Esempi tipici di applicazione
Sebbene il teorema di Bayes sia strutturalmente molto semplice, se ne pu`o capire fino in fondo la portata soltanto mediante opportuni esempi.
5.5.1 Classificazione di eventi e rapporto segnale rumore
Supponiamo che un rivelatore abbia un’efficienza di identificazione delle par-ticelle del 95 % e una probabilit`a di confondere una particella] per un del 2 %. Se una particella viene identificata come si accende una lampadina (ð ). Conoscendo che le particelle del fascio contengono il 10 % di e il 90 % di] : - quanto vale la probabilit`a che, se si accende la lampadina, sia passato un
?
- quanto vale la probabilit`a che, se non si accende la lampadina, sia pas-sato un] ?
- Quanto vale il rapporto segnale rumore (çz1(Ã )? (Definiamo çz1(Ã co-me probabilit`a di diviso probabilit`a di ] se si `e accesa la
lampadi-5.5 Esempi tipici di applicazione 93
na, considerando la particella come “segnale”, ovvero il fenomeno di interesse.)
- Come cambiano i risultati se si pongono sul fascio due contatori aventi le stesse caratteristiche e funzionanti indipendentemente?
Schematizziamo, con il formalismo delle probabilit`a condizionate, le in-formazioni che abbiamo a disposizione e le domande a cui vogliamo risponde-re (vedi figura 5.5).
³£ðtÆj ½V7DCFá.J `e la probabilit`a che si accenda la lampadina se l’ipotesi “ ” `e vera, ossia se passa una vera particella . Essa viene stimata attraver-so la frequenza relativa con la quale si accende la lampadina quando il rivelatore viene esposto ad un fascio “di soli ” (ammettiamo che sia possibile). L’uso del valore di frequenza relativa implica che
- le propriet`a dei non cambiano con il tempo (e questo `e pacifico); - il rivelatore e l’elettronica si comporteranno durante l’esperimento esattamente come si erano comportati durante il test (e questo pu`o essere questionabile, ma assumiamo che sia vero).
³ðÆj ½¤7DC7J `e la probabilit`a dell’evento complementare;
³£ðtÆ]4V7DC7E `e la probabilit`a che la lampadina si accenda “per errore”, nel senso che assumiamo che il rivelatore sia stato progettato per identificare i e quindi uno strumento perfetto darebbe3³£ð Æj ½¤Ü0 e³£ðtÆ]4¤ 7 .
³ðÆ]4¤7DCFá.M , complementare a ³£ð Æ]4. Lo strumento ideale darebbe
³ ðtÆ]4 0 . Anche per questo dato valgono le note a proposito di
³ £ðtÆj ½ .
³
½/7DC,07 `e la probabilit`a iniziale che una particella che arrivi al rivelatore sia un in assenza dell’informazione che la lampadina si sia accesa o no. ³
½ sta per³ Ær
, dover
include tutta l’informazione sulla composizione del fascio.
³
£]4/7DCFáN7 : probabilit`a iniziale dell’evento ] . La somma ³
½"!³
£]4
deve dare 1, in quanto gli eventi e ] formano una classe completa di ipotesi rispetto a questo problema e sono relativi allo stesso stato di informazioner
.
³ Æð` : `e la probabilit`a che la particella abbia attraversato il rivelatore sia un
se la lampadina si `e accesa. La complementare ad essa sar`a³£]Æð` .
3
Si noti che«¬ñòØ\}P¯ y
s
non implica assolutamente «¬ñ ضóP¯`y
v
in quanto esse sono probabilit`a diñ relative a diversi stati di informazione.
Chiaramente ci sono tutte le condizioni di applicabilit`a del teorema di Bayes. Ne segue: ³ Æð` ³ £ðtÆj ½Gè;³ ½ ³£ðtÆj ½è;³ ½4"í³£ðtÆ]4è;³ £]4 7DCFá.J 7DC,0 7DCFá.J 7DC,0 "í7DC7E 7DCFá 7DCFM3I ³£]Æð` 0Yº¿³ Æð ¤7DC,0;° ³ Æ ð` ³ ðtÆj ½Gè;³ ½ ³ðÆj ½Gè;³ ½4"í³ð Æ]4eè;³ £]4 7DC7J 7DC,0 7DC7J 7DC,0 "í7DCFá.M 7DCFá 7DC7.7J.° ³£]Æ ð` 0Yº¿³ Æ ðY7DCFá.á3IYC
Siamo pi`u sicuri che quando non si accende la luce sia passato un] di quanto non lo siamo quando identifichiamo un nel caso contrario. Per capirne il motivo studiamo il rapporto segnale rumore nei due casi:
ç41(Ãí ½1G]4V ³ Æð` ³£]Æð` ³£ð Æj ½ ³£ð Æ]4 è ³ ½ ³ £]4 ILKLCFJ 0 á fJCFH ç41(Ãí£]41O ½V ³£]ÆðY ³ ÆðY ³ð Æ]4 ³ð Æj ½ è ³ £]4 ³ ½ 0;áCF° áÜ02KN°`C
La migliore prestazione nella separazione dei] dai non `e quindi dovuta alle caratteristiche del rivelatore, bens`ı alla composizione del fascio.
Questo ci insegna che quando le condizioni sono di alto rumore
³
úç¤ô ³
¸Ã (5.18)
l’esperimento deve essere molto selettivo:
³¸fÆgç¤õ ³ ¸ÆÞÃ9] (5.19)
dove ç , Ã e indicano genericamente segnale, rumore (inglese “noise”) e esito.
5.5.2 Uso iterativo del teorema di Bayes
Per rispondere all’ultima domanda del problema precedente si pu`o pensare a due possibili approcci:
1. calcolare le probabilit`a condizionate³ £ði< ð
Æj ½ e³£ð < ð
Æ]4 e usare il teorema di Bayes per trovare³ Æði<
ð
;
2. utilizzare la probabilit`a finale condizionata dall’evento al posto di
³
½ e applicare il teorema di Bayes rispetto al secondo condiziona-mento dið
5.6 Statistica bayesiana: imparare dall’esperienza 95
Siccome le due soluzioni sono entrambe ragionevoli e non c’`e nessun motivo per preferire una via rispetto all’altra, ci attendiamo che, se il metodo di ag-giornamento bayesiano `e ragionevole, dovremmo arrivare agli stessi risultati. In effetti questo `e quanto succede.
1. Seguendo il primo metodo si ha:
³£ð < ð Æj ½ ³£ðY<GÆj ½Gè;³ £ð Æj ½¤7DCFá.J 7DCFá.J fáN7DCFE.J¤ ³£ð < ð Æ]4 ³£ðY<GÆ]4GèO³£ð Æ]4¤7DC7E 7DC7Ef7DC7NIV ³ Æð <7 ð á.áCF°¤!C
(Si ricordi l’ipotesi di indipendenza fra le risposte dei due rivelatori. I conti vengono lasciati per esercizio.)
2. Nel secondo caso abbiamo invece:
³ Æð < ð ³£ð Æj ½Gè;³ ÆðY<( ³£ð Æj ½Gè;³ ÆðY<(z"³ £ð Æ]4Gè;³£]ÆðY<w 7DCFá.J 7DCFM3I 7DCFá.J 7DCFM3I¥"7DC7E 7DC,0;° fá.áCF°¤
Si ottiene quindi lo stesso valore di probabilit`a finale. Questo `e un grosso pre-gio di questo metodo. Infatti come `e naturale pensare, le conclusioni scientifi-che possono dipendere dalle ipotesi iniziali e dalle informazioni sperimentali, ma non devono dipendere dall’uso che si fa delle informazioni stesse.
L’uso iterativo del teorema di Bayes pu`o essere riassunto dicendo che
la probabilit`a iniziale di una inferenza `e pari alla probabilit `a finale dell’inferenza precedente.